樊翠萍

概率问题在中考中的分量逐渐加重，尤其在近两年的中考中体现得更加明显.不仅考查的分值在增加，与代数、几何、统计的融合更加自然，考查的背景也与社会热点、环境保护、生活更加贴近，问题设置巧妙，重难点突出.下面以部分中考（模拟）试题为例，探讨其求解的思路和方法，供同学们参考.

一、 以代数知识为背景的概率问题

1. （2015·常州）小明在学习反比例函数的图像时，他的老师要求同学们根据“探索一次函数y1=x+1的图像”的基本步骤，在纸上逐步探索函数y2=的图像，并且在黑板上写出4个点的坐标：A，，B（1，2），C1，，D（-2，-1）.

（1） 在A、B、C、D四个点中，任取一个点，这个点既在直线y1=x+1又在双曲线y2=上的概率是多少？

（2） 小明从A、B、C、D四个点中任取两个点进行描点，求两点都落在双曲线y2=上的概率.

【分析】（1） 找到既在直线y1=x+1又在双曲线y2=上的两点为B和D两点，再利用概率公式可求解；

（2） 可利用列举法得四个点中任取两个点情况的个数，再找其中都在双曲线y2=上有三种情况，可得解.

解：（1） 点B与点D既在直线y1=x+1上，又在双曲线y2=上，因此任取一个点，既在直线又在双曲线上的概率P==.

（2） 由（1）可得，“从A、B、C、D四个点中任意挑选两个点进行描点”有6种等可能的情况，分别是：AB，AC，AD，BC，BD，CD.其中，“两点都落在双曲线y2=上”有AB、AD、BD三种情况.

∴P（两点都落在双曲线y2=上）==.

【评注】本题把概率与代数巧妙结合，涉及的代数知识是点在直线与双曲线上，即看点的坐标是否满足直线与双曲线的函数.

二、 以几何知识为背景的概率问题

2. （2015·杭州）如图1，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）.

A. B. C. D.

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目.二者的比值就是其发生的概率.

解：如图1，∵连接正六边形任意两个顶点可得15条线段，其中有6条的长度为：AC、AE、BD、BF、CE、DF，

∴所求概率为P==，故选B.

【评注】本题是几何图形与概率的结合，考查正六边形的性质，同时全部等可能的情况不能遗漏，可借助树状图或列表获得求解.

三、 以实际生活为背景的概率问题

3. （2015·江阴一模）小英与她的父亲、母亲计划清明小长假外出旅游，初步选择了苏州、常州、上海、南京四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下：

①在一个不透明的袋子中装一个红球（苏州）、一个白球（常州）、一个黄球（上海）和一个黑球（南京），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；

②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；

③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止.

按照上面的规则，请你解答下列问题：

（1） 已知小英的理想旅游城市是常州，小英和母亲随机各摸球一次，请用画树状图或列表法求两人均摸出白球的概率是多少？

（2） 已知小英母亲的理想旅游城市是上海，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？

【分析】（1） 根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式可求得；

（2） 至少有一人摸出黄球包含两人中一人摸到黄球和两人都摸到黄球，这是解决本题关键，由树状图可得7种情况.

解：（1） 画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，均摸出白球的只有1种情况，

∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：；

（2） 由（1）得：共有16种等可能的结果，至少有一人摸出黄球的有7种情况，

∴小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：.

【评注】本题以实际生活为背景，在增加题目的趣味性的同时渗透概率问题，体现数学来源于生活，同时又指导实践.