刘文军

摘要：矩阵论课程的学习，对培养研究生的运算能力、逻辑推理能力、抽象思维能力及创新能力等非常重要。笔者根据多年的矩阵论课程的教学经验，对教师如何教好矩阵论，学生如何学好矩阵论提出了一些建议与思考，这些建议对矩阵论的教学与学习有较好的指导意义。

关键词：矩阵论；思维能力；创新能力

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）03-0138-02

矩阵论是高等学校理、工科研究生的一门重要的公共基础课程。作为一门基础工具，矩阵论在现代科技领域有着广泛的应用。诸如概率统计、微分方程、力学、电子学、数值分析、优化理论、控制论、网络等学科领域都与矩阵论有着密切的联系。甚至在经济管理、保险、金融、社会科学等领域，矩阵理论也有着十分重要的应用。

矩阵论是线性代数课程的拓广及延伸，它将线性代数中实数域上的理论推广到复数域上，给出了矩阵的Smith标准型、Jordan标准型、Hermite二次型的有关理论，并进一步介绍线性空间、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性映射，深刻地揭示了有限维空间上的线性变换的本质与思想，并通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。由于矩阵论中很多知识是线性代数的推广，所以要学好矩阵论，必须要学好它的基础课程线性代数。由于线性代数一般是大一或者大二开设，而线性代数中概念比较抽象，学生掌握的不是很牢固，虽然有考研前的突击，但学生对于线性代数的知识大都是单纯的记忆，而没有真正掌握它的实质，所以学习更深层次的矩阵论课程，就更困难了。如何让学生在较短时间内较好地掌握与理解矩阵论课程的教学内容，更好地掌握矩阵论中的思维方式呢？如何调动学生的学习兴趣，激发学生的学习欲望，以提高学生的抽象思维能力呢？如何在已有兴趣的基础上，提高学生的创造性思维能力呢？这些问题是我们矩阵论教学工作者要解决的重要问题。现在的矩阵论的课堂教学有三个显著的特点：（1）学生基础差异大。矩阵论是全校理、工科学生的基础课，选修的学生很多，而开设的班级有限，所以一般是几个专业的学生合在一个班上课，而不同的专业，他们在大学数学类课程要求不同，从而导致他们的数学基础有很大的差异。（2）每周学习内容多。大学课堂里的每一堂课一般都是90分钟，两节课连上，矩阵论也不例外，并且一般是一周6节，这样在一周内学的内容比较多，学生学习压力大。（3）课时少，教学进度快。由于矩阵论的内容较抽象，但学时又非常有限，因此每堂课不仅教学的内容较多，且内容是全新的，教师讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲概念、讲思路，举例较少。面对诸多特点，高校的矩阵论任课教师一直在探索一种适合于研究生学习的教学方式与手段。笔者以多年的矩阵论教学经验，结合学生的学习情况，对教师如何教好矩阵论、学生如何学好矩阵论得出自己的一点心得，现总结如下。

一、教师教学手段与教学方式的改革

研究生的教学与本科生的教学有一定的差异性，其以自主学习为主，但由于公共基础课的矩阵论教学，我们基本上还是延用大学线性代数那种以传统的教学方式为主的教学方式，即：以教师为中心、以讲台为中心。教与学的关系不是教师与学生的平等关系，而是指导与被指导、命令与服从的关系，这种关系阻止了学生许多方面的发展。现在的教学活动应该建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应充分调动学生的学习积极性，使学生的被动学习模式变为主动学习模式，并帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能，获得广泛的知识与经验。教师应充分激发学生的创造性。为了培养学生的创新思维，教师必须要探索新的教学方法，针对每个学生的不同情况，针对所教知识的体系对教学方法进行一定的创新。在教学的过程中，做到定向引导教学、启发式教学、情感教学及对比教学相结合，通过这些教学方式，加深学生对一些抽象概念的理解，从而使其更好地掌握这些知识，进而也会提高教学效果。

二、培养学生积极主动的学习态度及良好的学习方法

矩阵论的知识，将线性代数中的实数域推广到了复数域，由于许多学生对复数域上的知识掌握不够，学生一下子很难接受与理解。如果学生仅仅利用课堂的时间学习该门课程，而不利用课余时间主动地去学习的话，要学好这门课程是非常困难的。那么，如何培养学生积极主动的学习态度呢？我们在上课的过程中，以多提问方式教学，让学生多思考问题。另外，在每堂课的结束之前，给学生准备几个思考题，让学生带着问题去思考，去学习，这样让学生慢慢养成主动学习的习惯。学生在学习中保持积极主动的学习态度固然是非常重要的，但仅有积极主动的学习态度，没有好的学习方法也很难掌握好该门课的实质。那么，何为好的学习方法呢？本人认为，好的学习方法，在学习中应该能做到下列几点。

（一）牢固掌握该课程的基本概念、基本性质

基本概念、基本性质一直是数学的重点。在矩阵论中，涉及的概念与性质也非常多，如特征值与特征向量、两矩阵相似、Jordan标准形、酉相似、范数、广义逆矩阵、矩阵的直积、线性空间与线性变换等基本概念及它们的基本性质一定要很好地理解及掌握。若掌握不够牢固，理解不够透彻，在答题中对基本性质的应用就不知如何下手。因此，在学习与复习中一定要重视基本概念、基本性质和基本方法的理解与掌握，多做一些基本题来巩固基本知识。

（二）牢记基本公式、理解基本定理、熟记基本思路

学习数学，很多知识都是要去理解才能很好地掌握，但一些重要的公式，如一些常用向量范数、方阵范数、方阵的谱半径、方阵的条件数等计算公式，一定要牢牢记住，一点也不能含糊。一些基本定理，如Hamilton-Cayley定理、Schur定理、Gerschgorin定理等一定要很好地理解，并能实际应用。一些常见的解题思路，如向量特征值与特征向量的求法、方阵Jordan标准形的求解、正规矩阵酉对角化方法、矩阵的各种分解方法等一定要熟记，一点也不能马虎。

（三）多做练习，巩固知识

研究生教学与本科生教学的一个重大区别是减少了布置作业的环节，但对于数学类课程的学习，不管是哪个层次，练习都是必须的步骤。矩阵论的学习也不例外，虽然没有作业环节，但学生在学习过程中一定多做练习，通过反复练习，巩固与掌握知识。特征值与特征向量的求法；矩阵Jordan标准形的求法；正规矩阵酉对角化方法；矩阵分解等知识。对于这些知识来说，它们的解题思路比较简单，但是只有通过反复练习，才能很好地掌握。在练习过程中，大家一定要养成认真细心的好习惯。

三、充分利用学生所学知识，采用类比教学法

由于矩阵论中涉及的定义比较多，在教学中，要注意采用类比的教学方法，例如，在讲解矩阵相似的概念及性质时，应将它与矩阵的等价进行比较，得出它们的区别与联系；在讲解向量或矩阵序列时，要将它们与已学的数列相比较得出它们之间的联系；在讲解矩阵的微分与积分时，要将它们与函数的微分与积分进行比较；在讲解数量函数或矩阵值函数对矩阵变量的求导时，要将它们与函数的求导进行比较等。通过比较，使学生在已有的基础上更好地理解与掌握矩阵论中所要学的知识。

四、深入浅出地引导式教学

对于本科阶段来说，在大一或大二学习“线性代数”时，矩阵的运算虽然运算量大，但只要细心计算，问题还是不大，但学习到后面的向量组的线性相关性、矩阵相似、对角化、二次型、正定矩阵等知识时，很多学生就难以理解，以至于跟不上教学进度，慢慢地落队了。现在又将这些难理解的知识推广到复数域上，如Jordna标准形、酉相似、酉对角化、Hermite正定矩阵等知识就更是让学生望而生畏了。所以我们在教学过程中，要充分认识到这些难点，引导学生从简单的基础知识入手，通过感性认识慢慢扩展到理性认识，深入浅出将各知识点展示给学生，这样会起到事半功倍的效果。

五、充分利用现代化数学软件

矩阵论中许多内容是有关矩阵方面的知识，而Matlab软件具有强大的矩阵处理及绘图功能。在教学中，将Matlab软件与矩阵论课程教学相结合，给出矩阵理论中的典型计算通过MATLAB实现的实例，通过这样，为学生更好地学好用好矩阵理论引导进一步学习的方向。作为高等院校来说，理、工科研究生普遍开设的一门必修的重要基础理论课矩阵论，一方面由于其概念多、内容抽象以及逻辑推理严谨等特点，在培养学生逻辑推理及抽象思维方面起到了重要作用；另一方面由于工科学生在逻辑推理及抽象思维方面的能力有待提高，而这个提高的过程需要一段时间的积累，从而导致许多工科学生在学习矩阵论课程时感到吃力。在教学过程中，如何带领学生尽快跨越这一思维障碍，如何充分挖掘学生的数学创造性思维潜能，使培养的创新性人才更好地适应社会发展的需要，是高等师范院校每一位矩阵论任课教师需要认真思考的问题。

参考文献：

[1]徐仲，张凯院，陆全，冷国伟.矩阵论简明教程[M].北京：科学出版社，2014.

[2]林锰.矩阵论教程[M].北京：国防工业出版社，2012.

[3]张绍飞，姚慕生.矩阵论教程[M].北京：机械出版社，2012.