王小芹,尚晶,王欣梅,李华慧

（安阳学院数学教研室,河南安阳455000）

泊松过程的两种定义及其等价性证明

王小芹,尚晶,王欣梅,李华慧

（安阳学院数学教研室,河南安阳455000）

泊松过程在概率论及随机过程教材中常见的定义有两种,但往往没有给出其严格的等价性证明.借助一阶线性微分方程的求解和泰勒级数展开公式,并利用数学归纳法证明,给出了这两种定义等价性的详细证明过程.

泊松过程；两种定义；一阶线性微分方程；等价性证明

许多随机现象可以用Poisson过程来描述,并且自然界中的许多物理过程也可以用Poisson来刻画.理论上,Poisson过程是最重要的一类更新计数过程,同时也是一种最简单的连续时间纯间断马氏链,因此有必要对其深入研究,但常见的资料中往往只给出两种定义,没有给出其严格的等价性证明[1-3],或者只给出简单思路[4].本文中给出这两种定义等价性的详细证明过程.

1 预备知识

计数过程定义：

图1中的t1,t2,...是“质点”依次出现的时刻.

一阶线性微分方程求解[5]

定义1（Poisson过程Ⅰ）

（1）在不相重叠的区间上的增量具有独立性；

（2）对于充分小的∆t

其中常数λ>0,称为过程N(t)的强度,ο(∆t)是当∆t→0关于∆t的高阶无穷小；

（3）对于充分小的∆t

（4）N(0)=0.

定义2（Poisson过程Ⅱ）

若计数过程{N( t), t≥0}满足以下3个条件：

（i）它是平稳独立增量过程；

（ii）对任意的t>t0≥0,增量N( t)−N( t0)~(λ(t−t0))；

（iii）N(0)=0.

那么称{N( t), t≥0}是一强度为λ的泊松过程.

2 主要结果及证明（等价性证明）

证明：定义Ⅰ⇒定义Ⅱ

显然,条件（i）（,iii）成立,只需证明N(t0,t)服从参数为λ(t−t0)的泊松分布,且只与时间差t−t0有关,即条件（ii）.

移项

两边同……