王　瑜，闫　沫

(1.西安航空学院 机械工程学院，陕西 西安 710077；2.西安建筑科技大学 机电工程学院，陕西 西安 710055)



基于Wasserstein距离和SBGFRLS方法的活动轮廓模型图像分割算法

王瑜1，闫沫2

(1.西安航空学院 机械工程学院，陕西 西安 710077；2.西安建筑科技大学 机电工程学院，陕西 西安 710055)

摘要：提出一种结合Wasserstein距离和SBGFRLS方法的非参数化活动轮廓图像分割算法。该算法采用二值函数作为水平集函数并利用高斯核函数对其正则化，有效避免水平集演化中的重新初始化过程，提高分割速度。算法本身具有选择局部和全局分割的属性。利用Wasserstein距离作为区域相似性测度使图像分割不依赖于图像数据的具体分布模型，扩大了传统水平集算法的应用范围。实验结果表明，该算法能够对图像进行有效准确地分割且具有较快的速度。

关键词：图像分割；Wasserstein距离；SBGFRLS方法；水平集函数

0引言

图像分割是图像处理和计算机视觉领域的基本问题。近年来基于水平集(level set)方法的活动轮廓模型(active contour model，ACM)在图像分割中获得了很好的效果和广泛的应用。活动轮廓模型实现图像分割的基本思想是：在一定条件下进行曲线演化以便获得最佳的目标轮廓曲线。

目前常见的活动轮廓模型可以分为两大类：基于边界的模型[1-4]和基于区域的模型[5-8]。基于边界的活动轮廓模型称为测地活动轮廓模型[2](Geodesic Active Contour, GAC)。它使用图像梯度构建边缘停止函数(edge stopping function, ESF)使曲线演化最终停止在目标边界。在一定程度上克服了传统曲线演化模型对初始轮廓敏感的问题。然而，由于离散梯度有界，边缘停止函数(ESF)最终在图像边缘并不能趋于零，对于弱边缘或无明显边缘的图像来说，算法很难得到理想的分割结果。针对这一问题，Chan和Vese[5]提出了著名的基于区域的分割模型，即C-V模型。C-V模型能在既没有明显边界，也缺乏明显纹理特征的图像中分割目标和背景。该模型能够检测图像中全部目标的轮廓，而不依赖于初始轮廓的位置，因此它具有全局分割的性质。Chan等人最初提出的C-V模型为了保持数值计算的精度[9]需要在曲线演化过程中周期性的进行水平集函数初始化操作，使其保持符号距离函数(signed distance function, SDF)的性质。因此传统C-V模型的计算量较大。为了避免水平集函数的重新初始化，有研究者[4]提出在原始能量泛函中增加新的约束项大大提高了算法的运算速度。2010年，Zhang等人[8]提出新的基于区域的ACM模型，该模型采用SBGFRLS(Selective Binary and Gaussian Filtering Regularized Level Set)方法，使用二值函数作为水平集函数并利用高斯核函数对其正则化，有效避免水平集演化中的重新初始化过程，相对于Li等人的算法，其运算速度得到进一步地提高[10]。

由于上述算法是一种参数区域模型。模型假设前景和背景属于同质区域，像素灰度的概率密度分布服从同参数高斯分布。然而自然图像如树木、草丛等场景，其区域像素灰度不均匀，相应的直方图无特定统计特性，且不服从高斯分布。因此，参数活动轮廓模型不适合对这类图像进行分割。非参数活动轮廓模型利用像素概率密度分布或直方图来分割图像，弥补了上述不足。其中Chan等人[11]提出了采用图像灰度直方图信息的邻域直方图分割模型。该模型利用Wasserstein距离作为区域相似性测度来度量直方图间的相似性，对这类图像获得较好的分割效果。我国学者孔丁科等人[7]称之为地球移动距离(Earth Mover’s Distance, EMD)，并给出其在遥感图像分割中的应用。虽然他们都在各自提出的分割模型中使用了Wasserstein距离作为区域相似性测度，对无序特征图像具有较好的分割效果，但这些模型都有一个共同特点，即要求图像亮度均匀，这极大地限制了该类非参数区域模型的广泛应用，且运算速度较慢。

本文结合Wasserstein距离和SBGFRLS方法，提出新的非参数水平集分割算法，使分割更加准确、高效。

1SBGFRLS活动轮廓模型

C-V模型[5]假设定义域为Ω的图像I(x)被活动轮廓C(零水平集)划分为内外两个同质区域。曲线演化方程通过最小化下面的能量泛函得到：

ECV=λ1∫inside(C)|I(x)-c1|2dx+λ2

∫inside(C)|I(x)-c2|2dx,x∈Ω

(1)

其中，c1和c2为曲线所划分的内外区域的灰度均值，满足如下假设：

(2)

通过最小化(1)式，c1和c2满足：

(3)

(4)

考虑曲线长度作为能量泛函的约束项，可以得到变分水平集公式如下：

(5)

其中，H(φ)为Heaviside函数，δ(φ)是Dirac函数。从(5)式中可以看到，曲线演化的驱动力，即符号压力函数(signed pressure force function, SPF)由-λ1(I-c1)2+λ2(I-c2)2项决定。(5)式中第一项为曲线长度正则项，可以改写为Δφ的形式。Koenderink[12]和Hummel[13]指出对原始图像I0与高斯滤波器在不同尺度上进行卷积，相当于求解扩散系数k为常数的热扩散方程：

(6)

因此第一项可以在曲线演化的过程中利用高斯核函数对其进行滤波得到。Zhang等人[8]给出新的曲线演化方程，并利用高斯核函数对水平集函数φ滤波得到新的演化模型。

(7)

其中，spf(I(x))为符号压力函数。这个改进模型避免了水平集演化过程中的水平集函数重新初始化并且允许采用二值函数作为水平集初始化函数，大大提高了计算速度。由于其本身结合了GAC模型的特点，因此在分割过程中能够结合目标边界的梯度信息而获得较GAC模型和C-V模型更好地分割结果。但由于它仍然属于参数分割模型，并假设图像区域同质且服从同参数高斯分布，因此对无序特征图像难以获得较好地分割效果。

2基于Wasserstein距离测度的改进模型

2.1Wasserstein距离

Chan等人[11]指出采用Wasserstein距离相对于Lp范数或chi-2比较函数[14-15]更适于测度区域之间的直方图相似性。

2.2SBGFRLS方法的邻域直方图改进模型

对每一点x∈Ω，定义其邻域累积分布函数为：

其中，r为邻域半径，area(·)为面积函数，Br(x)是以r为半径的x的邻域。

在C-V模型基础上考虑采用Wasserstein距离测度的邻域直方图模型。当λ1=λ2=λ时，(1)式可以改写为：

(8)

固定φ且相对F1(y)和F2(y)最小化上面能量得：

(9)

(10)

利用变分法和欧拉-拉格朗日方程，曲线演化的驱动力可以求得

(11)

上式可以作为符号压力函数spf。代(11)式到(7)式中，可以得到本文提出的新的基于Wasserstein距离和SBGFRLS方法的活动轮廓模型如下：

(12)

2.3算法流程

根据上述推导过程，本文给出算法的主要流程如下：

(1)采用二值函数初始化水平集函数，如下：

(13)

c为大于零的常数，∂Ω0为区域Ω0的边界，Ω0为图像定义域Ω内的子集。

(2)根据(9)、(10)式计算F1(y)和F2(y)。

(3)根据(12)式进行曲线演化。

(4)如果φ>0令φ=1；反之，令φ=-1。

(5)利用高斯核函数正则化水平集函数φ=φ*Gσ

(6)如果水平集函数演化没有结束(收敛)，返回算法流程2继续。

算法流程中的第4步具有选择局部分割和全局分割的属性，如果要获取初始轮廓附近而并非图像中全部目标的轮廓信息时，这一步操作是必须的。通常情况下并不需要。算法在实现时，(9)、(10)、(12)式中的累积分布项Fx,r(y)在迭代开始前只需计算一次。

3实验结果

为了验证本文算法的有效性，文章针对不同类型的图像进行实验，并与相关算法进行对比。实验中选取参数如下：r=2，c=1，ε=1，α=2。实验结果如图1~3所示。

(a)　　　　　　　　　(b)

(c)　　　　　　　　　(d)

(e)　　　　　　　　　(f)

*注：(a)为初始轮廓；(b)、(c)、(d)分别为采用C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]进行图像分割所得到实验结果；(e)、(f)分别为采用本文算法进行全局和局部分割所得结果

图1显示了本文提出的算法具有全局分割和局部分割属性，(a)中初始轮廓与图像中下部目标相交。采用算法流程中的第4步操作，容易找出初始轮廓附近的目标轮廓，如图(f)。当去掉流程第4步操作，分割结果显示全局分割属性，如图(e)。然而采用C-V模型[5]和EMD模型[7]的分割算法只具有全局分割属性，其分割结果如图(b)、(c)。采用SBGFRLS模型[8]的分割算法也同时具有局部和全局分割属性。

图2实验了对无序特征图像进行分割的结果。实验结果表明，采用EMD模型[7]的图像分割算法和本文算法由于采用了Wasserstein距离进行区域相似性测度，获得了较好的分割结果。而应用C-V模型[5]和SBGFRLS模型[8]的图像分割算法无法获得满意的分割结果。

(a)　　　　　　　　 (b)

(c)　　　　　　　　　(d)

(e)

*注：(a)为初始轮廓；(b)、(c)、(d)分别采用C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]针对无序特征图像进行分割所得结果；(e)为采用本文算法针对该图像进行全局和局部分割所得结果

(a)　　　　　　　　　(b)

(c)　　　　　　　　　(d)

(e)

*注：(a)为初始轮廓；(b)、(c)、(d)分别采用C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]针对亮度非均匀图像进行分割所得结果；(e)为本文算法针对该图像进行分割所得结果

图3采用真实的显微镜下的两个细胞图片进行比较。从图中可以看到，细胞区域内部亮度不均匀，同质特征不明显并且区域内部的概率分布差异较大，采用C-V模型[5]和EMD模型[7]的图像分割算法难以获得满意的分割效果。由于SBGFRLS模型[8]和本文算法都具有GAC模型的优点，细胞亮度较大的边缘信息在分割过程中起到了一定的作用，因此能够获得较好的分割效果，如图(d)、(e)所示。从图3中还可以看到本文算法获得的目标轮廓较SBGFRLS模型[8]分割结果更加光滑。

表1　本文算法与C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]分割算法运算速度比较

表1 给出了在相同的软硬件条件下(Core2 2.4GHz CPU, 2.00G RAM, MATLAB平台)本文算法与C-V模型[5]、EMD模型[7]、SBGFRLS模型[8]的图像分割算法在迭代次数和运算速度方面的比较结果。从表1中可以看到，本文所提出的图像分割模型能够获得更好的分割效果，且运算效率更高。

4结论

本文提出了一种新的结合Wasserstein距离和SBGFRLS方法的非参数化活动轮廓图像分割算法。算法本身利用Wasserstein距离测度区域之间的直方图相似性，使分割算法能够适应无明显分布特征的图像分割应用。与此同时，算法集成了SBGFRLS方法的高效性和全局、部分分割属性。通过对不同类型图像的实验比较，本文所提出的算法比以往的活动轮廓分割算法适用范围更广，分割结果更准确，速度更快。

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[责任编辑、校对：李琳]

Active Contour Model for Image Segmentation Based on Wasserstein Distance and SBGFRLS Method

WANGYu1,YANMo2

(1.School of Mechanical Engineering,Xi’an Aeronautical University,Xi’an 710077,China;2. College of Mechanical and Electrical Engineering,Xi’an University of Architecture and Technology,Xi’an 710055,China)

Abstract：A nonparametric active contour segmentation algorithm combined with Wasserstein distance and SBGFRLS (Selective Binary and Gaussian Filtering Regularized Level Set) method is proposed in this paper.A binary function is used as the level set function,and then a Gaussian smoothing kernel is used to regularize it to avoid expensive re-initialization of the evolving level set function.The method has the property of selective local or global segmentation. Wasserstein distance is employed as a similarity measure to make image segmentation independent of the distribution of image data.It extends the applications of traditional level-set algorithms.Experimental results show that the method can segment image effectively and efficiently.

Key words：image segmentation;Wasserstein distance;SBGFRLS method;level set function

中图分类号：TP391.41

文献标识码：A

文章编号：1008-9233(2016)01-0068-06

作者简介：王瑜(1981-)，女，江苏徐州人，讲师，从事机电一体化、模式识别与目标检测研究。

收稿日期：2015-10-21