曲洪东, 翟龙军, 高　山

(1.海军航空工程学院电子信息工程系, 山东 烟台 264001; 2. 海军航空工程学院科研部,

山东 烟台 264001; 3. 陆军航空兵学院机载系, 北京 101123)



六边形格点毫米波干涉阵列的稀疏与优化

曲洪东1,3, 翟龙军1, 高山2

(1.海军航空工程学院电子信息工程系, 山东 烟台 264001; 2. 海军航空工程学院科研部,

山东 烟台 264001; 3. 陆军航空兵学院机载系, 北京 101123)

摘要：研究了六边形格点干涉阵列的阵列稀疏和优化。通过阵列配置矩阵及其自相关矩阵和互相关矩阵,分析了六边形格点阵列的UV平面采样点分布规律,推导得到了六边形格点阵列实现UV平面采样点全覆盖的条件,并将六边形格点阵列的稀疏优化转化为矩形格点阵列的稀疏优化问题。利用差基序列低冗余度特性,提出了基于差基的六边形格点阵列稀疏与优化方法。仿真分析结果表明,采用所提方法得到的稀疏阵列,其冗余度优于经典X形阵。

关键词：综合孔径成像; 稀疏阵列; 六边形格点; 差基

0引言

干涉式毫米波综合孔径成像的基本原理是采用多组具有不同取向和长度基线的二元干涉综合得到大口径天线,被动接收来自目标场景的毫米波辐射信息。这样天线的物理孔径可以被稀疏比极大的、散布的小单元天线阵列代替,同时无需机械扫描,具有突出的优点[1-3]。

干涉式毫米波综合孔径成像需要利用稀疏天线阵列中任意两个天线接收到的信号进行复相关处理,得到可视度函数在的UV平面内若干个采样点的采样值,然后从中恢复出被探测场景的亮温度分布图。由于可视度函数UV平面内采样点的位置由天线阵中任意两个单元天线的基线确定,而阵列为稀疏阵列,因此不可避免地存在可视度函数在UV平面内的采样点覆盖不完全,同时存在大量的冗余采样点,使得图像受到由旁瓣等因素影响而质量下降。因此,阵列在进行工程实现时,必须进行稀疏和优化。

本文采用将六边形格点映射到矩形格点的方法,研究了六边形格点的干涉阵列的采样点分布规律。通过阵列配置矩阵及其自相关矩阵和互相关矩阵,分析了六边形格点阵列的UV平面采样点分布规律,推导得到了六边形格点阵列实现UV平面采样点全覆盖的条件。利用差基序列的全覆盖和低冗余度特性,提出了基于差基的六边形格点阵列稀疏与优化方法。

1六边形格点阵列的UV采样点分布规律

由干涉测量的基本原理可知,阵列中的天线对形成的基线矢量对应UV平面内的一个UV采样点,N个天线单元可以在UV平面内产生N(N-1)个UV采样点,UV采样点的分布称为UV覆盖。

对于按照M×N矩形格点配置的稀疏干涉阵列,定义其阵列配置矩阵为A=[a(m,n)]M×N,其中a(m,n)=0表示在(m,n)格点处不放置阵元;a(m,n)=1表示在(m,n)格点处放置阵元。对于稀疏干涉阵列,其阵列配置矩阵为稀疏0-1矩阵。

对于矩形格点稀疏阵列,对应的UV平面采样点仍然分布在矩形格点上。其UV覆盖可以用相关矩阵表示。

定义 1若矩阵A=[a(m,n)]M×N,矩阵B=[b(m,n)]M×N,则A和B的互相关矩阵CAB=[cAB(i,j)](2M-1)×(2N-1)定义为

(1)

式中,1≤i≤2M-1;1≤j≤2N-1;M,N均为正整数；*表示取共轭。

若A=B,则CAA称为A的自相关矩阵。对于矩形格点的稀疏干涉阵列,用自相关矩阵CAA可以表示其UV平面的采样点覆盖,其元素cAA(i,j)表示稀疏干涉阵列在UV平面内(i,j)点处的采样点数目。

矩阵互相关运算满足分配律,即如果矩阵A,B为M×N维矩阵,则有

(2)

对于阵元数为N×M的六边形格点的稀疏阵列,可以构造2N×2M的矩形格点,将六边形格点上的阵元映射到矩形格点的奇数行奇数列格点和偶数行偶数列格点上,从而构造其阵列配置矩阵,如图1所示。

图1　六边形格点映射到矩形格点

为研究六边形格点阵列的UV覆盖,考虑如下定理:

定理 1若A=[a(m,n)]M×N,XA=[xA(i,j)]2M×2N,且有

(3a)

或

(3b)

则XA的相关矩阵CXAXA可以由A的自相关矩阵CAA表示,即

(4)

证明如果式(3a)成立,则有

(5)

(1) 若i,j均为偶数,i=2p,j=2q,从而有

xA(2k,2l)=a(k,l)

(6a)

xA(2k+2M-2p,2l+2N-2q)=

(6b)

所以

(7)

式中,1≤p≤2M-1;1≤q≤2N-1。

(2) 若i,j不全为偶数,即i≠2p或j≠2q,从而有2M-2k+i和/或2N-2l+j不为偶数,从而一定有xA(2k+2M-i,2l+2N-j)=0

所以

证毕

同理,可以证明当式(3b)成立时,式(4)仍然成立。

定理1表明,当在矩阵XA=[xA(i,j)]2M×2N的奇数行奇数列(或者偶数行偶数列)位置处,按照原顺序放置矩阵A=[a(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素为零元素时,XA的自相关矩阵只在偶数行偶数列处不为零,并且与A的自相关矩阵CAA相应位置处的元素值相等。如果XA是某个阵列的配置矩阵,则其在UV平面的采样点分布只位于偶数行偶数列的格点处,如图2所示。

图2　偶或奇数格点处放置阵元的阵列配置矩阵及自相关矩阵

定理 2若A=[a(m,n)]M×N,B=[b(m,n)]M×N,XA=[xA(i,j)]2M×2N,XB=[xB(i,j)]2M×2N,且有

(8a)

(8b)

则有如下结论：

结论 1CXAXB可以由CAB表示，即

(9a)

结论 2CXBXA可以由CBA表示，即

(9b)

下面证明结论1。

证明

(10)

(11)

式中,1≤p≤2M-1;1≤q≤2N-1。

(2) 若i,j均为奇数,即i=2p+1且j=2q+1,从而有

(12)

式中,1≤p≤2M-1,1≤q≤2N-1。

(3) 若i=1,则m+2M-1>2M-1;若j=1,n+2N-1>2N-1,因此

(13a)

(13b)

证毕

同理,可证明结论2。

定理2表明,在矩阵XA=[xa(m,n)]2M×2N的偶数行偶数列位置处,按照原顺序放置矩阵A=[a(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素为零元素;在矩阵XB=[xb(m,n)]2M×2N的奇数行奇数列位置处,按照原顺序放置矩阵B=[b(m,n)]M×N的元素,其余位置的元素为零元素;则XA和XB的互相关矩阵CXAXB只在大于2的奇数行奇数列格点处不为零;并且与A和B的互相关矩阵CAB相应位置处的元素值相等;XB和XA的互相关矩阵CXBXA只在小于4M-2的奇数行奇数列格点处不为零;并且与B和A的互相关矩阵CBA相应位置处的元素值相等,如图3所示。

结合式(2),由定理1和定理2的结论可知:

(1) 六边形格点的阵列产生的UV采样点仍然位于UV平面内的六边形格点上。

(2) 六边形格点阵列可以看成由位于奇数行奇数列格点的矩形格点阵列A和位于偶数行偶数列格点上的矩形格点矩阵B两部分组成。

(3) 在UV平面内,偶数行偶数列的采样点由A和B的自相关矩阵CXAXA和CXBXB确定;奇数行奇数列的采样点由A和B的互相关矩阵CXAXB和CXBXA确定,其中CXAXB确定采样平面的最后一行和最后一列的格点,CXBXA确定采样平面的第一行和第一列的格点。

(4) 要实现阵列在六边形格点上的全覆盖,只需要矩形格点阵列A或B能实现矩形格点上的全覆盖(CAA或CBB不包含零元素),并且CAB不包含零元素(此时CBA也不包含零元素,因为cAB(i,j)=cBA(M-i+1,N-j+1))。

图3　偶或奇数格点处放置阵元的阵列配置矩阵及互相关矩阵

2基于差基的六边形格点阵列稀疏与优化方法

采用构造方法能减少搜索解的规模,适用于大阵元数的阵列稀疏和优化问题[11]。为此,选择基于差基的构造方法实现六边形格点阵列的稀疏和优化。

定义 2给定正整数L,由K个整数构成集合{ai},且有

(14)

使得任意正整数s(0

对于集合{0,1,4,6},容易验证6以内的正整数都可以由该集合内两个元素的差表示,即该集合为L=6的一个受限差基。受限差基可以用集合{ai}表示,也可以用相邻元素之差构成的间距集合表示。如受限差基{0,1,4,6}可以用间距集合{1,3,2}表示;受限差基{0,1,4,7,9}可以用间距集合{1,3,3,2}表示。

文献[6]给出了3≤K≤17时的部分已知受限差基,并且给出了当K≥8时其间距集合的解析表达式,即

(15)

式中,r和l为正整数,上标表示该元素连续重复次数。该解析表达式适用于元素数为M=4m+3(m为正整数)的情况,r和l的值可以按照下面公式计算

(16)

式中,[·]为取整运算;mod为求余运算。

受限差基具有很好的性质。对线阵,如果阵元按照受限差基中元素值的位置排列,则可以得到最小冗余阵。对于矩形格点阵列,可以先通过分别构造两个差基,得到两个最小冗余度线阵,然后对两个线阵的配置向量相乘得到二维阵列配置矩阵,从而可实现二维阵列的低冗余度的稀疏和优化[9,11-15]。

根据对六边形格点阵列的UV覆盖的分析可知,如果能以采用优化算法或构造方法求解得到最小冗余度的矩形格点阵列配置矩阵A或B,使得A或B在矩形格点上实现全覆盖,则可以实现六边形格点阵列的低冗余度稀疏和优化。

因此,可以采用下面的方法对六边形格点阵列进行稀疏与优化。

(1) 构造元素数为K的差基序列{sk},0≤k≤K使得

(17)

根据{si}构造行向量

(18)

(2) 根据X构造(M+1)×(M+1)维矩形格点阵列配置矩阵A=[aij],即令A=XTX。

(3) 构造(M+1)×(M+1)维矩形格点阵列配置矩阵B=[bij],即令B为(M+1)阶单位矩阵。

(4) 将矩形格点阵列配置矩阵A和B分别按原顺序映射到(2M+2)×(2M+2)维矩形格点的奇数行奇数列格点和偶数行偶数列格点上,即令

(19)

式中

即可以得到稀疏优化的六边形格点阵列配置矩阵P。

3仿真分析

图4给出了采用本文方法稀疏得到的六边形格点稀疏阵列及其UV平面内的采样点分布。其中图4(a)为利用差基序列{0,1,4,7,9}得到的35元阵稀疏优化结果,图4(b)为其UV平面采样点分布,图4(c)为经典33元X形阵列的配置,图4(d)为其UV平面采样点分布。

图4　六边形格点阵列稀疏优化结果及UV平面采样点分布

UV平面采样点分布的冗余度定义为天线的理想UV采样点数Sid与实际UV采样点数Sre之比,即

(20)

对图4(c)的33元X形阵,其冗余度为R=1 089/321≈3.39;对图4(a)的35元稀疏阵,其冗余度为R=1 225/623≈1.97。对于大阵元数,利用式(15)、式(16)构造差基,通过本文方法得到的稀疏阵列冗余度与经典X阵列冗余度的仿真结果如图5所示。由图5可见,经典X型阵列和本文稀疏阵列的冗余度随阵元数增加而增加,X型阵列的冗余度上限为4;本文稀疏阵列冗余度在阵元数为2 865时冗余度仍小于3,优于经典X型阵列。

图5　本文稀疏阵列与X型阵列冗余度仿真结果

4结束语

论文采用将六边形格点映射到矩形格点的方法,研究了六边形格点干涉阵列的阵列稀疏和优化,分析了六边形格点阵列的UV平面采样点分布规律,推导得到了六边形格点阵列实现UV平面采样点全覆盖的条件,并将六边形格点阵列的稀疏优化转化为矩形格点阵列的稀疏优化问题。利用差基序列的全覆盖和低冗余度特性,提出了基于差基的六边形格点阵列稀疏与优化方法,仿真分析结果表明,采用本文方法得到的稀疏阵列其冗余度优于经典X形阵。由于将六边形格点阵列分割成两个相同的矩阵格点阵列进行优化,各自阵列配置矩阵的自相关矩阵和互相关矩阵仍然会产生一定的冗余,需要研究采用两个不同的矩形格点阵列实现稀疏和优化的方法,从而以较低冗余度实现全覆盖。

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曲洪东(1977-),男,博士研究生,主要研究方向为毫米波被动成像技术。

E-mail:kaisoo@163.com

翟龙军(1979-),男,副教授,博士,主要研究方向为阵列天线技术。

E-mail:zhailongjun@163.com

高山(1977-),男,助理研究员,硕士,主要研究方向为射频仿真技术。

E-mail:gaoshan6680@163.com

网络优先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141211.1840.007.html

Design and optimization of sparse MMW synthesis apeture

imaging arrays on hexagonal grids

QU Hong-dong1,3, ZHAI Long-jun1, GAO Shan2

(1.DepartmentofElectronicandInformationEngineering,NavalAeronauticaland

AstronauticalUniversity,Yantai264001,China; 2.DepartmentofScientificResearch,Naval

AeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China; 3.Department

ofAirboreWeapon,ArmyAviationInstitute,Beijing101123,China)

Abstract:Design and optimization of sparse millimeter wave (MMW) synthesis apeture imaging arrays on hexagonal grids are researched. The arrangement of sparse arrays can be represented by the configuration matrix. Using the auto-correlation matrix and the cross-correlation matrix of the configuration matix, distribution of sampling points in the UV plane of hexagonal array is analyzed, and conditions for sampling points covering the whole UV plane are deduced. Then, the question is converted to design and optimization of a sparse rectangular array. With the virtue of low redundancy, difference basis series are used to design hexagonal arrays, and a method to construct an optimized sparse hexagonal array is presented. Theoretical analysis and simulation show that redundancy of the optimized hexagonal array is lower than that of a typical X style array.

Keywords:synthesis apeture imaging; sparse array; hexagonal grids; difference basis

作者简介：

中图分类号：TN 959.2

文献标志码：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.03

收稿日期：2014-06-27；修回日期：2014-09-26；网络优先出版日期：2014-12-11。