张培成

（杭州市萧山区瓜沥镇党山初中）

优化数学解题步骤，提高数学解题能力

张培成

（杭州市萧山区瓜沥镇党山初中）

影响初中生数学解题能力的因素有很多，教师在教学中如何更好地引导学生解答数学问题，不断提高学生的数学解题能力是一件不容易的事，是一项综合性的工作，也是一个复杂而长期的过程。美国著名数学家G·波利亚在他的著作《怎样解题》一书中，把数学解题的过程分为“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”四大步骤。通过教学实践和思考，结合解题经验，从数学解题四个步骤的角度出发，就如何通过培养学生的各种习惯和能力，提高学生的数学解题能力进行了初步的探索。

解题能力；习惯；培养；提高

美国著名数学家G·波利亚说过：“问题是数学的心脏，掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”可见，解题是数学的核心，也是教学活动的基本形式和主要内容。要善于解题，就要具有较强的解题能力。数学中的解题能力就是综合运用数学基础知识、基本思想方法和技能以及逻辑思维规律，整体发挥数学基本能力进行分析和解决数学问题的能力。显然，解题能力是一种综合性的能力，解题能力标志着一个人的数学水平。但数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫，要想使学生身临题海而得心应手，身居考室而又处之泰然，就必须培养他们的解题应变能力。有了较强的应变能力，在漫游“题海”时，才能随机应变。作为数学教师，能否培养并提高学生的解题能力，不仅直接关系到学生学习数学成功与否，而且也是衡量教师数学教学业务水平高低的重要标尺之一，尤其是以解决问题为重心的数学知识运用教学。

因此，培养学生的解题能力，是搞好初中数学教学，实现课程目标必不可少的重要环节。G·波利亚在《怎么解题》（How to Solve It）一书中，通过“怎么解题表”，说明了解题的四个阶段，即“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”，并以问题的方式呈现了各个阶段所包含的成分。这四个阶段的内容包括：（1）弄清问题，解题要了解未知数是什么、已知数是什么、已知条件是什么、利用各种不同的表征方式等等；（2）拟定计划，利用重新叙述题目的方式、回到定义或者参考之前类似题目的解法等方法制订计划；（3）实现计划，不仅要实现求解计划，而且要检验每一个步骤；（4）回顾，检验论证并找出别的方法。波利亚所提出的这些问题实际上涉及了问题解决的一般策略。

一、初中数学步骤不规范的原因及现象

1.对规范解题的作用认识不足，往往认为最终的答案才是最主要的

从学生的作业以及平时交谈中发现，许多学生认为数学作业只要最后的结果正确就行了，至于计算过程、思路只要在脑袋里就行了。导致很多题目会而不全，作业中只有结果，没有过程，让人怀疑答案的来源。考试检测中往往没得分或只得很少分。

2.粗心大意，解题时思维不严密，出现“跳步”“缺步”解答

通过平时作业的批阅，很多学生解题虽然有解题过程，但逻辑性不强，特别是几何证明题中“跳步”“缺步”条件不足等现象尤为严重。

3.没有良好的习惯

字迹潦草，步骤凌乱，书写不认真。农村初中大多数家长工作繁忙，文化水平不高，对子女的教育只看结果，对子女的学习习惯很少关心，更不用说去培养学生良好的学习习惯了。

二、数学解题步骤的优化及其策略

本人通过十几年的教学实践和思考，结合自己的解题经验，从数学解题四个步骤的角度出发，就如何通过培养学生的各种习惯和能力，提高学生的数学解题能力进行初步的探索。

1．弄清问题，即审题和理解题意

所谓审题，就是在对问题进行感知的基础上，对数学题目提供的情节内容和数量关系的分析和理解，对条件和问题进行全面的认知，通过对问题的数学特征进行分析，从而对所要解决的问题在头脑中有一个清晰反映的思维活动。数学审题是正确、迅速解题的基础和前提，是进行正确做题不可缺少的环节，解题的成功很大程度上取决于审题的成功与否。准确、敏锐、深入的审题是正确分析问题，把握问题本质，探寻解题思路，提高数学解题能力的关键。但审题又是学生在解题过程中容易被忽视的环节，因此，在教学中我们数学老师应该对审题要足够地重视，经常强化学生的审题意识，培养学生的审题能力。

（1）培养学生认真、仔细审题的习惯

解题前教师应尽量给学生足够的审题时间和思考空间。让学生认真细致阅读题目，在读题审题中多角度无遗漏地收集题目有效信息。简单的题目看一遍，一般的题目看两遍，难题和新颖的题目多看几遍，边看边分辨已知和待解。然后我们可以分析问题目的，关键字词，已知条件和题目所求，题目的条件间的相互联系和相互作用，有意识地培养学生从材料中发现信息、识别信息、获取信息、整合信息的能力。对于审题急于求成，马虎草率的学生，要批评指正，指出危害。

案例1：

“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：

价格种类 进价（元/台） 售价（元/台）电视机 5000 5500洗衣机 2000 2160空调24002700

①在不超过现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍。请问商场有哪几种进货方案？

②在2012年消费促进月，商家针对这三种节能型产品推出1000元送50元家电消费券一张、多买多送。在①的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？

学生经常审题不仔细，对于第①小题，要看清楚问题是求什么，是几种方式，还是哪几种方式；对于第②小题，许多学生就受以前做类似问题的定式思维影响，求利润的最值问题，而此题却是需求售价的最值问题。

（2）引导学生对关键词语的理解

在数学解题中对关键性词语的深刻分析是非常有必要的，然而学生往往错误地认为只有语文的学习才讲究词语分析。而解题时却往往由于对关键性词语的理解不确切，造成对题目的要求范围和界限不明确，结果把解题解错或解不出来。因此审题时在阅读题目的基础上，要边读边想，对一些关键的词语应特别注意，并认真思考、斟酌，以求获得解题信息，找到解题的途径和方法。

案例2：

（2013·莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干。已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同。

①两种跳绳的单价各是多少元？

②若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？

此题只需抓住关键词句，如：两倍多4元、费用相同、不超过2000元、不超过长跳绳的6倍等。①设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元，根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元；购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解出即可；（2）设学校购买a条长跳绳，购买资金不超过2000元，短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，可得出不等式组，解出即可。

（3）培养学生挖掘隐含条件的能力

试题中的隐含条件是指试题中含而不露的条件，具有一定的隐蔽性，它对解题的影响很大，既起干扰作用，又起暗示作用。疏忽和轻视隐含条件，就会导致解题困难或者思维不严谨。把隐含条件挖掘出来，常常是解题的关键所在。要想快速、准确地挖掘隐含条件，就应该对试题中的每句话、每个条件进行仔细分析、推敲，并与已学过的数学概念、公式、定理、性质等有机地联系起来。

案例3：

2.拟定计划，即寻找并确定解题思路和方法

拟定计划是在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，根据题意，联系所学知识，从而为正确解题寻得路径、形成思路和方法的过程。而数学基本概念、基础知识和基本技能都是解题思路的源泉，离开它们，解题就成了无本之术，无源之水。因此，审题之后首先要回顾题目中涉及哪些主要概念。这些概念是如何定义的，在题目的条件和结论里，与哪些定理、公式、性质有关，可否直接使用。题目所涉及的基本技能、方法是什么等。经过这样一番深入思考之后，解题途径将会逐步明朗，解题计划就随之形成。

（1）培养学生联系、整合知识和信息的能力

重视对题中的文字材料和图表信息的分析与理解，它们是解题的直接依据。将获得的数学信息与已学过基本知识和技能建立准确而有效的联系，并且联系已做过的“熟题”的解题方法和过程，带着问题和信息去探求解题思路和答案要点。同时注意对“熟题”要保持高度的警觉性，要密切关注其中情景和设问的变化，将每一道题都当作新题来解答。

案例4：

甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半小时后返回A地。如图是他们离A地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系图象。

①求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？

在函数问题里面，对分析理解图表、文字材料有着更高的要求，同时它也是解决问题的最重要依据和解题方法的最佳途径。此题应引导学生结合文字材料，仔细观察和分析图象，抓住图象的特点，找到图象中的一些关键点及其坐标，并思考它们在题中所表示的实际意义。

（2）培养学生类比迁移的能力

所谓类比，就是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出其他方面可能相似或相同的结论；所谓迁移，就是已经获得的知识技能、方法态度与新知识、新技能之间发生的相互影响。信息给予题是初中数学题中的一种常见题型，它要求考生能够灵活且有创意地思考问题。因此，教师可通过从旧知到新知的迁移、从感性到理性的迁移、从理论到实践的迁移这三方面来培养学生类比迁移的能力，让学生掌握解决数学问题的方法。

案例5：

已知点A（1，5），B（3，－1），点M在X轴上，当AM-BM最大时，求点M的坐标。

对于求两条线段的和最小的问题，学生见得很多，而此题就需要从常见的问题中，通过类比、迁移，由已知的解题方法——做对称，来联想本题也找对称点从而解决问题。

（3）培养学生数学思维的灵活性

思维的灵活性是指转向的及时性以及不过多地受思维定式的影响，善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来，能根据情况的变化，发现新的事实，及时修正原来的观念和想法，转化或调整原有的思路和方法，寻找新的解决问题的途径，即能随机应变。那么，在解题时，我们要善于让学生做到化繁为简、化隐为显、化难为易、化未知为已知、化一般为特性、化抽象为具体。当学生的常规思维受阻时，可变换思维的角度来寻求新的解题途径，使他们思维的灵活性得到培养和发展。

案例6：

若方程x2+4mx-4m+3=0，x2+2mx-2m=0，x2+（m-1）x+m2=0中至少有一个方程有实数根，求实数m的范围。

注意这里的关键词语“至少”，它包含三层意思：三个方程都有实根；其中两个方程有实根；其中一个方程有实根。逐次讨论m的范围是十分复杂的，于是引导学生考虑“至少”的反面是什么？学生很容易答出“三个方程均无实根”，因而三个判别式都小于零，得到不等式组，并解得-＜m＜-1，所以当-＜m＜-1时，三个方程均无实根。则当m≤-或m≥-1时，三个方程中至少有一个方程有实根。

3.实现计划，即具体答题书写

审题、寻找解题思路是解题的两个重要环节，而这两个环节都是为实现答题服务的。在学生弄清题意和寻找到解题思路之后，就会着手于实现解答的书写。学生在书写答题的过程中往往会遇到这样或那样的问题，如数学语言表述不清、不规范，解题过程不合理、不严密，推理过程跳步、论据不足，结论不完整或答非所问，字迹书写潦草、凌乱等。以至于很多学生出现会而不对、对而不全甚至误判的情况，导致题目的实际得分与学生的自我感觉或估计分数有较大的差距。

（1）培养学生数学语言的表达能力

数学语言是指对数学概念、术语、符号、公式、定理、图形、运算定律、法则及解题思路、推导过程等的表述。数学语言可分为文字语言、符号语言、图形语言三类，具有准确、抽象、简练和符号化等特点。每个数学题目都是由一些特定数学语言所组成的，数学解题活动的过程，实际上就是数学语言的转化过程。很多学生解题时尽管解题思路正确甚至很巧妙，但不善于把它转化为数学语言或者数学语言表达不准确、不规范，以至于心中有数却说不清道不明，因此得分少。只有重视解题过程的语言表述，将解题过程转化为数学语言，准确、规范、完整地表述出来，“会做”的题才能“得分”。

比如，等腰三角形中“在同一个三角形中，等边对等角”“等腰三角形的三线合一”，不少学生会写“等边对等角”“三线合一”等等。

（2）培养学生解答过程的合理性和严谨性

解答过程的书写要正确、合理、严密、清楚。把运算、推导、作图与所得的结果书写出来，是解题的一个基本要求。解题的步骤都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，合乎逻辑性。任何数学题的解答都有一定的严格要求，解题要依照要求的步骤进行，格式符合规定。无论哪种格式，书写都应层次分明，条理清楚。怎样把数学题的解答严谨地书写出来是件不容易的事，这有着较高的能力要求。尤其是教师在教学过程中要作出示范，使学生有榜样可学，这样才能逐步培养学生严谨的表达能力。

案例7：

如图，已知边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，求⊙O的半径r。

很多学生在作完辅助线后，根本就没有去说明AD经过圆心O或AD垂直于BC，甚至没有去说明∠OBD=30°就直接开始计算。其实本题的数量关系和计算比较简单，重点就是要运用圆的知识去说明△OBD是一个含30°角的直角三角形，这才是回答此题的主要过程。

（3）培养学生良好的书写习惯

答题时卷面要整洁，书写要工整，切不可潦草，做到字体匀称，字迹清楚，疏密适度，行款得体。写字小或者字间距、行间距太小，字结构比较紧密的容易造成老师阅读困难。写字潦草、写字小、写字密的学生一定要将字写得大点，字间距大点。如果书写做不到美观的话，一定要做到清晰，字迹做不到养眼的话，一定要做到顺眼。书写时还要注意分段、分行、分点，若要点较多，要标注序号，做到排布整齐，段落清晰，突出重要观点，使评卷老师在最短时间内把握学生答题的有效信息，这将是使学生的试卷增值的重要因素。

4.回顾，即解题之后进行反思

解题反思就是对解题活动的反思，它是对解题活动深层次的再思考，不仅仅是数学解题学习的一般性回顾和重复，更是深究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究性质。解题反思的目的是认识问题的深层次结构，通过解有限的题去学会和领悟那种解无限道题的数学机智，最终提高学生的数学解题能力。但学生经常会忽略解题反思，而它恰恰是解题过程中非常重要的环节。正确地对待解题反思可以使学生避免在解题过程中犯不该犯的错误，也可以深化学生对基本知识的理解以及深化学生对数学思想方法的掌握，还可以提高学生的数学思维能力。事实上，通过回顾和反思，对把握数学问题的本质，揭示解题规律，培养良好的思维品质，提高分析探索和创造能力有很大的帮助，它是使学习者的认识由低级向高级发展的一条重要途径，也是提高解题能力的一条重要途径。

（1）培养学生检查与验证的习惯

在解完一道题之后，还不能万事大吉，我们还应该引导学生养成良好的反思习惯，及时对解答过程和结果进行检查和验证。由于学生的年龄特征及数学认知结构水平的限制，以及对数学基本概念、基本技能掌握得不熟练，在答题过程中往往会出现很多问题。因此，我们要抓住学生在解题过程中的不准确，对概念理解的不深刻，考虑问题的不全面，甚至是计算能力欠缺而导致的错误结果，有意识地启发、引导学生对解题过程和结果进行检查和验证。检查解题过程是否合理和完整，验证结果是否正确或遗漏。

案例8：

本题对于一般学生来说，这是一个简单题，但是他们往往还是会失分，原因是忽略了本题中分母和除数不能为0的隐含条件。教学中教师应引导学生进行检验，把x的值带入原式再算一遍，这样学生就很容易发现问题。因而在解完一题后，检查和验证这一环节是非常必要和重要的。

（2）培养学生归纳与总结的习惯

同一类型的问题，解题方法和思路往往有其规律性，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，透过事物表面现象，洞察本质，认真探索和总结解题规律，引导学生从特性到一般，从而推广出这一类问题的解决办法，力图从解决问题中找出新的、普遍适用的东西，以现在的解决问题的经验帮助今后的问题解决，这样有利于培养学生深入钻研的良好习惯，提高数学解题能力。

（3）培养学生引申与拓展的能力

引申与拓展，主要是指对精挑精选的题目进行变通推广、重新认识，注重一题多问、一题多解、一题多变。恰当合理的引申和拓展能营造一种生动活泼、宽松自如的氛围，能开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于提高学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、触类旁通。在引申与拓展的过程中，一定要自然流畅，切忌牵强附会，要引导学生通过对引申和拓展的题目加深对所学知识的理解和掌握。同时，教师要注意到并不是每一个数学题都要引申和拓展，要限制在学生已有的认知基础上，有梯度、循序渐进地进行，而且引申和拓展的题目的数量必须要有度。

总之，数学的解题能力是学生运用所学的数学知识技能去分析解答各种数学问题的综合能力，体现一个学生数学思维的性质和数学水平的高低。初中数学解题存在很强的灵活性，在平时教学中，不能通过多做题来提高学生的解题能力。而应培养学生平时认真审题和独立思考的习惯，培养学生规范答题和反思回顾的习惯，把这些习惯培养成为学生的自觉行为，从而有效地提高解题能力。要知道，让学生掌握一定的解题能力不仅是我们开展数学教学的最终目的，也是学生综合素质的集中反映。因此，作为数学教师，我们一定要重视解题能力的培养，重视教学策略的运用。从每一堂课、每一个细节抓起，培养学生良好的解题习惯，激发学生学习数学的兴趣，逐步提高数学解题能力。

［1］波利亚.怎样解题［M］.上海科技教育出版社，2002.

［2］魏荣芳.怎样提高学生的数学解题能力［J］.基础教育论坛，2007（7）.

［3］范久新.如何提高学生的解题能力［J］.新课程研究，2008（8）.

［4］王玉花.数学解题反思能力培养的研究［D］.内蒙古师范大学，2009-03.

·编辑 谢尾合