胡磊

几何概型是一个重要的概率模型，由几何概型的概率公式可以知道，确定几何区域的测度是至关重要的.因此，我们要掌握几种常见测度的几何概型，举一反三，做到真正地掌握几何概型的概率求法.下面我们就介绍几种常见测度的几何概型.

一、长度型几何概型

例1已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是.

解析：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是27.

点评：本题考查了几何概型问题，其与线段上的区间长度及函数被不等式的解法问题相交汇，使此类问题具有一定的灵活性，关键是明确集合测度，本题利用区间长度的比求几何概型的概率.

例2在区间[-3，5]上随机取一个数a，则使函数f（x）=x2+2ax+4无零点的概率是.

解析：由已知区间[-3，5]长度为8，使函数f（x）=x2+2ax+4无零点即判别式Δ=4a2-16<0，解得-2

点评：本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答.

二、面积型几何概型

例3已知1≤a≤3，2≤b≤5，则方程x2-bx+a2=0有实数解的概率是.

分析：根据已知条件需要明确本题涉及是古典概型还是几何概型，由于任取一个实数，事件个数是无数多个，所以满足几何概型.剩下的是解决本题需要建立正确模型，关键构造满足条件的几何图形，结合面积计算方法求解.

解析：x2-bx+a2=0有实数解的充要条件是Δ=b2-4a2≥0.

即b+2a≥0

b-2a≥0或b+2a≤0

b-2a≤0.如下图所示，区域1≤a≤3，2≤b≤5的面积为6，

在1≤a≤3，2≤b≤5前提下，区域不等式组表示的区域面积为12×3×（52-1）=94，

由几何概型等……