王　娣，卢　涛（淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000）



交半连续格的性质

王娣，卢涛
（淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000）

摘要：文章主要讨论交半连续格的一些性质，并在交半连续格概念的基础上给出交半Scott拓扑的概念.

关键词：半素理想；半连续格；交半连续格

0　引言

随着Scott在1971年因计算机的语义问题提出连续格的概念［1］.此后，人们对连续格的研究不断深入，取得许多深刻且具深远影响的结果.随着时间的推移，人们把对这一领域的研究推广到更一般的范围内.Ray首先提出格中的半素理想［2］，并研究了它的一些基本性质.Zhao利用半素理想，给出一种新的关系，并由此定义一种新的格——半连续格［3］.在之后的研究中文[4]又在半素理想上定义一种新的格——交半连续格，本文将讨论交半连续格的一些性质.

1　预备知识

定义1.1［5］设L是偏序集，对于a∈L与S⊆L，规定：

定义1.2［5］设L为格，I为格L的一个理想，若1∉I，且对于任意a,b∈L，a∧b∈I⇒a∈I或b∈I，则称I为素理想.

定义1.3［2］设L为格，I为格L的一个理想，若对于任意a,b,c∈L，当a∧b∈I，a∧c∈I时，有a∧b∨c∈I.则称I为半素理想.

用Rd(L)表示所有半素理想组成的集合.

定义1.4［2］设L为完备格，对于任意a,b∈L.若对于任意I∈Rd(L) ,b≤∨I有a∈I.则称a⇐b.记

定义1.5［5］设L为完备格，对任意a∈L，若，则称a为紧元.记

注1K(L)是带有最小元的并半格.

定义1.6［3］一个完备格L称为半连续格.若对于任意a∈L，有

定义1.7［4］设L是完备格，对于任意x∈L及任意的定向集D，若成立，则称L是交连续格.

定义1.8［4］设L是完备格，对于任意，若，则称L是交半连续格.

注2显然交连续格一定是交半连续格.当L为分配格时，则交半连续格一定是交连续格.

2　交半连续格的性质

定理2.2［2］设L是完备格，则对任意a∈L有

引理2.2设L是交半连续格，对任意x,y∈L，若x≤y蕴含着x⇐y，则存在z∈L使得x⇐z⇐y.

证明设L是交半连续格，若存在z∈L，则由推论2.1知z≤∨⇓z，令x=∨⇓z，则x≤z蕴含着x⇐z.若z⇐y对任意I∈Rd(L),z≤∨I，有y∈I，由定理2.2知，⇓z⊆I，所以∨I≤x=∨⇓z，即z≤∨I≤x，也有y∈I,故x⇐y,从而说明存在z∈L使得x⇐z⇐y成立.

引理2.3［2］格L中的理想I为半素理想的充分必要条件是存在一族素理想，使得

定理2.3交半连续格L中的理想I为半素理想的充分条件是存在一族素理想，使得

注3每个素理想都是半素理想.但半素理想不一定是素理想.下面给出一个例子.

图1　是半素理想，不是素理想的五元菱形格

例图1中L为五元菱形格，记I={0,a,d，I} 是L的半素理想，但I不是素理想.

证明因为b∧c=0∈I，但b,c∉I，所以I不是L的素理想.得证.

定义2.1设L是完备格，称L的子集U为交半Scott开集，如果U满足以下条件：

（1）U=↓U;

（2）对任意I∈Rd(L),∨I∈U蕴含着I⋂U≠ϕ.

显然L上的全体交半Scott开集U构成了一个拓扑，成为交半Scott拓扑，记为特别地，当交半Scott开集U是理想时，称U是交半Scott开理想，简称交半开理想.

定理2.4设L是交半连续格，对任意x,y∈L，若x⇐y蕴含着x≤y,有下面两个结论成立：

（1）⇓x∈σ⇐⇐() L；

（2）L↑x∈σ⇐⇐() L.证明（1）显然对任意x,y∈L，若x⇐y蕴含着x≤y,则⇓x为一个下集，下面设I∈Rd(L),满足∨I∈⇓x，则∨I⇐x.由引理2.2知，存在z∈L使得∨I⇐z⇐x,所以z∈I.故.所以

（2）L是交半连续格时，若x⇐y；蕴含着x≤y,则L↑x显然是下集.下面设I∈Rd(L),满足∨I∈L↑x.再假设则有I⊂↑x.但I是下集↑x是上集.矛盾.因此I⋃( L↑x≠ϕ.)

定理2.5设L是交半连续格，且a∈L，若↓a是交半Scott开理想，则a是⇐-紧元.

证明设I∈Rd(L),则当a≤∨I,有∨I∈↓a.因为↓a是交半Scott开理想，所以存在b∈I，且使得b∈I⋂↓a≠ϕ,又因为I为下集，从而对a∈I,有a⇐a，故a是⇐-紧元.

定义2.2设L,M是完备格，映射f:L→M称为保半素理想的，若f保序，且对任意I∈Rd(L)有

定义2.3设L,M是完备格，映射f:L→M称为保半素理想并，若f保序，且对任意I∈Rd(L)有

定义2.4［6］设S,T是偏序集，映射g:S→T,d:T→S为保序映射，称(g,d) 为S与T的Galois联络，若gd≥1T,dg≤1s.此时称g为d的上伴随，d为g的下伴随.

定义2.5设L,M是完备格，映射f:L→M称为交半连续格同态，若f保半素理想并.

定义2.6设L是交半连续格，且有保任意并的下伴随.则S⊆L称为L的子代数，若包含映射是交半连续格同态.

定理2.6设L是交半连续格，S⊆L为L的子代数，则S为交半连续格.

证明由S为L的子代数知，包含映射f:S→L有下伴随映射g，且g是保任意交的满射.显然是完备格.对∀x∈S,∃y∈L，使得x=g(y)，由L是交半连续格，y≤∨⇓y，且g保并的，于是若对∀z∈L,如果z⇐y,则有，即因此，故S是交半连续格.

参考文献：

［1］SCOTT D S.Continuous lattices［C］∥Topos algebraic geometry and logic，lecture notes in math（Vol 274）.Berlin：Spring⁃er-Verlag，1972.

［2］RAY Y.Semiprime ideals in general lattices［J］.Pure and Applied Algebra，1989，56：105-118.

［3］ZHAO D.Semicotinuous lattice［J］.Algebraic Universalis，1997，37：458-476.

［4］伍秀华，李庆国.拟半连续格和交半连续格［J］.模糊系统与数学，2008，22（6）：11-16.

［5］郑崇友，樊磊，崔宏斌.Frame与连续格［M］.北京：首都师范大学出版社，2000：45-52.

［6］GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous lattices and domains［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2003：22-39.

Properties of Meet Semicontinuous Lattices

WANG Di，LU Tao
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei,Anhui，China）

Abstract：This paper mainly discusses some properties of meet semicontinuous lattices，and the concept of Scott topology is given based on the concept of meet semicontinuous lattices.

Key words：semiprime ideals；semicontinuous lattices；meet semicontinuous lattices

作者简介：王娣（1991-），女，安徽安庆人，硕士生，研究方向：格上拓扑学.通讯作者：卢涛（1974-），男，山东诸城人，博士，副教授，研究方向：拓扑学、范畴论.

基金项目：国家自然科学基金项目（11171156）；安徽省高校自然科学研究重点项目（KJ2015A064）

收稿日期：2015-10-08

中图分类号：O 153

文献标识码：A

文章编号：2095-0691（2016）01-0001-03