庄晓燕，石明江

(1. 西华大学电气与电子信息学院，四川 成都 610039；2. 西南石油大学电气信息学院，四川 成都 610500)



基于频谱估计的频域稀疏压缩采样信号重构

庄晓燕1，石明江2

(1. 西华大学电气与电子信息学院，四川 成都 610039；2. 西南石油大学电气信息学院，四川 成都 610500)

摘要：压缩采样理论突破了采样定理对稀疏信号采样频率的限制，在保证信号重构精度的条件下能够显著降低采样频率，能够在采样过程中对数据进行压缩。在频域稀疏信号的压缩采样中，由于所处理数据长度的有限性，存在频谱泄漏现象，即稀疏表示基失配，从而导致信号重构性能降低。为克服这种表示基失配引起的重构误差，提出一种基于频谱估计的频域稀疏压缩采样信号重构算法。该算法采用root-MUSIC算法对被测信号的表示基进行自适应地构造：用root-MUSIC算法对频率进行估计，用自适应的基向量构造稀疏表示基矩阵。通过实验对该重构算法的可行性进行验证。与传统信号重构算法相比，该重构算法具有更高的信号重构精度。

关键词：稀疏表示；频谱估计；root-MUSIC；压缩采样；信号重构；表示基;表示基失配

压缩采样理论是一种全新的信号获取理论[1-3]，在其框架下，以远低于信号奈奎斯特采样率的速率对信号非自适应投影进行采样，然后通过最优化重构算法对信号进行准确重构。由于压缩采样理论所具有的优越特性，在很多领域，它都得到了广泛的应用研究[4-5]，如核磁共振成像、通信、雷达等。

压缩采样理论能够成功应用需要满足2个先验条件：稀疏性和非相干性。稀疏性指的是被测信号能够在某个变换空间内通过少量的基向量的线性组合进行表示，即信号在某个变换空间内仅有少量的非零变换系数。非相干性是针对采样矩阵提出的要求，它要求稀疏的变换系数在采样矩阵上具有稠密的表示。本文的研究重点是被测信号稀疏性问题。

频域稀疏信号是一类广泛使用的信号，频域稀疏信号在傅里叶域内具有稀疏的表示；然而，为了能够被计算机等数字设备进行处理，傅里叶稀疏表示基通常采用离散傅里叶变换(DFT)基向量进行估计。在实际应用中，获取的采样值序列长度通常是有限的，这将导致稀疏表示基向量的频率分辨率有限。如果被测信号的频率不严格等于表示基的频率分辨率，DFT基就存在表示基失配问题。现有的大量压缩采样信号重构算法都是基于DFT表示基[6-8]的，然而，稀疏表示基失配直接导致信号的实际模型与重构中的信号数学模型不一致，不能准确重构原始信号。

1压缩采样理论与信号模型

1.1　压缩采样基本原理

压缩采样理论是近年来提出的一种信号获取与处理理论，对于稀疏信号的采样，压缩采样理论通过获取被测信号的非自适应线性投影，通过最优化算法能够由少量低速采样值准确重构原始信号。与传统香农采样定理不同，压缩采样理论能够在采样过程中对信号进行压缩，实现采样与压缩的合二为一。一个信号要在压缩采样理论框架下进行采样重构，则信号必须满足稀疏性条件。稀疏性是指信号在某个表示基Ψ的变换下具有稀疏或者近似稀疏的表达式，不同种类的信号需要在不同的变换空间内进行稀疏表示。如：频域稀疏信号需要在傅里叶变换空间进行表示；二维图像信号在小波变换空间具有稀疏表示。

为了能够对信号进行压缩采样，需要构造一个具有非相干性的压缩测量矩阵Φ，具体要求为测量矩阵与稀疏表示基矩阵不相关。对于稀疏信号x，采用压缩测量矩阵Φ进行采样，得到长度为M的压缩测量值序列y， 采样过程的矩阵向量表达式为

y=Φx=ΦΨα。

(1)

其中M

min‖α‖0s.t. ‖y-ΦΨα‖2≤η。

(2)

其中l0范数计算向量α中非零元素的个数，η为预设的重构误差。最小化l0范数等效于最小化重构系数α#中非零元素的个数，使α#为稀疏向量。

1.2　信号模型

为了能够从压缩采样值y中准确重构原始信号x，采样值y的长度M需要满足条件：M=O(K·log(N))。由该条件可知，信号重构的性能与被测信号的稀疏度密切相关。采用相同采样值对信号进行重构，信号的稀疏表示越紧凑，稀疏度越低，信号重构精度越高。

信号稀疏表示是傅里叶变换、小波变换等得以广泛使用的一个重要原因。通过对信号在特定空间中的变换，能够揭示信号的某些结构特征。对于信号x，其离散时间傅里叶变换(DTFT)为

(3)

当信号稀疏度为K时，有

(4)

其中ωk[0，2π]为信号的第k个频率分量，αk为对应频率分量的变换系数。

在实际计算过程中，信号x的长度N有限，无法通过数字信号处理器计算信号的DTFT变换，而是采用有限长度的DFT变换对DTFT变换进行估计

(5)

式中l= 0，1，…，N-1；因此，对于频域稀疏信号，其稀疏表示基可由DFT逆变换基向量构成

(6)

2稀疏表示基构造

2.1　表示基失配

DFT基向量可以视为DTFT基向量的N个采样值，仅当信号的频率为2π/N的整数倍时，DFT表示基才能保证具有DTFT表示基相同的稀疏特性，否则存在频谱泄漏情况。图1示出不同频率成分的信号估计情况，其中实线为具有10个频率分量，且均为2π/N的整数倍的信号估计情况，虚线为具有10个任意频率分量的信号估计情况。由图可知，对于具有整数倍频率分量的信号，可以采用稀疏度为10的信号进行准确估计；然而对于任意频率分量信号，虽然信号仅有少量的频率分量，但即使采用稀疏度更高的信号也无法对其准确估计。在本示例中，信号的真实稀疏度为10，但是估计信号的稀疏度高达20时的归一化估计误差也大于0.25。

图1具有不同频率分量的信号估计对比

导致图1中任意频率信号无法准确估计的原因是表示基失配。由于测试信号序列长度N有限，被测信号中的频率分量无法采用2π/N的整数倍进行估计。

对于任意频率信号，假定其真实信号频率为2πn/N+ △θn，即相对DFT基向量，信号频率具有△θn的偏差，则信号的真实表示基矩阵的第(p,q)个元素可表示为

(7)

由式(6)，可得失配表示基矩阵[9]Ψ″=Ψ-1Ψ′，即

(8)

其中J(θ)为

(9)

由于J(θ)的收敛速度慢，导致系数中的非零分量通过失配基Ψ″泄漏到邻近的系数上，使得转换系数与真实变换系数不一致，将具有更多的非零系数，不再具有相同的稀疏度。

2.2　基于root-MUSIC算法的表示基构造

DFT表示基构造简单，但对于任意频率信号无法进行严格的稀疏表示，与信号的真实表示基不匹配。在本文中，将采用root-MUSIC算法对被测信号的表示基进行自适应的构造[10]。

(10)

估计误差是一个凸函数，式(10)的最小化问题可以通过迭代最小二乘法进行求解：

(11)

(12)

(13)

3实验

为验证本文提出的信号重构算法的有效性，本节将通过仿真实验进行验证。在以下所有实验中待重构信号的长度为N=256，测试信号具有4个频率分量，即信号的稀疏度K=2，信号采用随机高斯分布矩阵进行采样，信号重构性能采用信号噪声比(SNR)进行评估，SNR定义为

(14)

在第1个实验中，对2个具有不同频率分量的信号进行压缩采样，在信号重构时，分别采用传统的基于DFT表示基的信号重构算法CoSaMP[11]与本文提出的基于root-MUSIC的信号重构算法进行重构比较。图2(a)为具有2π/N的整数倍频率分量的信号重构情况；图2(b)为具有任意频率分量的信号重构情况。可知，随着用于信号重构的采样值数量增加，信号重构精度提高。在整数倍频率分量情况下，由于采用DFT基向量对信号进行稀疏表示时不存在频谱泄漏情况，因此CoSaMP和本文提出的算法都具有较高的信号重构精度，本文提出的算法略优于CoSaMP算法。对于任意频率分量信号的重构时，信号重构精度相对于整数倍频率分量信号降低，本文提出的信号重构算法重构精度远高于CoSaMP算法重构精度。

第2个实验是验证信号重构算法对高斯白噪声的鲁棒性。图3为2种信号重构算法在不同输入信噪比情况下的信号重构。在本实验中，测试信号采用具有2π/N的整数倍频率分量的信号，不存在表示基失配情况。由实验可知，随着输入信号的信噪比增加，信号重构精度逐步提高。由于基于root-MUSIC的信号重构算法采用最小二乘法对频域分量进行估计，增强了算法对噪声的鲁棒性，在同样输入信噪比情况下，本文提出的算法信号重构精度更高。

(a)2π/N的整数倍频率分量信号重构

(b)任意频率分量信号重构

图3　重构算法鲁棒性验证

4结论

频域稀疏信号压缩采样重构的主要挑战是从少量低速采样值中估计信号的频谱分量。为了能被数字器件进行处理，频域稀疏信号通常采用DFT基向量进行表示；然而由于所处理采样值序列的长度有限，对于任意频率分量的信号无法通过有限的DFT基向量的线性组合准确表示。本文提出的基于root-MUSIC算法稀疏表示基自适应构造算法能够准确估计信号的频率分量，并以此构造稀疏表示基矩阵，通过最小二乘算法，估计各频率分量的幅度系数，通过多次估计迭代，实现对信号的准确估计，最后通过实验验证了该方法的性能。

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(编校：饶莉)

Spectrum Estimation Based Signal Reconstruction forFrequency Sparse Signal Compressive Sampling

ZHUANG Xiaoyan1, SHI Minjiang2

(1.SchoolofElectricalEngineeringandElectronicInformation,XihuaUniversity,Chengdu610039China;

2.SchoolofElectronicEngineeringandInformation,SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu610500China)

Abstract:Compressed sampling (CS) theory breaks through the limitation of Shannon sampling theorem for sparse signal sampling. CS can significantly reduce the sampling rate while the reconstruction accuracy can be still guaranteed. CS compresses the samples during the process of sampling. For frequency sparse signal, due to the finite length of samples, the spectrum leakage exists and the leakage leads to the mismatch of the sparse representation basis. The basis mismatch would degrade the performance of signal reconstruction. In order to avoid the reconstruction distortion introduced by the basis mismatch, a signal reconstruction algorithm based on the root multiple signal classification (root-MUSIC) frequency estimation technique is introduced, and the sparse representation matrix is constructed based on the estimated frequency adaptively. Finally, the experimental results verify the feasibility of the proposed algorithm. Compared to the traditional signal reconstruction algorithm, the signal reconstructed by the proposed algorithm exhibits high precision.

Keywords:sparse representation; spectrum estimation; root-MUSIC; compressive sampling; signal reconstruction; representation basis; basis mismatch

doi:10.3969/j.issn.1673-159X.2016.01.017

中图分类号：TP391.4;TP274.2;TN911.72

文献标志码：A

文章编号：1673-159X(2016)01-0080-05

基金项目：四川省教育厅项目(14209441)；西华大学校重点项目(z1320928)。

收稿日期：2014-11-20

第一作者：庄晓燕(1983—)，女，讲师，博士，主要研究方向为信号采样、测试信号处理。E-mail:xiaoyzhuang@hotmail.com

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