一道大学物理竞赛试题解析

2016-01-14严非男陈俊

教育教学论坛 2016年2期

严非男陈俊

摘要：对一道有关质点运动规律的物理竞赛题目进行了解析，突出了物理量的矢量性和分量形式，强调了微积分方法在大学物理中的应用，旨在启发学生规范解题。

关键词：大学物理；竞赛试题；微积分

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）02-0180-02

在2013年上海理工大学大学物理竞赛中，选取了一道试题，题意如下：已知空间同时存在均匀电场（电场强度为E），均匀磁场（磁感应强度为B）和的重力场（重力加速度为g），且三者方向相互垂直。一质量为m、带正电荷q的质点在此空间运动，保持速度的大小在运动过程中不变。（1）说明此质点作何种运动（无须求出运动的轨迹方程）。（2）若电场和磁场在某时刻突然同时消失，并且将此时（即电磁场刚要消失时）的动能称为初始动能，那么，已知该质点在此后的运动过程中的动能最小值为其初始动能的一半，试求在电磁场刚要消失时，质点速度在三个场方向的分量。

当时提供的参考解答如下：

（1）如图1所示，建立直角坐标Oxyz，其中电场方向沿着Ox轴，磁场方向沿着Oy轴，而Oz轴与重力方向相反。根据洛仑兹力公式 =q × [1]可知，磁场对质点的作用力垂直于磁场方向，位于Oxz平面内；另外，重力方向向下，电场力方向沿着x轴正向，因此在y轴方向质点不受力，由此可知质点沿y方向的分速度（包括大小和方向）不变；依题意，质点速度的大小在运动中是恒定的，故质点在Oxz平面内的分速度大小也一定是恒定不变的；其次，质点速度大小保持不变，意味着合力做功为零，而洛仑兹力对质点不做功，因此，电场力和重力对质点所做的功也为零，由此可推断质点在Oxz平面内的分速度垂直于电场力和重力的合力，而电场力和重力的合力的方向在运动中是不变的，故此分速度的方向保持不变。综上所述，质点速度的方向保持不变的，因此质点在给定的三个场中做匀速直线运动，其轨迹在Oxz平面内且垂直于电场力和重力的合力。

（2）设电场和磁场都存在时质点速度大小为v0，题中所要求的速度在三个场方向的分量分别用v0x、v0y和v0z表示。根据问题（1）中的分析，质点作匀速直线运动，这意味着质点所受合力F等于0。将此合力也分解为三个分量Fx、Fy和Fz，则有

F =qE-qv B=0，得v = （1）

F =0，F =-mg+qv B=0，得v = ，v =v -v -v （2）

电场和磁场同时消失后，则粒子仅在重力作用下做抛体运动，因此任意时刻t时质点速度为

v =v ，v =v ，v =v -gt （3）

显然，当v =0时，粒子的动能最小，为E = m

（v +v ），依题意E = （ mv ），因此有v =2（v +

v ），结合（1）和（2），得

v = （4）

该题也是第25届全国中学生奥林匹克物理竞赛预赛试题[2]。上述解答中，問题（1）是通过说明性的论证来说明质点做匀速直线运动的，比较适合高中学生。而作为大学物理竞赛题目，则应更突出学生对质点运动规范解题方法的应用和掌握，即从定义式和基本定理出发，突出物理量的矢量性和分量形式，突出微积分方法的应用，以利解决更复杂的问题。这也是大学物理教学中的重点和难点，因此，本文从这个角度，用解析的方式来解答这个问题，这对于学生用矢量和微积分方法规范解题不失为一个好的练习。

根据图1所示的电场、磁场和重力场的方向假设，以及电场力和洛伦兹力公式，由牛顿第二定律，可列出质点动力学方程

q ×B +qE -mg =m =m （5）

在图1所示的直角坐标系下，分解为分量形式

qE-qBv =m （6）

m =0 （7）

m =qBv -mg （8）

由式（6）和（8）得

m =-qB =-qB ，m =qB =qB ，

整理得 + = ， + =

求解上述微分方程[3]，可得

v = +A cos（ t+φ ），v = +A cos（ t+φ ）（9）

根据题意，质点速度大小保持不变，即v +v +v =常数，由式（7）可知v =常数，因此v +v =常数，根据式（9），必有A =A =0，即v = =常数，v = =常数。由于v ，v ，v 均为常数，所以质点作匀速直线运动。