吕 骥

(鄂南高级中学，湖北 咸宁 437100)

关于函数定义域求法的探析报告

吕 骥

(鄂南高级中学，湖北 咸宁 437100)

毫无疑问，函数是中学阶段最重要的一个知识点，也是高中数学学习的一道分水岭。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。而函数的定义域又是函数中重要的“三要素”之一，如何准确地求出函数的定义域，自然就成为了重中之重。在学习过程中，老师们应当讲解清楚定义域的常见求法。

函数；定义域；常见方法

函数在高考和各类数学竞赛中都有广泛的应用，属于必考内容，既是重点内容又是难点内容。想要攻克这一重难点，必须探析清楚定义域的常见求法。以下分具体函数和抽象函数两大类型来介绍定义域求法。

一、具体函数求定义域

已知函数的解析式求定义域，一般有以下几种情况：

(1)分式中的分母不为零；

(2)偶次方根下的数(或式)大于或等于零；

(3)零指数幂的底数不等于零；

(4)指数式的底数大于零且不等于一；

(5)对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

例1：求下列函数的定义域：

∴x<-2且x≠-4，故其定义域为{x<-2且x≠-4}。

∴x≤-3且x≠-11或x>5,故其定义域为 {x|x≤-3且x≠-11}∪{x|x>5}

∴-4

(1) 求A；

(2) 若B⊆A,求实数a的取值范围。

∴A=(-∞,-1)∪[1,+∞)。

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得

(x-a-1)(x-2a)<0。

∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a,a+1)，

a≤-2.又a<1，

解得1

综上所述，使得函数的定义域为R的a的取值范围是[1,9]。

小结：会求函数的定义域是正确求解一切函数问题的基础，求解时要注意找全找准限制条件，并正确找到公共部分，且最后定义域一定要写成集合或区间的形式。

二、抽象函数求定义域

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，解决其有关问题是具有一定难度的，特别是求其定义域时，会令许多学生感到迷惑。

下面结合实例介绍抽象函数定义域问题的几种题型及求法：

1.已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

求解思路：若f(x)的定义域为m≤x≤n，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，解得x的取值范围构成的集合，即为f[g(x)]的定义域。

例4：已知函数f(x)的定义域为[-2，3]，求函数f(x2-1)的定义域。

解：令-2≤x2-1≤3，得-1≤x2≤4，解得-2≤x≤2，

故函数的定义域是[-2,2]。

2.已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。

求解思路：若f[g(x)]的定义域为a≤x≤b，则由a≤x≤b确定的g(x)的范围构成的集合，即为f(x)的定义域。

例5：已知函数f(x2-2x+3)的定义域为[-1,3]，求函数f(x)的定义域。

解：由-1≤x≤3，得2≤x2-2x+3≤6，

令u=x2-2x+3，则f(x2-2x+3)=f(u),2≤u≤6，

故f(x)的定义域为[2,6]。

3.已知f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域。

求解思路：可先由f[g(x)]定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f[h(x)]的定义域。

例6：已知f(2x-1)的定义域为[1，2]，求

f(x2)的定义域。

解：由1≤x≤2，得1≤2x-1≤3，

故φ(x)的定义域为[-4,0]。

小结：求抽象函数的定义域最主要的还是要掌握函数定义域的实质，其操作要领总结起来就是两点：一是什么是函数的定义域(即自变量x取值范围的集合，函数f(x)的自变量是x，函数f[g(x)]的自变量也是x；二是同一个对应法则下代数式的取值范围一致(即f[g(x)]中的g(x)和 f[h(x)]中的h(x)取值范围一致。

2095-4654(2016)12-0014-03

2016-11-06

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