Weibull统计理论的参数对混凝土全曲线模型的影响

潘青松，彭刚，胡伟华，徐鑫

(三峡大学 土木与建筑学院, 湖北 宜昌443002)

摘要：为了解混凝土在不同加载速率下的力学特性，采用微机控制电液伺服大型多功能动静力三轴仪，对强度等级为C15、边长为150 mm的立方体混凝土试件在不同加载速率为10-5/s，10-4/s，10-3/s，5×10-3 /s下进行了单轴压缩试验，对不同加载速率下单轴压缩混凝土的抗压强度、变形、基于修正后的Weibull统计理论的应力应变全曲线模型参数等进行了研究和分析。结果表明：修正后的Weibull统计理论模型能较好地拟合混凝土试件在不同加载速率下的全曲线模型；材料的强度硬化特性可以通过Weibull本构模型中的参数m和E值表征；应变软化特性可以通过Weibull本构模型中的参数c值表征。

关键词：不同加载速率; 混凝土全曲线；Weibull统计理论参数；强度硬化特性；应变软化特性

中图分类号：TU502.6文献标志码：A

1研究背景

在单向受力条件下，对混凝土的应力、应变关系的定义，很多学者根据不同的方法提出了其表达式[1-5];对于混凝土不同速率下的单调加载的全曲线，不少研究人员对试验测得的曲线进行拟合和分析[6-10]; 魏晓方[11]、王春来[12]、龙源等[13]利用Weibull统计分布理论和等效应变假定原理，推导出基于钢纤维混凝土单轴受压状态下的损伤本构模型。胡海周等[14]、王乾峰[1]指出Weibull统计分布理论不能准确描述峰值应变后的应力-应变关系，对其本构模型进行了修正，对应力-应变曲线的下降段采用Lognormal统计分布规律进行描述，并进行了试验拟合验证，但只给出了改进后的Weibull统计理论各参数的意义，并未研究各参数对混凝土强度硬化和软化的影响情况。鉴此，本文采用改进后Weibull本构模型中各参数对不同速率作用下的混凝土强度硬化和软化的影响展开研究。

2试验过程

2.1　试件制作及养护

试验采用强度等级为C15、尺寸为150 mm的立方体混凝土试件，水泥采用宜昌弘洋水泥有限公司生产的P.O 42.5硅酸盐水泥，粗骨料为5 ～32 mm连续级配的碎石，其中5～20 mm小石与20～40 mm中石的比例为4∶6。细骨料为细度模数2.3的连续级配的天然河沙，使用自来水为拌合用水，混凝土配合比详见表1。

表1　混凝土材料用量 Table 1　Material proportioning of concrete　kg/m 3

为了使骨料与水泥均匀性分布，采用了先干拌后湿拌的机械搅拌方式，搅拌时间不超过10 min。试件成型后在室温下静置一昼夜后拆模并编号，将编号后的试件置于标准养护条件下(温度为(20±3)℃，湿度95%以上)养护28 d，其后在自然条件下养护至试验开始。

2.2　加载设备及试验步骤

加载设备采用三峡大学和长春市朝阳试验仪器有限公司联合研制生产的10MN微机控制电液伺服大型多功能动静力三轴仪，该系统是由3个独立的油缸来施加荷载。轴向变形范围0 ～10 mm，径向变形测量范围0 ～5 mm，位移测量范围0 ～100 mm，在加载速率为(10-6～10-2)/ s的范围内具有良好的工作性能，能较好地满足本次试验的要求。

在不同加载速率下，进行了混凝土的加载试验。试验过程如下：

(1) 装样。

(2) 变形计的安装与检查，并开启数据采集系统。

(3) 加载，包括预加载和正式加载2个步骤：预加载是通过数据采集系统软件发出指令给控制器，使油缸以一定速度上升，直至达到负荷限制值；正式加载是试验之前预先编写好加卸载程序，试验将要开始时，直接调入写好的加卸载程序，系统同时开始采集位移值、荷载值、轴向变形值等各种数据。

(4) 试件加载完成后，将作动器复位，关闭油源，对破坏后的试样拍照。

(5) 试验结束并保存数据文件。

3试验结果与分析

试验所得不同加载速率下混凝土试件的峰值应力和峰值应变数据详见表2；峰值应力、峰值应变与加载速率的关系详见图1。

表2　试件在不同加载速率下的峰值应力及峰值应变 Table 2　Peak stress and peak strain of specimen under different loading rates

图1　峰值应力、应变与应变速率的关系 Fig.1　Relations of strain rate respectively with peak stress and peak strain

由表2及图1知，混凝土峰值应力随加载速率的增加抗压强度都有不同程度的增加。试验以应变率速为10-5/s时的峰值应力为混凝土准静态抗压强度，其抗压强度分别提高10.62%，20.97%，24.32%；混凝土峰值应变随加载速率的增加而先增加后减小，表明在加载速率增加到一定程度内混凝土的变形随之增加，当加载速率超出一定的速率后，混凝土的变形则减小。符合高丹盈[8]、王四巍等[10]提出的：“塑性混凝土强度随着加载速度的增加而增大,其峰值时的变形随着加载速度的增加而变小, 但塑性混凝土强度不会随着加载速度的增长无限增大。”

按照一般经验公式：

(1)

图2　混凝土静态和动态 试验峰值应力和应变速率 的线性关系 Fig.2　Linear relationship between peak stress and strain rate in static and dynamic tests of concrete

通过公式(1)对表1中混凝土峰值应力试验数据进行拟合，得出不同加载应变速率下混凝土抗压强度增长系数(动态抗压强度与准静态抗压强度的比值)与应变速率的关系，具体拟合图如图2所示，其拟合参数A,B以及相关系数R2具体数值见表3所示。

表3　不同加载应变速率下拟合参数 A， B和相关系数 R 2 Table 3　Fitting parameters A, B, and the correlation coefficient R 2 in the presence of different strain rates

通过图2可以看出，采用公式(1)得到的混凝土峰值应力值随应变速率的变化曲线与本文得到的试验结果吻合，拟合的相关系数>0.85，说明公式(1)能很好地反映混凝土峰值应力与应变速率之间的相关关系。

4基于Weibull统计理论的全曲线模型参数分析

4.1　构建全曲线模型及模型验证

法国著名学者Lemaitre[15]提出了应变等价原理，受损材料的应变本构关系可以从无损材料的本构方程来导出，只要用受损后的有效应力来代替无损本构关系中的名义应力即可。根据这一原理，在损伤后的应力应变与关系式中引入损伤变量D得到：

(2)

即

(3)

王春来等[12]推导出基于钢纤维混凝土单轴受压状态下的损伤本构模型。但是当混凝土强度超过一定值时，Weibull统计分布理论则不能准确描述峰值应变后的应力-应变关系，需要对其损伤本构模型进行修正。而对应力-应变曲线的下降段采用Lognormal统计分布规律进行描述能比较准确地反应混凝土损伤过程。

改进后的统计分布损伤本构模型[1]为

(4)

式中：εpk，σpk，E分别为峰值应变、峰值应力和弹性模量；m和c为形状参数，可通过对试验数据拟合得到。

利用式(4)对混凝土试件进行拟合分析，见图3。

图3　不同加载速率作用下的应力-应变曲线 Fig.3　Stress-strain curves under different loading rates

由图3知，式(4)能较好地拟合混凝土试件在不同加载速率作用下的全曲线模型，尤其是在应力峰值前的曲线模拟基本重合，应力峰值的模拟准确一致，应力峰值之后的曲线模拟有一定的差别，但大致趋向是一致的。

4.2　Weibull模型参数对混凝土强度硬化特性及应变软化影响的分析

强度硬化：在应力-应变曲线上升段，随着应变的增加，应力持续增加，这种现象为混凝土材料的强度硬化特性。

应变软化：在应力-应变曲线下降段，随着应变的增加，应力逐渐减小，这种现象为混凝土材料的应变软化特性。图4(a)为模型参数c和E取定值，参数m从0.8 ～1.2变化的应力-应变关系；图4(b)为参数m和c取定值，初始弹性模量E从10 ～20 MPa变化的应力-应变关系。

图4　不同m值、E值下应力-应变关系全曲线 Fig.4　Complete stress-strain curves in the presence of different values of m and E

由图4知，当峰值应变相同时，m值越大，峰值应力越大，曲线上升段斜率越大；初始弹性模量E越大，峰值应力越大，曲线上升段越陡。结合图3知，混凝土材料的峰前强度硬化特性与参数m和E值的大小相关。通过式(4)对不同加载速率下的混凝土试件试验数据拟合，得到不同m值，如图5(a)。

由图5(a)知，混凝土试件随着加载速率的增加，m值增加，峰前强度硬化特性越明显；由图5(b)知，当峰值应变相同时，初始弹性模量E越大，峰值应力越大，曲线上升段越陡。由图4知，随着加载速率的增加，m和E值增加，进而峰值应力越大，由递推关系可得随着加载速率的增加，峰值应力增加，峰前强度硬化现象越明显。

图5　不同加载速率下m值、弹性模量的变化 Fig.5　Variations of the value of m and elastic modulus under different loading rates

4.3　峰后应变软化特性分析

在参数m和E取值相同的情况下，对式(4)中参数c取值0.5， 1.0， 1.5进行分析，如图6。

图6　不同c值下应力-应变全曲线 Fig.6　Complete stress-strain curves in the presence of different c values

图7　不同加载速率下c值 的变化 Fig.7　Variation of the value of c under different loading rates

由图6知，当峰值应变相同时，峰值应力相同。c值越小，曲线下降段越陡，材料丧失承载力的速度越快，后期的承载能力越低，材料迅速破坏。结合图1、图2知，混凝土材料的峰后应变软化特性与参数c值的大小相关。通过式(4)对不同加载速率下的混凝土试件试验数据拟合，得到不同的c值，如图7。可知，c值随加载速率的增加，呈现先减小后增大的趋势。

5结论

(1) 混凝土的峰值应力随加载速率的提高而增大；随加载速率的提高，其变形越来越小。

(2) 对混凝土试件在不同加载速率下的应力-应变曲线采用修正后的Weibull统计进行了拟合分析。结果表明：修正后的Weibull能很好地拟合混凝土试件在不同加载速率下的全曲线模型，尤其是在应力峰值前的曲线模拟基本重合，应力峰值的模拟准确一致，应力峰值之后的曲线模拟有一定的差别，但大致趋向是一致的。

(3) 材料的强度硬化特性可以通过Weibull本构模型中的参数m和E值表征，其控制应力-应变曲线上升段形状、影响峰值应力的大小。m和E值越大，峰值应力越大，上升段越陡。

(4) 材料的应变软化特性可以通过Weibull本构模型中的参数c值表征，其控制应力-应变曲线的下降段形状。c值越小，曲线越陡，材料承载力下降得越快，随着加载速率的提高，c值呈现先减小后增加的规律。

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(编辑：陈绍选)

Application of Weibull Statistical Theory inConcrete’s Parameter Curve Model

PAN Qing-song, PENG Gang, HU Wei-hua, XU Xin

(College of Civil Engineering and Architecture, Three Gorges University, Yichang443002, China)

Abstract:In order to understand the mechanical properties of concrete under different loading rates, we conducted uniaxial compression test on cubic concrete specimens (strength C15, side length 150mm) under different loading rates (10-5/s，10-4/s，10-3/s，5×10-3 /s). The test was carried out by micro-computer controlled electro-hydraulic servo static and dynamic multifunctional triaxial apparatus. The compressive strength of concrete under uniaxial compression, deformation, and stress-strain curve model parameters based on the statistical theory of modified Weibull were studied and analyzed. Results revealed that the modified Weibull strain curve model parameters well fit the complete curve model of concrete specimens under different loading rates. The strength hardening properties could be characterized by the values of parameter m and E in the Weibull constitutive model, and the strain softening behavior can be expressed by parameter c in the constitutive Weibull model.

Key words: different loading rates; concrete’s complete curve; parameters based on Weibull statistical theory; strength hardening property; strain softening property