杨兴明,　牛坡礼

(合肥工业大学 计算机与信息学院,安徽 合肥　230009)



基于UDCT的改进双变量模型图像去噪

杨兴明,牛坡礼

(合肥工业大学 计算机与信息学院,安徽 合肥230009)

摘要:文章通过对均匀离散曲波变换(UDCT)域中小波系数统计特性的研究,针对传统双变量模型未考虑空间聚集性的不足,提出了一种新的双变量模型去噪算法。首先在双变量模型的基础上采用了蒙特卡洛方法估计各子带的噪声方差;然后引入邻域模型,通过调整邻域窗的大小估计相应窗口内小波系数的度量方差,得到初始化图像;最后以初始化图像和原噪声图像为先验信息,推导出改进的双变量模型来处理原噪声图像,且以对称K-L散度和最大迭代次数为收敛条件,得到最终去噪图像。实验结果证明了该算法的有效性。

关键词:均匀离散曲波变换;蒙特卡洛方法;邻域模型;双变量模型

0引言

近年来,小波变换作为一种多分辨率的分析工具得到了日新月异的发展。文献[1]在ridgelet变换的基础上提出了目前理论最完备的curvelet变换,但应用性较差;文献[2]提出了与实际工程应用比较接近的contourlet变换,将图像的多尺度和多方向表示灵活而有机地结合起来,变换域中多重子带的边缘分布也能充分反映其特征,但缺乏理论基础;文献[3]将curvelet变换的理论完备性和contourlet变换的工程应用性相结合,提出了均匀离散曲波变换(UDCT),此变换域的小波系数不仅在尺度内有明显的空间聚集性,而且在尺度间具有明显的父子关系。

在传统的多尺度变换域中,小波系数之间也有相似的性质,具体表现为:

(1) 尺度内的空间聚集性,即大(小)的小波系数附近的系数往往也较大(小)。

(2) 尺度间的传递性,即大(小)的小波系数具有沿着尺度传递的趋势。

基于小波的空间聚集性,有经典的广义高斯模型、高斯混合模型等来拟合小波系数的分布;基于尺度间的传递性有传统的隐马尔科夫模型、双变量模型来拟合;但以上几种模型只考虑了小波系数尺度内或尺度间的一种特性。

针对传统方法中没有兼顾到小波系数空间聚集性和尺度间传递性的不足,本文从均匀离散曲波变换出发,将邻域模型和双变量模型结合起来,有效地克服了传统方法的不足,实现了噪声图像的初始化;并利用初始化图像作为先验信息,以对称K-L散度和最大迭代次数为收敛条件,实现了更好的去噪效果。

1均匀离散曲波变换(UDCT)

UDCT是一种在轮廓波(contourlet)变换和曲波(curvelet)变换的基础上提出的一种多分辨率的曲波变换,通过巧妙地结合contourlet变换中的多分辨率分析滤波器组理论和curvelet变换中采用的FFT算法来实现[4]。UDCT是在一维投影函数β(t)的基础上,引入ηa和ηb来分别控制方形窗函数u0(w)、楔形支撑函数ul(w)和极角函数vl(w)的过渡带宽。首先构造2N个同心平滑的窗函数(w),其关系如下:

(1)

然后构造2N个极角窗函数vl(w),如图1所示,其关系如下:

(2)

结合(1)式和(2)式可以构造出在w1、w2方向上的以2π为周期的ul(w),如图2所示,其关系如下:

(3)

UDCT正变换由二维数据通过FFT变换并利用分解滤波器组Fl(w)滤波后进行采样,再通过IFFT变换得到各尺度、各方向的UDCT域小波系数;而逆变换IUDCT是由各方向子带小波系数通过FFT变换和插值,再通过合成滤波器Gl(w)滤波和IFFT变换,最后取复系数xl(n)的实部重构信号得到二维数据y(n)。

图1　vl(w)函数

图2　ul(w)函数

当N=3,ηa=ηb=0.15时,有:

(4)

其中,l为方向个数。根据多分辨率滤波器组理论并考虑到Fl(w+nπ)的频率不重叠,可知其对应的频域信号为:

(5)

而重构信号是由复信号的实部重构得到,即

(6)

(7)

(8)

结合(3)式,得到Y(w)=X(w)和y(n)=x(n),由此可知UDCT变换是完全重构的变换,其过程如图3所示。

图3　UDCT完全重构滤波器组

经研究表明,UDCT的小波系数不仅各尺度各方向的个数都是一定的,而且体现了良好的空间聚集性和尺度传递性,为均匀离散曲波变换域中小波系数的建模打下了良好的基础。

2改进双变量模型的含噪图像的初始化

通过对UDCT域中小波系数统计特性的研究,可知该域的小波系数在尺度间具有明显的父子关系,而在尺度内也有明显的相关性,若单从尺度内出发建立广义高斯模型[5]、高斯混合模型,或仅考虑尺度间的父子关系建立隐马尔科夫模型[6]、双变量模型,都不能全面地利用小波系数的空间聚集性和尺度间传递性[7]。因此本文在尺度内引入邻域模型,在尺度间采用双变量模型对该频域原噪声图像的小波系数进行去噪初始化。

为了完成图像去噪,首先要计算基于尺度间双变量模型和尺度内邻域模型的去噪图像初始值,由于UDCT逆变换是通过小波系数实部进行完全重构的,因此本文所有算法都是针对小波系数实部的。传统的变系数双变量模型的概率分布函数为：

(9)

其中,x2为x1的UDCT域中的小波父系数;σ2为子系数在各尺度各方向的边缘方差。σ2结合了小波系数尺度间的相关性,经过最大后验概率估计得到:

(10)

(11)

2.1　参数估计

(3) 转到步骤(2),按上述做法重复k次(本实验重复次数为200),取平均值,即可得到最后的噪声方差(k)。

(12)

其中,w(k)为邻域估计窗,大小为n×n。由(11)和(12)式可得到σ。

2.2　改进双变量模型的含噪图像初始化算法

由于各尺度、各方向子带中小波系数的噪声方差近似相同,而边缘方差不同,考虑到尺度内邻域小波系数的相关性,引入邻域模型,取邻域窗口w(k)的大小为3×3,如图4所示。

图4　参数估计的邻域模型

基于改进双变量模型的含噪图像初始化算法的具体步骤如下:

(1) 对原含噪图像进行均匀离散曲波变换,得到该域的小波系数。

(3)建议利用合理有效的技术措施进行分散土改性处理，也要从坝体加固、反滤排水两方面着手，同时在分散性土坝顶、坝坡进行有效防护处理，才能有效避免渗流冲蚀，甚至溃坝情况的发生。

(2) 对除最高尺度之外的各尺度小波系数,找到其对应的父系数,由

得到小波系数y1的邻域收缩值s1,并对该邻域窗口内的所有系数进行收缩。

(3) 除最高尺度之外的各尺度小波系数(边缘的小波系数除外),每个系数都有n×n个邻域窗口对应的收缩后系数,对此n2个收缩后系数进行加权平均(对边缘的的小波系数,以实际邻域窗口数进行加权平均)得到最后的小波系数。

(4) 对处理后的小波系数进行均匀离散曲波逆变换得到初始化图像。

邻域窗口大小的选择会影响处理结果,若太小会忽略尺度内系数的相关性,而若太大尺度内系数的相关性就会降低,通常情况下选择3×3或5×5的窗口。

3改进的双变量模型图像去噪

得到初始化图像后,将初始化图像系数x0和原含噪图像系数y作为先验信息,进行迭代得到新的处理结果;此后均以上次处理信息xi-1和y为基础,经过迭代得到新的处理信息xi,推导过程如下:

(13)

首先,引入原含噪图像和初始化图像在UDCT域中小波系数的概率密度函数,两者都服从独立高斯分布,其中原含噪图像的噪声系数概率分布为:

(14)

(15)

令f(x)=log(px(x)),则

(16)

假设f(x)严格凸且可导,对(16)式求x1和x2的偏导数得:

(17)

(18)

由(17)式和(18)式联立可得:

(19)

假设

(20)

可得

(21)

(22)

由(19)式可知:

(23)

将(22)式带入(23)式得第i次迭代结果为:

(24)

本文采用对称K-L散度来衡量2次迭代之间的差距,在实验中,最优的迭代结果一般在50次左右,因此采用对称K-L散度I(i)和最大迭代次数Itermaxnum来完成迭代计算。当迭代的变化系数(具体计算方法见参考文献[8])小于ε或者迭代次数大于最大迭代次数Itermaxnum时,终止算法。其中，

(25)

综上所述得到算法如下:

(1) 对原含噪图像进行均匀离散曲波变换,得到该域的各尺度、各方向的小波系数。

(2) 对除最高尺度之外的各尺度、各方向小波系数,采用改进双变量模型得到初始化图像的小波系数x0,其求法如前所述。

4实验结果和分析

本文采用大小为512×512的Lena图像和Barbara图像,对加不同方差的高斯白噪声图像进行去噪处理。取邻域窗口的大小为3×3,并对比传统的Bayes[9]、Wiener、BivShrink[10]、HMT去噪算法的峰值信噪比,结果见表1所列。

表1　不同去噪方法的峰值信噪比对比　　　dB

图5　图像峰值信噪比变化

由图5可以看出,在迭代初期,去噪图像的峰值信噪比有了明显提升,而后逐渐趋于平稳。因此该方法对图像质量的改善有一定的限制,因为每次迭代算法都是以原含噪图像和上次去噪图像为先验信息,信息量有限。

图6　Barbara图像=30时各种方法的去噪结果

由图6可以看出,本文提出的基于UDCT的改进双变量模型图像去噪算法可以更好地保存图像的纹理、细节和边缘信息,去噪图像的峰值信噪比和原有的双变量模型去噪算法及其他图像去噪算法相比有明显的改善。

5结束语

本文通过引入邻域模型来改进双变量模型,得到噪声图像的边缘方差,再利用蒙特卡洛方法得到噪声方差,实现图像的初始化,克服了传统双变量模型中仅考虑小波系数尺度传递性的不足;然后以对称K-L散度和最大迭代次数为收敛条件,通过迭代的方法计算出最终的去噪图像。该方法可以更好地保留图像中的边缘和细节，实验结果也验证了该算法的有效性。

[参考文献]

[1]Candès E J, Donoho D L. Curvelets:a surprisingly effective nonadaptive representation for objects with edges[R].Vanderbilt University,2000.

[2]Do M N, Vetterli M. The contourlet transform: an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing, 2005, 14(12):2091-2106.

[3]Nguyen T T,Chauris H. Uniform discrete curvelet transform[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(7):3618-3634.

[4]Vaidyanathan P P. Multirate systems and filter banks[M].Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993:30-37.

[5]杨兴明,陈海燕,王刚.基于连分式广的义高斯分布的参数估计[J].合肥工业大学学报:自然科学版,2012,35(7):991-996.

[6]Crouse M S,Nowak R D,Baraniuk R G. Wavelet-based statistical signal processing using hidden Markov models[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1998,46(4):886-902.

[7]潘金凤.基于变系数双变量模型的双变量阈值去噪法[J].计算机应用,2010,30(7):1855-1858.

[8]Deledalle C A,Denis L,Tupin F. Iterative weighted maximum likelihood denoising with probabilistic patch-based weights[J].IEEE Transactions on Image Processing,2009,18(12):2661-2672.

[9]Chang S G,Yu Bin,Vetterli M. Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression [J].IEEE Transactions on Image Processing,2000,9(9):1532-1546.

[10]Sendur L,Selesnick I W. Bivariate shrinkage functions for wavelet-based denoising exploiting interscale dependency[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2002,50(11):2744-2756.

(责任编辑胡亚敏)

Image denoising with improved bivariate model based on uniform discrete curvelet transform

YANG Xing-ming,NIU Po-li

(School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:By researching on the statistical properties of wavelet coefficients of the uniform discrete curvelet transform(UDCT) domain, a new denoising algorithm based on the bivariate model is proposed to make up for the unconsideration of spatial clustering in traditional bivariate model. Firstly, the Monte Carlo method is used to estimate the noise variance of each subband on the basis of the bivariate model. Secondly, in order to obtain the initial image, the neighborhood model is introduced to estimate the measurement variance of the wavelet coefficients of corresponding window by adjusting the size of neighborhood window. Finally, the initial image and the original noising image are used as prior information to deduce the improved bivariate model for dealing with the original noising image. And the final denoising image is acquired under the convergence condition of symmetric Kullback-Leibler divergence and the maximum number of iterations. The experimental results prove the effectiveness of this method.

Key words:uniform discrete curvelet transform(UDCT); Monte Carlo method; neighborhood model; bivariate model

中图分类号:TP751.1

文献标识码：A

文章编号：1003-5060(2015)03-0345-06

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.03.012

作者简介：杨兴明(1977-),男,云南安宁人,博士,合肥工业大学副教授,硕士生导师.

基金项目：安徽省自然科学基金资助项目(090412041)

收稿日期：2013-12-26；修回日期：2014-03-24