元志芳, 王连堂

(西北大学 数学学院， 陕西 西安　 710127)



两个包含Gamma函数的对数完全单调函数及其应用

元志芳, 王连堂*

(西北大学 数学学院， 陕西 西安 710127)

摘要：通过对两个包含Gamma函数的特殊函数的对数完全单调性的证明，给出了一个新的关于Γ(x+1)的不等式，由此给出了一个关于n!的新估计，并将该估计与已有文献结果进行了比较.最后，基于这个新估计，提出了一个关于n!的最佳不等式的猜想.

关键词：Gamma函数； 对数完全单调性； n!； Burnside 公式

0引言

一个函数f被称作是区间I上的完全单调函数.如果函数f在区间I上的各阶导数都存在，且满足(-1)nf(n)(x)≥0,(∀x∈I,n=0,1,2,…),若此不等式严格大于零，则称函数f是区间I上的严格完全单调函数[1,2].

一个正函数f被称作是区间I上的对数完全单调函数.如果它的对数lnf满足(-1)n[lnf(x)](n)≥0,(∀x∈I,n=1,2,3,…)，若此不等式严格大于

零，则称函数f是区间I上的严格对数完全单调函数[3,4].

区间I上的对数完全单调函数，也是区间I上的完全单调函数[5].

著名的欧拉Gamma函数的定义为：

文献[7]首先证明了对任意的正整数n,双向不等式:

(1)

成立，后又得出不等式:

(2)

文献[8]给出双向不等式:

(3)

文献[9]进一步得出双向不等式:

(4)

文献[10]在以上基础上进一步优化，得到双向不等式:

(5)

本文利用对数完全单调函数的定义，得出了关于Γ(x+1)的一个新的不等式.进而，得到了关于n!的一个新估计：

(6)

通过计算,可得表1、表2中的近似数据.其中，αni,βni(i=1,2,…,6)为前边不等式(1)～(6)中给出的式子.

表1　αni(i=1,2,…,6)的近似值

表2　βni(i=1,2,…,6)的近似值

由表1、表2中的数据可以看出，本文所得不等式(6)比文献[7]中不等式(2)更加精确……