田红亮　周　扬　郑金华　陈甜敏

(三峡大学 机械与动力学院， 湖北 宜昌　443002)



两自由度动力吸振器的频响函数与有限元分析

田红亮周扬郑金华陈甜敏

(三峡大学 机械与动力学院， 湖北 宜昌443002)

摘要：以两自由度动力吸振器为实例，采用Matlab软件绘出不同阻尼所对应的系统传递函数的Nyquist图像．借用有限元分析软件ANSYS对动力吸振器进行谐波响应分析，得出系统在不同频率下的动态响应并讨论响应量(通常是位移)与频率之间的关系．同时动力吸振器系统自身的物理特性对其动态特性有影响．这能使设计者在设计产品的过程中全面地处理振动问题，以得到最优动态性能的系统．

关键词：动力吸振器；传递函数；频响函数；谐响应

动力吸振器是一种使用广泛的减振设备，其结构简单，可有效地解决频率范围变化不大的系统的共振问题，特别当外界激励频率变化范围已知时，它能有效地抑制系统结构和设备的共振，它也是当前最方便、经济与可靠的被动式控制方法[1]．一个实例可以简单说明动力吸振器的作用，一台动力机械(简化为一个弹簧质量系统)构成一个振动系统，当其上作用的激振力F(t)=F0cosωt的频率与系统固有频率接近时，系统发生共振，振幅增大．为了改变这种状况，可以改变系统的质量和弹簧刚度．为使系统离开共振区，当系统的质量和弹簧刚度不能改变时，可以在原系统上增加一个附加系统，这样就可以使主系统振动状况大大改善，这就是动力吸振器[2]．

为了改善动力吸振器的特性，许多科技工作者把安装动力吸振器的结构响应或单边功率谱密度看作评价减振效果，或者以得到最小的主质量位移方差作为动力吸振器的参数优化目标，或者利用功率流的计算方法．目前已有的部分工作的主要特点均是分析计算主系统吸振器组成的复合系统的动态性能，以得到吸振器参数，或者只简化处理一些比较特殊的结构[3]．本文以一个两自由度动力吸振器振动系统作为研究对象，运用机械振动学理论和有限元分析软件探讨动力吸振器系统频响函数及相关参数对系统动态响应性能的影响规律．

1动力吸振器频响函数

1.1动力吸振器频响函数的求解

图1所示结构为动力吸振器，质量m1、m2在水平方向上分别用两个刚度为k1、k2的弹簧连接于支撑点．m1上作用一幅值为P0，频率为f的正弦激励力P(t)，在此激励下，系统在水平方向上作往复直线运动．已知m1=m2=1 kg，k1=1 000 N/m，k2=500 N/m，P0=1 000 N．

图1　动力吸振器的物理模型

系统的运动微分方程为

根据式(2)、式(3)和文献[4]得

根据式(5)和文献[4]得

fn2比fn1大141.9%．根据文献[4]得

根据式(10)和文献[4]得

根据式(10)、式(11)和文献[4]得

将式(1)写为下面的复数形式

设方程(13)具有形如以下特解

根据式(13)、式(14)和文献[4]得

根据式(15)和文献[4]得

将式(16)代入式(14)得

故方程(1)的特解为

根据式(18)和文献[4]，将式(15)展开得

最后根据文献[4]得

1.2动力吸振器频响函数图像

(a)H11(ω)的Nyquist图　　　　　　　　(b)H21(ω)的Nyquist图　　　　　　　(c)H11(ω)的实频特性与虚频特性图2　系统的复频响应函数

采用Matlab软件编程，绘出不同阻尼所对应的系统传递函数的Nyquist图像，同时绘制出频率范围为2Hz

2基于ANSYS的动力吸振器系统谐波响应分析

谐响应分析对持续的周期载荷在结构系统中产生持续的周期响应进行分析，其目的是确定线性系统承受随时间按正弦规律变化的载荷时的稳态响应．谐波响应分析步骤主要分为：有限元建模，加载求解和结果分析[6]．在这里必须特别注意的是在加载求解过程中，所取谐波频率范围必须包括对系统结构动态特性影响较大的频率，即模态固有频率，且频率间隔划分要十分精细，只有这样才能提高多自由度系统在频域内的谐波响应分析精度．

现以两自由度系统动力吸振器为例，介绍运用有限元分析软件ANSYS获取多自由度系统的谐波响应的具体方法[7-8]．

2.1动力吸振器系统物理模型的描述与有限元模型的建立

如图1所示的结构为动力吸振器，质量m1、m2在水平方向上分别用两个刚度为k1、k2的弹簧连接于支撑点，m1上作用有一幅值为P0，频率为f的正弦激励力P(t)，已知f=0～10 Hz．该系统在任一瞬时的位置都需用两个独立广义坐标x1，x2确定，它是两自由度系统．

根据系统物理模型直接建立有限元模型，如图3所示，由3个节点、4个单元组成．

图3　动力吸振器系统有限元模型

具体步骤如下：1)创建节点1、2、3；2)在相邻节点之间建立弹簧阻尼单元①、③，类型均为combine14，用直线表示，刚度和阻尼系数分别为(k1，0)、(k2，c)；3)在节点2和3上创建质量单元②、④，类型均为mass21．所有单元在Y、Z方向的质量及绕X、Y、Z轴的转动惯量都为零，而单元②、④在X方向上的质量分别为m1、m2．

2.2动力吸振器系统有限元模型的加载求解及谐波响应的计算结果分析

对系统有限元模型加载求解，步骤如下：1)设定响应分析类型为“Harmonic”；2)设定激振频率范围为0

描述系统的谐波响应结果，要采取ANSYS的后置处理程序，即时间历程后处理器，它可以很方便地得出m1、m2的振幅A与激励力的频率f之间的关系，如图4所示．该系统具备2阶固有频率，分别为f1=2.72 Hz，f2=6.58 Hz．当激励频率f位于f1或f2附近时，系统发生共振，m1、m2的振幅达到最大．

注释：图4、6、7与8中，f1处对应幅值A较大的一条为m2的幅频特性曲线；图5、9中，上面的一条曲线为m1的幅频特性曲线．

图4　m1、m2的幅频特性

2.3动力吸振器的系统参数对动态性能的影响

为深度分析动力吸振器系统自身的结构参数对其动态特性的影响，需运用控制变量法分别单独改变弹簧刚度、阻尼、质量等参数的大小作类似分析，最后讨论在高频范围内质量对振幅大小的影响[9]，上述研究所得系统谐波响应的结果如图5～9所示．

图5　k1=2 000 N/m，k2=1 000 N/m时m1、m2的幅频特性

图6　c=6 N·s/m时m1、m2的幅频特性

图7　m1=m2=2 kg时m1、m2的幅频特性

图8　f=10～100 Hz时m1、m2的幅频特性

图9　f=10～100 Hz且m1=m2=2 kg时m1、m2的幅频特性

各图像结果对比分析如下：根据图4和5可得，在低频段，即f≪f1时，系统振动非常慢，振幅的大小主要依赖于弹簧刚度，弹簧刚度越大，共振频率也越大，系统的共振幅值减小，静态特性突出．由图4与6得出，在共振区，即f=f1或f=f2时，系统发生共振，振幅的大小主要取决于阻尼，阻尼增大，振幅减小．按照图4和7可知，质量增大，共振频率减小，系统的共振幅值增大．比较图8和9可得，在高频段，即f≫f2时，系统振动很快，动态特性突出，振幅的大小主要取决于质量，质量越大，振幅越小．

参考文献：

[1]丁文镜．减振理论[M]．北京：清华大学出版社，1988：40-60．

[2]黄永强，陈树勋．机械振动理论[M]．北京：机械工业出版社，1996：59-63．

[3]袁玲．两自由度系统的动力吸振器参数最优化设计[J]．湖南工业大学学报，2007，21(2)：46-48．

[4]田红亮，郑金华，方子帆，等．阻尼系统的特征[J]．三峡大学学报：自然科学版，2015，37(2)：75-82．

[5]杨叔子，杨克冲，吴波，等．机械工程控制基础[M]．5版．武汉：华中科技大学出版社，2006：120．

[6]商跃进．有限元原理与ANSYS应用指南[M]．北京：清华大学出版社，2005：180-220．

[7]黄文．基于ANSYS的多自由度系统的谐波响应分析[J]．机电产品开发与创新，2003(4)：58-59，69．

[8]Zeng Zhiping, Li Jun, Zhang Shiyi, et al． Analysis of the Harmonic Response of a Modulation Permanent Magnetic Transmission Equipment Based on ANSYS[J]． Energy and Power Engineering, 2015, 7:63-70．

[9]陈喜春，王俊丽．多自由度系统的谐响应分析[J]．兰州交通大学学报：自然科学版，2007，26(1)：124-126．

[责任编辑张莉]

Frequency Response Function and Finite Element Analysis of

Dynamic Absorber with Two Degrees of Freedom

Tian HongliangZhou YangZheng JinhuaChen Tianmin

(College of Mechanical & Power Engineering, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

AbstractMatlab software is applied to draw the Nyquist images of the system transfer function under different dampings, taking the dynamic absorber with two degrees of freedom for example, the finite element analysis software ANSYS is utilized to arrive at the harmonic response analysis of the dynamic absorber. The dynamic response is obtained under various frequencies and the corresponding relationship between the response (ordinarily displacement) and frequency is analyzed. Meanwhile, the physical properties of dynamic absorber system have an impact on its dynamic characters. It can make the designer roundly handling vibration problems in the process of designing product to get system of the optimal dynamic performance.

Keywordsdynamic absorber;transfer function;frequency response function;harmonic response

中图分类号：TH113.1

文献标识码：A

文章编号：1672-948X(2015)06-0091-04

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2015.06.019

通信作者：田红亮(1973-)，男，副教授，博士，研究方向为赫兹．E-mail： thl19732003@aliyun.com