任宁

【摘 要】我们对小学阶段的部分知识点进行了摘录、梳理、归类，从“具有同一上位概念的并列知识、具有前后递进关系的相关内容、具有内在本质差异的相似概念”这三个层面，总结了基于活动经验的序列化教学三种策略：经验迁移策略、经验拓深策略、经验改造策略。

【关键词】摘录 梳理 归类

小学数学教材中的许多知识点隶属同一个序列，分布在不同的学习阶段，呈螺旋上升排列，它们之间有着密切的内在联系。对同一序列的知识点，我们要善于以结构化、序列化的整体思路来展开教学。从系统论的角度，我们要进一步实现教学内容的整合，去整体地把握、思考、处理安排教学内容，实现有结构的教和学，着眼于知识之间的内在联系和规律，帮助学习者建立完善的知识结构体系和方法体系，使知识学习结构化、序列化。基于活动经验，我们对小学阶段的部分知识点进行了摘录、梳理、归类，从“具有同一上位概念的并列知识、具有前后递进关系的相关内容、具有内在本质差异的相似概念”这三个层面，总结了基于活动经验的序列化教学三种策略：经验迁移策略、经验拓深策略、经验改造策略。

一、经验迁移策略——适用于具有同一上位知识的并列知识

经验迁移，是指上一阶段学习活动中所获得的活动经验适用于下一阶段内容的学习。我们通过梳理提炼出各个不同领域中的统摄性较强的上位知识，如“归纳规律（性质）”“运算定律”“统一度量单位”等，每个上位知识都包含了若干个成序列的内容，每个内容都隶属于同一上位知识且相互之间有紧密的联系。

（一）初次建构，积累经验图式

经验是一种过程性知识，是在实践活动中所形成的一种“活动图式”。数学活动经验的迁移，是以前期的积累为前提的，如果教师在数学活动的设计中能主动关注学生活动经验的积累，那么就可以为后期的学习打下基础。如四上《积的变化规律》一课，是“归纳规律（性质）”序列的第一课时，在这节课中，教师首先应该让学生初步学会“归纳规律（性质）”，并在学习活动中让学生经历归纳规律的全过程，积累相应的活动经验。

1.观察信息，初悟规律。教师出示一组算式“6×2=12，6×20=120，6×200=1200”让学生寻找其中存在的规律，学生往往只会着眼于纵向的某一个点，如“积的末尾0慢慢变多了”，而不会从横向的因数和积的变化的联系中去寻找规律。

2.教师引领，纵横沟通。教师应该有如下的追问：“积的变化和谁有关？因数和积都是怎么同时变大的？”通过这样的问题以引导学生在归纳规律的时候要关注算式的每一个部分。然后通过“第二个因数变了，积也随之变化，那么第一个因数呢？”这样一个问题让学生感悟到除了关注变化的量，我们还应该关注不变的量，进而得出初步的结论：第一个因数不变，第二个因数乘10，那么积也乘10。

3.拓展延伸，完善规律。在此基础上，教师通过以下关键问题助力学生探索归纳出完整的积的变化规律。

师：刚才我们通过观察三个算式得出了上述规律。那么我们进一步思考：规律仅限于此吗？请静静思考。

师：只能乘10吗？只能乘吗？一定要第二个因数乘、除吗？请举例说明。

师：刚才我们是怎么概括出这个规律的？

4.巩固应用，验证规律。（略）

在上述片段中，教师并没有急于求成，而是从学生的实际认知能力出发，充分肯定学生的每一次合理归纳，并通过一次次追问和引导，在师生的对话交流中帮助学生完善对规律的认知，从而积累归纳概括的经验，为后续的学习打下基础。

（二）及时激活，内化归纳途径

四上的《商的变化规律》是第二次学习“规律的归纳”。一般情况下，教师还是会重起炉灶，从一组除法算式的呈现开始，一步步引导学生归纳出“商的变化规律”。这是教师没有系统教材观的表现，由于没有关注到学生已经积累的“归纳规律”的活动经验，造成了经验积累与应用的断层。

本课，教师在组织教学时应该激活学生已有的活动经验，让学生在原有的基础上强化对“归纳规律”这一数学活动的熟练掌握。在引导学生合理利用前期活动经验的基础上，通过再次的归纳活动，基本掌握“归纳规律”的要领，熟悉归纳的路径。

师：同学们，我们以前学过了积的变化规律，现在我们来回顾一下，我们是怎么归纳的？（出示一组算式6×2=12，6×20=120，6×200=1200。）

生：先是观察几个算式之间有什么联系，什么变了，？什么没变。

生：然后观察谁随着谁的变化而变化。

生：考虑完“乘”还要考虑“除”。

师：是啊，我们在学习积的变化规律的时候，是这样一步一步地归纳出来的。那么今天我们来研究“商的变化规律”，能借助以前的经验，归纳出来吗？

……

师：今天我们学习了“商的变化规律”，和前面学习的“积的变化规律”有什么相同的地方吗？

生：都是从一组算式中去寻找规律。

生：都是讲算式各部分之间的关系，要关注算式的各个部分的变与不变。

在归纳规律序列的第二层次的学习活动中，这样的环节设计，既激活了学生的已有活动经验为本课学习所用，又在课末通过对比关注了新知与旧知之间的共通之处，让学生感受到知识间的关联。从而进一步巩固了“归纳规律”的方法和路径，为下一步学习活动中数学活动经验的迁移奠定了扎实的基础。

（三）独立探究，自主迁移经验

有了前面两个阶段的充分铺垫，学生对“归纳规律”的流程和注意点已经了然于胸，在接下来五下的《分数的基本性质》学习中，教师就可以放手让学生自主迁移已有的数学活动经验，合作探究规律（性质）的归纳。教师要做的事情就是协助学生找到新知与旧知的联系点即可。

师：我们学过分数与除法的关系，谁能来举个例子？

生：1/2=1÷2，2/4=2÷4。

师：我们学过除法中的一个性质，叫“商不变的性质”，谁能来说说什么是“商不变的性质”？

生：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

师：根据分数和除法的关系，你猜想分数会有什么样的性质呢？

生：因为分数的分子相当于除法里的被除数，分母相当于除法里的除数，所以我想可能是“分数的分子和分母同时乘一个相同的数，分数的大小不变”。

生：同时除以一个数也可以的。

师：那么，我们能不能用一些具体的例子来说明、解释这个猜想呢？

生：（小组合作，自主探究）

生：汇报交流。

“分数的基本性质”和“比的性质”是该内容序列的第三个层次，学生已经积累并强化了归纳规律（性质）的活动经验，在教师的适当点拨提示下，学生基本能够自主迁移已经积累的活动经验，应用到实际的学习过程当中。学生在这样的学习历程中，建构了自己的知识网络，掌握了规律（性质）的学习方法，提升了自主学习的水平，可谓一举多得。

二、经验拓深策略——适用于具有前后递进关系的相关内容

经验拓深，指的是上一阶段的学习活动中所获得的活动经验是为后续学习服务的，而后续的学习又能拓深前期的活动经验。在学习这些具有前后递进关系的相关内容时，我们首先要着眼于知识点的本质所在，根据学生所处的不同学段和不同年龄特征，用适当的方式进行表征。而随着学习进度的深入，教师不但要引导学生合理利用前期学习所积累的活动经验，更应该帮助学生对已有的活动经验不断拓深强化，趋近对知识本质的理解。

（一）夯实基础，积累活动经验

加减法计算法则的本质是“相同计数单位上的数才能直接相加减”。但是由于不同年级学生的年龄特征，决定了在低年级教学相关内容时不一定要让所有学生理解其本质，只需知道怎么做就行了，在后续的学习中随着年级的升高和理解能力的提升，再慢慢触及本质，拓深学生的数学活动经验。

在一上学习《两位数加一位数和整十数》时，还没有真正建构计算法则，教师通过“两位数加一位数”和“两位数加整十数”的对比，借助小棒的直观形象，让学生理解“几个一和几个一相加，几个十和几个十相加”，初步感悟“相同数位对齐”的道理。

在后续的学习中，教师也是用“你为什么要先把这三捆和这三捆合起来呢？”这样的问题引导学生得出“因为他们都是表示几个十，所以可以直接相加”，然后帮助学生得出两位数加整十数的计算方法：计算35+30时，应该先算30+30=60，再算60+5=65。最后通过教师的总结，初步概括计算法则的雏形：在计算两位数加一位数时，要先算几个一加几个一；在计算两位数加整十数时，要先算几个十加几个十。这是计算法则的孕伏阶段，接下来在二上的《100以内加减法（二）》一课中，正式明确“相同数位对齐”的计算规则，直到三上的《万以内的加减法（二）》完善整数阶段加减法的计算法则，达到自动化程度，积累起丰厚的抽象加减法计算法则的数学活动经验。

（二）新旧联结，唤醒已有经验

在整数加减法的学习阶段，当学生进入自动化的熟练程度后，一般不大会再去思考相同数位是否对齐，已经把这一法则等价为“末位对齐”。所以在四年级下册学习“小数加减法”的时候，会对学生的这一默认规则产生一定程度的冲击，使之重新回到“相同数位对齐”的轨道上来。

师：小明买两个笔记本，一个4.45元，一个5.5元，一共付多少元？

学生独立完成，板演（如右图）：

师：到底哪种对呢？

生：第二种，因为4元多加5元多不可能还是5元。

师：为什么这样列竖式呢？以前都是末位对齐的呀？

生：小数加减法要把小数点对齐。

师：刚才不是说小数加减法的计算方法和整数加减法的计算方法基本相同吗？怎么现在又要把小数点对齐而不是末位对齐呢？

生：5.5小数部分的5在十分位上，所以要和4.45十分位的4对齐。

生：要把相同的数位对齐。

在学习小数加减法的时候，教师注重让学生联结了已有的生活经验和数学活动经验，通过新知和旧知的沟通，让学生明白小数加减法当中的“小数点对齐”和整数加减法当中的“末尾对齐”的本质是相同的，都是为了让“相同数位对齐”。这样使趋于自动化计算的学生重新意识到计算法则的本质，而非继续停留于自动化的操作而迷失了知识的本质。

（三）概括本质，拓深活动经验

小数加减法的计算趋于自动化时，学生的认识也会把计算规则等价于“小数点对齐”而忽略了其本质——相同数位对齐。那么在五下的《分数的加法和减法》单元学习中，就需要对原有的活动经验进行再度拓深，从“相同数位对齐”拓深到其真正的内涵——“相同计数单位上的数才能直接相加减”。首先在《同分母分数加减法》一课中，我们要帮助学生明确“同分母分数相加减，分母不变分子相加减”就是“分数单位的个数相加减”，在《异分母分数加减法》中，再度明确“只有相同分数单位才能相加减”和“相同计数单位上的数才能直接相加减”的共通之处。

课始，教师可以设计整数加减法和小数加减法的题目，让学生回顾原有概念的本质就是相同单位的数可以直接相加减，然后引入同分母分数加减法的学习。

师：这些加法我们都会了，还有一种加法你会吗？板书：1/8+3/8。

生：1/8+3/8=4/8。

师：怎么想的？

生：1+3=4，所以是4/8。

生：1个1/8加3个1/8是4个1/8，是4/8。

在《同分母分数加减法》一课中，教师帮助学生理解了分数加减法的算理，沟通了分数加减法和整小数加减法的共同点，那么在《异分母分数加减法》一课中，教师只要让学生通过对“为什么异分母分数不能直接相加减”这个问题的探讨，利用图示表征，并与整数、小数加减法进行联结，使“相同单位的数才能直接相加减”这个经验得到进一步的拓展与升华。

三、经验改造策略——适用于具有内在本质差异的相似概念

经验改造，是指学生原先所具有的经验和后续的学习内容有较强的相关性，但是又不能直接应用，需要经过一定程度的改造才能适用。这一策略适用于具有本质差异的相似概念。对于经验之间的相似之处，教师通过一定的情境加以沟通联系，而对于经验之间的本质差异，更应该通过制造一定的冲突加以改造，从而使经验得到跨越和提升。

（一）提取—链接—改造，从生活经验到数学经验的跨越

在学习三角形的高时，学生已有生活中“高”的经验，如房子的高、身高、树高等等。但是这些生活中的“高”都是指垂直于水平面的线段长度，而数学上的“高”是指垂直于某一条线（边）的线段长度，它们有相似之处，但又有本质上的区别。所以，要对生活中“高”的经验进行适度的改造，使之能对接数学上的“高”的概念。

首先教师可以通过合理的情境提取学生已有的生活经验，如选择两种不同身高的动物的别墅来引出“高”，就是学生所喜闻乐见的。

师：其实从别墅的侧面来观察，又可以回到我们的三角形来进行研究。（从图中抽象出三角形）

师：谁能把刚才房子的“高”在三角形中指一指？

生：在三角形中指出高。

师：下面的哪幅图把你心目中的高画下来了？

师：那你能说说什么是高吗？

生：从三角形的一个顶点到它对边的垂直线段就是三角形的高。

师：下面请欣赏一个小戏法。如果把三角形旋转成这样，现在线段AE还是边BC的高吗？底在哪儿？

在提取了学生的已有生活经验——“高”后，教师通过及时抽象，从动物的别墅中抽象出三角形，完成了生活中的高与数学中的高的链接。这时，学生的生活经验与数学经验的对接还是比较通畅的，没有大的阻碍，因为这时的高还是符合学生心目中原有的经验——“垂直于水平面的高”。最终完成生活经验到数学经验的跨越，是通过变式实现的，把学生认同的垂直于水平底边上的高通过旋转变成不是垂直于水平底边的，然后通过辨析讨论，理解数学上的高是垂直于某一底边的线段，从而实现经验的提升和改造。

（二）链接—冲突—改造，从数学经验到数学经验的提升

当学生在学习一维测度（长度）的时候就积累了“统一度量单位”和“累加”的活动经验，那么在二维测度（面积）和三位测度（体积）的学习时，就可以进行提取、应用。角属于平面图形，角度的测量也需要统一测量单位，测量的过程也是单位角度的累加，但是角的大小和线段的长短、面积的大小相比，具有不一样的属性，因此已有的测量活动经验不能直接迁移，需要进行一定的改造才能适用。

对于已经经历过的一维测度（长度）的计量，学生是有丰富的活动经验的，但是在初次接触角度的测量时，几乎所有的学生是无所适从的（除非预习过）。因此，这时学生想测量却无从着手，就会处于认知冲突的状态，这时教师的引领就起到了画龙点睛的作用。

师：大家都知道了测量角要用到量角器，你会量吗？试试看。

生：尝试测量，无所适从。

师：在测量线段长度的时候，我们先确定了测量的标准 厘米，然后看线段对应的是几个1厘米。那么我们今天要测量角，你觉得应该做什么事情呢？

生：确定测量角的标准。

师：是啊，测量长度要确定单位长度，如厘米、分米、米，那么测量角也要确定单位角。你能在量角器上面找到角吗？

生：有一个直角。（手势比划）

师：你能找到这个直角的顶点吗？还能找到其他的角吗？

生：找出其他不同大小的角。

师：我们数学上规定，把半圆平均分成180份，每一份就是1°，一个角包含了几个1°，就是几度。

学生学会在量角器上找角，相当于会在直尺上找“厘米”，只要利用量角器，比对一下角对应着量角器上的几个“单位角”，就是几度。最后教师引导学生比较量角和量长度的联系与区别，强化概念的认知。

在学习量角的过程中，学生经历了经验的链接（量角和量线段） 经验的冲突（找不到测量的单位） 经验的改造（在量角器上找单位角），最终完成了从数学经验到数学经验的改造，理解了测量的本质。