张水宾

如图：x轴为二次曲线的对称轴，其上两定点Q、D，假设过点Q的动直线交x轴于两点E、F，A为曲线的一个顶点，L垂直于x轴且过点D，直线EA交L于M，直线FA交L于N，MN的中点为P，则EF、PQ关于X轴的倾斜角的正切值之积[k?k']为常数

<E：＼123456＼速读·下旬201602＼Image＼image2.png>

证明：设顶点A为坐标原点，建立坐标系如图所示，则椭圆为[（x+a）2a2+y2b2=1]

设[Q（n，0）]，直线L：[x=m]，直线[EF：y=k（x-n）]

曲线与直线联立并整理得：[a2k2n2x2+2a（b2-ank2）x+a2k2+b2=0]

所以：[1x1+1x2=-2（b2-ank2）ak2n2]

又[EA：y=y1x1x]，令[x=m]得[yM=my1x1=mk（x1-n）x1=mk（1-nx1）]

同理：[yN=mk（1-nx2）]，

所以[yP=12（mk（1-nx1）+mk（1-nx2））=mk2（2-n（1x1+1x2））=mk2（2+2n（b2-ank2）ak2n2）]

[=mb2nak]     所以：中点[P（m，mb2nak）]

所以：[k'=yP-0xP-n=mb2（m-n）nak]

<E：＼123456＼速读·下旬201602＼Image＼image17.png>所以[k'?k=mb2（m-n）na]为常数

以[bi]代替上述式中的[b]得双曲线的相应结论：[（x+a）2a2-y2b2=1]，

设[Q（n，0）]，直线L：[x=m]，直线[EF：y=k（x-n）]

则[k'?k=-mb2（m-n）na]为常数。

<E：＼123456＼速读·下旬201602＼Image＼image23.png>下面再探讨抛物线的情况

设抛物线为[y2=ax]

设[Q（n，0）]，直线L：[x=m]，

直线[EF：y=k（x-n）]

[y2=ax]与[y=k（x-n）]

联立得：[k2n2x2-a+2nk2）x+k2=0]

所以[1x1+1x2=a+2nk2k2n2]

由上述过程可知[yP=mk2（2-n（1x1+1x2））=mk2（2-n×a+2nk2k2n2）=-ma2kn]

所以：[k'=yP-0xP-n=-ma2（m-n）kn]

[k?k'=-ma2（m-n）n]为常数。

<E：＼123456＼速读·下旬201602＼Image＼image31.png>上述三个结论的统一证明

如右图 直角坐标系所示

设二次曲线为[y2=ax2+bx]

设[Q（n，0）]，直线L：[x=m]，

直线[EF：y=k（x-n）]

由上述过程可知[yP=mk2[2-（nx1+nx2）]]

由[y2=ax2+bx]，[y=k（x-n）]联立得：[n2k2x2-2nk2+bx+k2-a=0]

所以[1x1+1x2=2nk2+bn2k2]

[yP=mk2（2-n（1x1+1x2））=mk2（2-n×2nk2+bn2k2）=-mb2kn]

[k'=yP-0xP-n=-mb2（m-n）kn]

所以[k'?k=-mb2（m-n）n]