闵立清, 曹静, 王纪俊, 朱宇光

(1.常州工学院 计算机信息工程学院,江苏 常州 213002;2.江苏大学理学院,江苏 镇江 212013)

一种三阶自治电路系统动力学行为的分岔算法及仿真

闵立清1, 曹静2, 王纪俊2, 朱宇光1

(1.常州工学院 计算机信息工程学院,江苏 常州 213002;2.江苏大学理学院,江苏 镇江 212013)

自治电路系统有两种最为常见的分岔模式，即静态分岔和Hopf分岔。在一定的条件下，系统的平衡点可以通过这两种分岔模式改变其运动状态。基于分岔理论，分析了平衡点分岔的条件，给出了相应的分岔集，得出了相关算法；通过数值计算验证了分岔集的存在性；并应用Multisim软件设计搭建了实验电路。

自治;电路系统;分岔;算法;仿真

0 引 言

自蔡氏电路中的混沌现象被揭示以来，非线性电路的理论和实验研究引起了各国学者的广泛关注，成为当前电路研究中的热点课题之一[1-2]。各种非线性电路被设计出来，学者通过建立数学模型，结合实验方法对其中的复杂动力学行为进行了大量的研究工作，揭示了许多诸如环面破裂、间歇、超混沌、混沌危机等复杂特性[3-7]。本文在前人的研究基础上，提出只含乘积项的三阶非线性电路系统，从分岔理论分析和数值仿真两个方面对其基本动力学特性进行研究，并设计该混沌系统的电路仿真实验加以验证。

1 分岔算法

三维自治电路系统的状态方程如下[8-9]：

(1)

为了深入分析本文中的三维自治电路系统，首先求解这个系统的平衡点，令式(1)的右边等于零，得到两个平衡点分别为[10]：

为了求得系统的状态方程(1)的Jacobian矩阵，把系统在平衡点E0=(0,0,0)处进行线性化，得到其Jacobian矩阵为[11]：

(2)

由Jacobian矩阵(2)可以求得系统的特征多项式：

f(λ)=λ3+(b-c)λ2+(1-bc)λ+b=0

(3)

平衡点失稳存在两种可能的方式，相应的临界条件分别被称为简单分岔集和Hopf分岔集，这样可以定义两种形式的分岔集。

通过(3)式可得其简单分岔集S0：

b=0

(4)

相应Hopf分岔集H0：

F(b,c)=(b-c)(1-bc)-b=0

(5)

(6)

相应的简单分岔集为S1：

b=0

(7)

Hopf分岔集为H1：

(8)

其中S0、H0与平衡点E0有关，S1、H1与平衡点E1有关。

从以上分岔集的解析式可知，参数平面可被划分为不同的区域，系统在各区域内的动力学行为将通过分岔相互转化。接下来我们通过数值计算，考察平衡点的分岔情况。图1是以(b-c)参数平面为例，经龙哥库塔法计算得到的系统在不同参数条件下的相轨迹。由此我们可以看到，系统由平衡点经Hopf分岔演化为周期运动。

2 数值模拟

为了探讨系统的状态方程(1)中的各种运动模式，揭示系统更为复杂的动力学行为，我们对该系统进一步进行数值模拟，以刻画其相应的演化过程。平衡点经过Hopf分岔后进入周期运动后将有可能出现混沌现象，系统的运动将稳定到一个吸引子上，这就是系统的状态方程(1)的混沌吸引子。图2(a)—(d)给出了随着参数b和c取不同值时的x-z平面上的相图。根据以上相图可知，系统动力学行为由周期运动进入加周期分岔，图2给出了系统周期增加的历程。

图1 随着参数b和c 变化时系统的相图

3 电路仿真

根据系统的相图发现当取a=1.0，b=0.4，c=0.33时系统明显地表现出丰富的动力学特征。所以在本节的电路设计中参数分别取以上值采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)来设计实现系统的状态方程(1)的电路，如图3所示。其中运算放大器用来进行电路的加减运算，模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项。

图2 系统在不同参数条件下的相图

首先，对系统电路方程进行线性变换以避免乘法器和运算放大器出现饱和失真，将状态量做了10倍的缩小变换。由于乘法器AD633的增益为0.1，因此，得到的电路方程如下：

图3 系统(1)的电路实现图

(9)

由电路的基本理论以及各个组件的特性，得其数学方程为：

(10)

令C1=C2=C3=10 nF，Rf1=Rf2=Rf3=10 kΩ，R3=R4=R6=R7=10 kΩ，可得：

R11=100 kΩ，R12=1 kΩ，R21=1 000 kΩ,R22=250 kΩ，R31=100 kΩ，R32=300 kΩ。

图3即为基于系统的状态方程(1)的电路设计图，并根据基尔霍夫等定律给出了相应的元器件参数。这个电路可以采用Multisim10.0这款软件来模拟搭建，通过这款软件，运用各种元器件我们可以搭建所设计的实际电路，进行相应参数的设置，并可以模拟观测在电路系统中出现的一些复杂动力学特性。

4 结束语

本文围绕一类三维非线性自治光滑系统，基于分岔理论和数值计算探讨了系统的动力学行为。通过对系统平衡点的分岔分析给出了该电路系统在参数平面上的分岔集和相应的相图等，得到了系统倍周期分岔的演化过程。并在此非线性系统的基础上设计了相应的电子电路，给出了具体元器件参数，证明了在一定程度上该非线性电路系统的可实现性。

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A Bifurcation Algorithm and Simulation of Kinetic Behavior of a 3rd-order Autonomous Circuit System

Min Liqing1, Cao Jing2, Wang Jijun2，Zhu Yuguang1

(1. School of Computer Information & Engineering, Changzhou Institute of Technology,Changzhou Jiangsu 213002, China;2. School of Science, Jiangsu University, Zhenjiang Jiangsu 212013, China)

There are two most common bifurcation modes for the autonomous circuit system, namely static bifurcation and Hopf bifurcation. Under certain conditions, the system balance point can change its motion state through these two bifurcated modes. Based on the bifurcation theory, this paper analyzes the conditions for the bifurcation of the balance point, presents corresponding bifurcation sets, and obtains related algorithms. Existence of the bifurcation set is verified through numerical calculation. An experimental circuit is designed and set up by using Multisim software.

autonomy;circuit system;bifurcation algorithm;simulation

本文受基金项目1江苏省高校自然科学研究面上项目(11KJD520002)，基金项目2常州市科技计划项目(CC20120030)资助

10.3969/j.issn.1000-3886.2016.05.011

TP31

A

1000-3886(2016)05-0034-02

闵立清(1962-),男,江苏常州人，本科，讲师/工程师,主要研究方向为计算机与智能控制技术。

定稿日期: 2016-03-12