张　锐,卢整智

(兰州城市学院数学学院,甘肃 兰州 730070)

一类弹性梁方程多个正解的存在性

张锐,卢整智

(兰州城市学院数学学院,甘肃 兰州 730070)

摘要：文章运用不动点指数理论和上下解方法，研究了一类四阶两点边值问题

得到了其多个正解的存在性定理，并且指出了正解和对应线性问题第一特征值之间的关系.

关键词：正解；上下解；第一特征值；不动点指数

收稿日期：2015-01-03

基金项目：国家自然科学基金项目(11201336).

通信作者：张锐(1966—)，男，教授，硕士，主要从事常微分方程研究. E-mail:2829758387@qq.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.05.013

中图分类号:O175.8MSC2010: 34B18

文献标志码:A

文章编号:1674-232X(2015)05-0522-05

0引言

在材料力学中,杆件的稳定性研究是重要课题之一,而在工程中，两端固定的梁的设计计算，则是稳定性的直接运用，此类梁可用边值问题

(1)

来描述.因而，对四阶两点边值问题(1)也就有了诸多的研究并且有了许多深刻的结果[1-8].本文运用不动点指数原理和上下解方法得到了(1)的多个正解的存在性定理并且建立了和第一特征值之间的关系.

1一些记号和引理

则K是Banach空间中的一个闭凸锥.

引理1[1]Green函数G(t,s)有以下性质：

记

当f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)时，由Arzela-Ascoli定理知，T是全连续算子.

(H1)f0>λ1,f∞>λ1.其中λ1是(1)的第一特征值.

(H2)f0<λ1,f∞<λ1.

引理2[6]设K:E→E是一个线性算子，KP⊂P,如果存在u0∈P{0}使得对任意φ∈P{0}存在自然数n和实数α0>0,β0>0,满足α0u0≤Knφ≤β0u0，那么K叫做u0-界算子.

引理3[6]设K是一全连续的u0-界算子，λ1>0是K的第一特征值，那么必须有一个正的特征函数属于P{0}，而且此特征函数只对应λ1.

那么若(1),(2)成立，则i(A,Ω(P),P)=0,若(3)成立，则i(A,Ω(P),P)=1.

引理5[9]函数Ψ(t)叫做(1)的一个下解，如果满足以下条件：

(1)Ψ(t)∈C([0,1],[0,∞))∩C4((0,1),[0,∞)),

而Ψ(t)叫做边值问题(1)的上解，如果以上不等式中所有符号相反.

引理6[5]对任给的r>0，都存在Mr>0，当0≤u1≤u2时，f(t,u2)-f(t,u1)≥-Mr(u2-u1)成立，如果φ1,Φ1是(1)的严格上下解，且Φ1<φ1，则(1)有一个解u，满足Φ1

引理7[9]假设存在M>0，使得当0≤t≤1,0≤u1≤u2时，f(t,u2)-f(t,u1)≥-M(u2-u1)成立，如果φ1,Φ1是(1)的严格上下解，且Φ1φ1，φ1>0，则(1)有一个解u，满足Φ1uφ1.

2主要结果和证明

定理1如果(H1),(H3)成立，则边值问题(1)有两个正解u1,u2,且满足

证明因为(H3)成立，假设存在μ，当0<μ<1时，有一u0∈∂Kp，使得μTu0=u0，

即有

i(T,KP,K)=1.

(2)

另一方面，由f∞>λ1知，存在ε>0,K>0，使得u≥K时，

有

f(t,u)≥(λ1+ε)u,t∈[0,1].

(3)

f(t,u)≥(λ1+ε)u-m,t∈[0,1],u≥0.

从而

(4)

假设存在u1∈∂KR,μ≥1，使μTu1=u1，使得当R0>p,R>R0时

(5)

即

成立，由引理3知,q(t)G(τ(s),s)≤G(t,s)≤G(τ(s),s),0≤t,s≤1, 容易验证T是u0-界算子．

在(5)两边同时乘以λ1和其对应的特征函数Φ1(t)，

即有

上式两边从0到1积分，左边连续四次分部积分，则有

即有

所以

i(T,KP,K)=0.

(6)

又因为f0>λ1，所以存在ε>0,r0>0，使得

f(t,u)≥(λ1+ε)u,∀t∈[0,1],0≤u≤r0，

假设存在u3∈∂Kr1,μ≥1，使得ηTu3=u3，则下面式子成立：

(7)

所以由引理5可推知

i(T,Kr1,K)=0.

(8)

由不动点指数的可加性，有i(T,KRKP,P)=i(T,KR,K)-i(T,KP,K)=-1,

i(T,KpKr1,P)=i(T,Kp,K)-i(T,Kr1,K)=1.

(9)

且

证明假设存在u3∈∂Pp,μ≥1，使得μTu3=u3，

即有

i(T,Kp,K)=0.

(10)

又因为f0<λ1，所以存在ε>0,0

所以，

u4(t)=μTu4≤μλ1Tu4,

即有

所以

i(T,Kr0,K)=1.

(11)

即有

所以

i(T,KR0,K)=1.

(12)

综上，由不动点指数的可加性，有i(T,KpKr0,K)=-1,i(T,KR0Kp,K)=1.

证明因为f∞>0，所以∀ε>0,∃δ>0，使得当0

f(t,u)>λ1u.

(13)

即

0<δ

所以，v1(t)是(1)的一个上解.

由文献[10]知，λ1=1,Φ1(t)=(ch1-cos1)(sht-sint)-(sh1-sin1)(cht-cost).

由引理7知，v1(t)和u1(t)分别是边值问题(1)的上解和下解，所以，边值问题(1)有一个解u(t)，使

u1(t)

以下寻找一个下解u2，使u2v1. 为此取Γ=min{δ,p}，那么当0

设

则

v2(t)v1(t)，

所以，由引理7知，(1)存在一个解u′，满足u2u′v1

综上，边值问题(1)至少有两个正解u,u′.

参考文献:

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Existence of Multiple Positive Solutions for a Kind of Elastic Beam Equation

ZHANG Rui, LU Zhengzhi

(College of Mathematics, Lanzhou City University, Lanzhou 730070, China)

Abstract:This paper studies a kind of fourth-order two-point boundary value problems

with upper and lower solution as well as fixed-point index theorem. It obtains the result about the existence of its multiple positive solution, and indicates the relations between the positive solutions and the first eigenvalue of the relevant linear problem.

Key words:positive solutions; upper and lower solution; the first eigenvalue; fixed-point index

第14卷第5期2015年9月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.5Sep.2015

第14卷第5期2015年9月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.5Sep.2015