陈亚琦，蒋纯志(湘南学院电子信息与电气工程学院， 湖南 郴州 423000)

论力的功与力矩功之间的逻辑关系*

陈亚琦†，蒋纯志
(湘南学院电子信息与电气工程学院， 湖南 郴州 423000)

讨论了力的功与力矩功之间的逻辑关系，通过讨论分析明确了力矩功是力的功在转动形式中的引申，当物体绕参考点做圆周运动时，力的功就是力矩功，否则，力的功不等于力矩功。

力的功；力矩 ；力矩功

1 引言

经典力学是一门以力的概念和定义为逻辑起点，以与之相关的定律（定理）为主线的理论体系。在这个体系内，概念的定义之间，都有严密的逻辑关系，即以力为逻辑起点的定量的因果律和严密的数学方程式化[1]。功是描述外力在物体位移过程中的空间累积效应，是能量变化的一种量度。在许多大学物理教材[2-4]中，先给出力做功的概念，然后从刚体定轴转动引出力矩功的概念，从力矩功的推导过程看，力做的功就是该力矩的功。但学生在实践中，发现力矩功为零时，力的功却不一定为零，学生对此感到困惑不解。本文将从功的定义式出发，详细讨论力的功与力矩功之间的逻辑关系，让学生从本源上理解这两个概念的异同。

2 理论分析

2.1 质点相对参考点做圆周运动

如图1所示，一质量为m的质点在力F的作用下，绕参考点O做圆周运动。t时刻dt时间内，质点m 在 P处发生微小位移 vd t ，根据功的定义[2]：力的元功等于力F与受力质点无穷小位移d的标积，所以即质点相对参考点做圆周运动时，力F的功与力F相对参考点的力矩功完全一样，力产生的效果使物体发生了转动，力F的功是质点绕O点转动动能大小的量度。

图1 圆周运动分析图

2.2 质点相对参考点做非圆周运动

如图2所示，质点m在力F作用下绕参考点O做一椭圆运动。以方向为法向方向，建立自然坐标系，把质点运动分解成绕O点的转动及在法向方向的移动两种分运动，则质点在P处发生微小位移 vd t时，力F所作的功为：

图2 非圆周运动分析图

2.3 刚体平面运动

刚体作平面运动时,刚体上每一质点的运动状态都可分解为随质心的平动与绕质心轴的转动。如图 3所示，设力作用于作平面运动的刚体上的第i 个质点，由图可知，第i 个质点的位置矢量为所以第i 个质点的元位移为，根据功的定义式，可知力iF对刚体做的元功为：

式中ω为质点i绕C点转动的角速度。通过分析，我们可以发现力对刚体作的功可分解为两个部分：式中第一项表明刚体质心平动动能的变化量；式中第二项表明刚体绕质心轴转动的转动动能的变化量，即力相对质心轴的力矩功。若刚体质心相对参考点的位移为零，则刚体绕质心轴做定轴转动，这时力的功就是为力矩功。

图3 刚体平面运动

3 实例分析

常见实例：光滑桌面上有一质量为m的质点，拴在一根穿过桌面光滑小孔的绳子上。初始时，该质点离中心距离为r0，并以角速度ω0旋转，现向下拉绳，使质点的径向距离减少，质点从r0变到r0/2继续旋转，求拉力作的功。

分析：当质点的径向距离逐渐减少时，质点绕圆孔的运动是非圆周运动，拉力的功与拉力相对圆孔参考点的力矩功不相等。

解法一：利用动能定理求解。质点m所受绳子拉力相对小孔的力矩始终为零，所以拉力矩的功为零，角动量守恒，有

解法二：利用功的定义式求解。设质点m由r0非常缓慢地渐变到，绳子的拉力也随之逐渐增加，由角动量守恒定律及绳子拉力提供向心力，可得。根据功的定义式，计算拉力功

式中拉力使质点m沿矢径方向靠近O点的效果，所以虽然力矩功为0，但拉力的功不为0。

4 结论

力对物体有移动效应，也有使物体绕某点转动的效应，力矩是物体转动效应的量度。功是描述力在物体位移过程中的空间累积效应，是能量变化的一种量度。当力使物体相对参考点做圆周运动时，力的功等于力矩功；当力使物体相对参考点的运动仅有矢径方向上的平动时，该力相对参考点力矩的功为零，但力的功不为零；当力使物体相对参考点的运动既有转动，也有径向方向上的平动，则力的功为力矩功与物体相对参考点方向发生移动效应的所做功两部分之和，力的功不等于力矩功。力的功是物体动能变化的量度，力矩功是转动动能变化的量度，是力的功在转动运动形式中的引申。

[1] 张立新. 物理学中的演绎逻辑[J]. 江苏教育学院学报(自然科学版), 2013, 29(5): 42-45.

[2] 漆安慎, 杜婵英. 普通物理学教程-力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 113-184.

[3] 赵凯华, 罗蔚茵. 力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1995: 211-214.

[4] 程守珠. 普通物理学（第六版）（上册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 120-122.

O4-0

A

1003-7551(2016)01-0040-03

2015-1-20

湖南省教改项目(湘教通【2015】291-487)；湖南省教育厅教改项目(编号：2013-223-452)

† 通讯作者：chenyaqi_0@163.com