张宪政，张里伟，梅李霞，李森，胡益富

（中航工业洪都，江西南昌，330001）

谐和与气动噪声联合激励下碰撞振动系统的响应分析

张宪政，张里伟，梅李霞，李森，胡益富

（中航工业洪都，江西南昌，330001）

借助飞行器表面气动噪声环境特性的工程估算公式，对谐和与气动噪声联合激励下飞行器内部单边约束的碰撞振动系统的响应问题进行了分析。

谐和激励；气动噪声；碰撞振动

0 引言

由于飞行器在高速飞行过程中需经历复杂的动力环境，特别是非定常的飞行扰流，将导致飞行器表面产生脉动压力(气动噪声)。这种脉动压力,成为飞行器结构所承受的随机载荷,有可能引起飞行器内部结构的碰撞振动(Vibro-Impact)，即零部件之间（或零部件与边界间）的往复碰撞。为使越来越精密的飞行器内部结构安全可靠地运行，必须深入研究系统的碰撞振动。碰撞振动系统是复杂的强非线性系统，目前已有大量的文献涉及单、多自由度碰撞振动系统响应的稳定性、分岔及混沌，但其绝大多数是讨论确定性的碰撞振动系统，而对涉及随机因素的碰撞振动系统，特别是多自由度碰撞振动系统响应的研究成果并不多见[1]。本文基于工程实际的需要，利用数值模拟对谐和激励与气动噪声联合作用下系统的动力学行为进行了探究。

1 力学模型

在飞机的内部结构中，常常会遇到这样一种模型，它由一个简单的振子和位于振子一侧的一个弹性壁共同构成，如图1所示[2]。假设系统振子的运动可以由具有约束的Duffing方程来表示，则该系统的运动方程为：

图1 具有单侧约束面的机械振子

式中：c，ω1分别表示系统的阻尼系数和自然频率，F，ω分别表示系统外激励力的幅值和频率，a0为振子静平衡位置到约束面的距离，约束条件为x＜a0，约束面为∑={(x,x˙)｜x=a0}，跃变方程为x˙+=-ex˙-，e为系统的碰撞恢复系数，ε≪1为一个小参数，ξ(t)是气动噪声导致的随机载荷，其谱密度函数取为：

其中:prms为均方根脉动压力，为当地附面层厚度，Rex为当地雷诺数；Vc=0.6V∞为边界层外缘速度。下面将通过数值仿真来研究此类系统的动力学行为和气动噪声对于这类系统动力学行为的影响。

2 系统的数值仿真分析

图2 振幅F=1.3,系统1-1响应

图3 振幅F=1.5，系统2-1响应

基于上述系统，首先来考虑没有随机激励的情形，即ξ(t)=0，这时系统仅有外部的谐和激励[4]。在以下的数值模拟中，取系统参数分别为：系统阻尼系数c=0.3，系统自然频率ω1=1.0，小参数ε=0.3，系统碰撞恢复系数e=0.7，振子平衡位置到约束面的距离，系统初始条件为：t=0时，x=-4.0，x˙=0.0。

当系统谐和激励的频率ω=0.5，振幅F=1.3时，利用数值模拟求解系统稳态响应，可知系统存在稳定的周期响应，系统周期为T=2π，绘制系统稳定周期下的相轨迹和时间历程如图2所示，由图2(b)可知，系统在一个周期内有一次位移到达碰撞面，则可知系统在一个周期内发生了一次碰撞，可将其记作1-1运动。其他参数不变，增大振幅F，当F=1.5时，由图3（b）知，系统在一个周期内有两次位移到达碰撞面，即有两次机会使得位移x=1，则可知系统在一个周期内发生两次碰撞，可将其记作2-1运动。继续增大振幅F，当系统激励振幅F=2.1时，如图4所示，系统运动变为3-1运动，继续增加振幅F，可以知道系统的运动将出现4-1运动，如图5所示，继续增大振幅F，则会出现5-1运动，6-1运动等等。取系统振幅F为变量，可得到系统的分叉图，如图6所示，取系统碰撞面为Poincare截面，根据这个Poincare截面图，可以清晰的看到振幅F变化时系统的运动趋势。

图4 振幅F=2.1，系统3-1响应

图5 振幅F=2.7，系统4-1响应

图6 振幅F变化时系统运动的分叉图

分析上述得到的碰撞振动系统响应（即相轨图，时间历程图，分叉图），不难发现，该系统发生了一种很特别运动现象，即擦边碰撞，不难看出，其原因是由于系统轨线不断地在零速度时刻与弹性壁（系统右侧约束面）发生碰撞而产生的，这类系统的分叉也叫做擦边分叉，与一般光滑系统的分叉有着明显的区别。同时，根据系统的时间历程图容易看出，系统在碰撞面不断分生这种擦边碰撞，但从分叉图又可以看出，每相邻两次碰撞发生的时间间隔是远小于一个外激励周期T的，由此，学者们把这种现象统称为“磕碰运动”(chatting impact),这种运动也是碰撞振动系统中存在的一种重要现象。

另一方面，再来考虑系统外激励频率变化时对系统运动的影响，取系统的初始条件同上，谐和激励的振幅F=4.0，频率ω从1.7递减到0.2，利用数值模拟可求得系统的分叉图，如图7所示，取系统碰撞面为Poincare截面，根据这个Poincare截面图，可以很容易的得到系统的运动状态，当系统的频率递减时，该系统的响应从1-1运动变换为2-1运动、3-1运动、4-1运动……n-1运动,也就是说系统不断发生碰撞，产生了擦边分叉，但其产生的原因与上述提到的产生原因有所不同，它不是由于系统轨线不断地在零速度时刻与弹性壁（系统右侧约束面）发生碰撞而产生，而是由系统本身的非线性与碰撞产生的，如图8所示，可以清晰的看到频率不同时系统的1-1运动、2-1运动、3-1运动、4-1运动。同时，这种现象也可以导致“磕碰运动”的发生。

图7 频率ω变化时系统运动的分叉图

从上述数值模拟结果可以看出，擦边分叉这种特殊的分叉是普遍存在于这个系统当中的，但是它们的产生原理却是不同的，值得注意，第一种擦边分叉是由于系统轨线不断地在零速度时刻与弹性壁（系统右侧约束面）发生碰撞而产生的；第二种擦边分叉是由于系统本身的非线性与碰撞产生的，这里不在赘述。如果考虑系统响应关于约束面的周期性的话，上述两种分叉均具有相似的地方，都可以称为“加周期分叉”。上述所看到的擦边分叉现象是非光滑碰撞系统当中所特有的，而一般光滑系统不存在此现象。

图8 不同频率时系统的运动

现在来考虑系统在随机激励下响应的变化情况，以振幅F=1.7,频率ω=0.5时系统的响应做进一步的研究，当随机激励谱密度S(ω)=S0=0.00001时，可得到系统的响应，如图9所示，图(a)为相轨迹，图(b)为时间历程的局部放大图，观察发现系统的运动并没有明显的变化，这是由于随机激励的强度比较小的原因，继续增加随机激励的强度，当S(ω)=S0=0.00005时，系统的运动如图10所示，图(a)为相轨迹，图(b)为时间历程的局部放大图，仔细观察时间历程放大图可知，系统在一个周期内有两次位移到达碰撞面，即有两次机会使得位移x=1，则可知系统在一个周期内发生两次碰撞，可将其记作2-1运动，比较图9与图10可以发现，随着随机激励强度的变化，系统的运动发生了本质的变化，这种变化的原因主要是由于系统的轨线本来就靠近碰撞约束面，随着随机激励强度的增加，系统受到随机扰动作用，使得系统的轨线发生扩散，从而与弹性壁发生碰撞，这与光滑系统中随机噪声对系统响应的影响也是完全不同的，而对于图3原系统的2-1运动等类似情形，则没有多大的影响，只是系统轨线发生了扩散，这是因为2-1运动的轨线与碰撞面相距较远，即不是在系统发生擦边分叉的临界情形，只有在更大的强度激励时才可能由于扰动而再次发生碰撞，但如果是在将要发生擦边分叉的临界情形，则会出现类似于图10的情形。

图9 谱密度时系统的响应

图10 谱密度时系统的响应

3 结论

本文从客观实际抽象出的模型出发，研究了在谐和与气动噪声联合激励下单边约束的Duffing系统碰撞振动系统的响应问题，发现这类碰撞振动系统中不仅具有一般光滑动力系统所能产生的现象，而且具有自己本身独特的现象，如：擦边分岔、倍周期分岔等，并且发现这些现象是互相伴随产生的。同时还发现随机噪声对于这类系统响应的影响并不像对于光滑系统那样单纯，在某些临界的情况下，随机噪声对于系统响应的影响是非常明显的，甚至能改变系统的运动性质。

[1]丁旺才,谢建华.碰撞振动系统分岔与混沌的研究进展[J].力学进展,2005,35(4):512-524.

[2]冯进钤,徐伟,王蕊.随机Duffing单边约束系统的倍周期分岔[J].物理学报，2006,55(11)：5733-5739.

[3]戎海武,徐伟,孟光，等.谐和与随机噪声联合作用下非线性系统的响应[J].应用力学学报,2001, 18(4):32-36.

[4]李高杰.随机非光滑动力系统的分岔和混沌研究[D].西北工业大学硕士学位论文,2008.

[5]戎海武，王向东，罗旗帜.有界随机噪声激励下碰撞系统的稳定性.振动学报，2013.

[6]Rong H.W.,Meng G.,Wang X.D.Response statistic of strongly non-linear oscillator to combined deterministic and random excitation[J].Int.J.of Non-Linear Mech.,2004,39:871-878.

[7]Peterka F.Introduction to Vibration of Mechanical System with Internal Impact[M].Prague:A－cademia,1981.

>>>作者简介

张宪政，男，1983年出生，2007年毕业于哈尔滨工程大学，工程师，现从事飞机结构强度设计工作。

Analysis on Response of Vibro-Impact System under United Excitation of Consonance and Aerodynamic noise

Zhang Xianzheng,Zhang Liwei,Mei Lixia,Li Sen,Hu Yifu

(AVIC-HONGDU,Nanchang,Jiangxi,330024)

By using the engineering estimation formula for environment characteristic of surface aerodynamic noise from flying vehicle,this paper makes an analysis on the response of vibro-impact system restricted unilaterally inside the flying vehicle under united excitation of consonance and aerodynamic noise.

Consonance;Aerodynamic noise;Vibro-impact

2016-10-18）