外坑支护结构转动时坑间被动区土拱效应分析

胡辉1a,1b,2，汤连生1a，林兴立2，匡飞2

(1. 中山大学 a.地球科学与地质工程学院; b.工学院，广州510275；

2.暨南大学 重大工程灾害与控制教育部重点实验室，广州510632)

摘要：为研究支护结构受力与变形特点，分析了坑中坑式基坑坑间区土体的成拱作用。当外坑支护结构绕底端转动时，利用土拱效应分析方法，推导了被动土压力表达式；定义了内外坑支护结构相对位移比，以此描述内坑支护结构位移对外坑支护结构被动土压力的影响，得到土压力呈非线性分布。工程算例对比分析表明:土压力分析方法能更好地反映土拱效应及坑间距对作用在外坑支护结构上土压力的影响，以此土压力值用于基坑支护结构设计相比采用库仑理论计算值偏于安全；当内坑支护结构不发生位移时，坑间距越小、支护结构相对位移比越大，外坑支护结构所受到的被动土压力愈大，说明提高内坑支护结构支撑刚度有利于控制外坑支护结构的变形。研究成果对分析基抗支护结构安全问题，具有一定的参考价值。

关键词：坑中坑；土拱效应；基坑；被动土压力；相对位移比

中图分类号：TU432 文献标志码：A

收稿日期：2013-11-29；修回日期:2014-03-05

基金项目：国家自然科学

作者简介：张向东(1962-),男，辽宁阜新人，教授，博士生导师，主要从事岩土工程方面的教学与科研工作，(电话)041-83350627(电子信箱)jwd101@126.com。

通讯作者：刘家顺(1986-),男，辽宁铁岭人，博士研究生，主要从事地基与基础工程的研究，(电话)13941892585(电子信箱)liujiashun000@163.com。

DOI:10.3969/j.issn.1001-5485.2015.04.021

1研究背景

坑中坑是指在基坑内局部进行再次开挖，形成坑底更深的中部基坑的情况。中部基坑称为“内坑”，内坑之外的基坑称为“外坑”，内外坑支护结构之间的区域称为“坑间区”。由于现行的有关基坑支护结构设计规程没有涉及坑中坑这样的工程现象，设计人员无法合理评估内坑开挖对外坑支护结构稳定性的影响，有时会因对这种影响估计不足而出现工程事故[1]。已有一些学者对坑中坑问题进行了较深入的研究，如申明亮等[2]对坑中坑基坑的应力场进行了分析，考察了内坑对坑间区土体应力及外坑支护结构变形的影响，但没有提出实用的计算方法。金亚兵等[3]、申明亮等[4]采用叠加法，对坑间区有限土体的土压力计算方法进行了探讨；高印立[5]利用塑性上限理论推导了坑间区有限土体的被动土压力计算公式，反映了坑间距对土压力的影响。但这些研究都没有考虑土体与支护结构表面的摩擦力，而且假定滑裂土楔体为刚体，因而无法反映土压力的实际分布。

对于坑中坑式基坑，不考虑土体与支护结构表面的摩擦力的实质就是忽略了内外坑支护结构之间(坑间区)土体的土拱效应。因为没有摩擦力就不存在土拱效应。事实上，土拱效应广泛存在于岩土工程中，有关挡土墙后主动土压力的研究证明了考虑土拱效应的土压力更加符合实际情况[6-11]；挡土结构不同位移模式(平移(T)、绕墙底转动(RB)、绕墙顶转动(RT))对土拱的形成及土压力的分布也有影响[12-14]。

在基坑工程中，支护结构后的土拱效应也是客观存在的。胡敏云等[15-16]对无锚撑排桩支护结构上的土压力进行了研究，认为当墙板式或桩排式支护结构处于较为均匀的无黏性土环境时，用土拱理论计算土压力较为适宜，对于其他情况则需考察土拱原理的适用性并推导相应的公式。基坑支护结构发生位移时，嵌固段对桩前土体产生挤压，同时支护结构受到土体产生的抗力。桩前受挤压区称之为被动区，该区域土体受到支护结构的挤压以及滑裂面以外土体的约束，同时受到支护结构表面的摩擦力，会发生局部隆起。土体隆起现象实质上是土拱效应存在的表现，支护桩侧面及滑裂面为土拱拱脚，也就是说外坑支护结构的被动区土体同样存在土拱效应。本文基于土拱效应，对坑间区被动区土体应力进行分析。在外坑支护结构绕底端转动条件下，推导了被动区土压力计算公式。算例对比分析表明，考虑土拱效应的土压力与现有规范计算的土压力结果有所不同，本文得到的土压力沿深度呈非线性分布，并且非线性程度随着支护结构表面摩擦力的增大而增大；土压力合力与支护结构表面摩擦力以及坑间距有关，在数值上介于朗肯土压力与库仑土压力之间；在合力作用点位置上，当支护结构表面摩擦力较大时，土压力合力作用点下移，位于距支护结构底端约1/4高度处。此外，坑间距、支护结构相对位移比等因素对作用在外坑支护结构上的被动土压力有重要影响；提高内坑支护结构的刚度，可以显著增大作用在外坑支护结构上的被动土压力，从而有助于维持外坑支护结构的稳定。

图1　坑中坑式基坑剖面 Fig.1　Cross section of the pit in foundation pit

2坑间区土拱效应分析

2.1　土拱形态分析

外坑支护结构在基坑外主动土压力作用下发生位移(平移或转动)，坑间区土体隆起，土体内逐渐形成滑裂面(剪破面)。当处于极限状态时，滑裂面贯通支护结构底端，形成截面为梯形OEJC或三角形OCD的滑裂土楔体，如图1所示。根据坑间区土体位移形态及Terzaghi土拱理论[7]，可以认为，当支护结构发生位移时，坑间区土体主要承受剪应力，加上桩-土间摩擦力的作用，坑间区土体发生应力偏转，在内、外支护结构间形成“拱形”分布的大主应力。随着外坑支护结构位移的增大，坑间区土体受到嵌固段OC的挤压，向约束相对较弱的区域(土楔体上方)发生隆起而屈服。此时，屈服区域不能承受更大的力，外坑支护结构挤压引起的超出其所能承受的应力由下方未屈服土体承担。如图1所示，假设OEDJCF区域的土体都达到极限平衡状态，OE为滑裂面。当坑间区土体达到被动极限状态时，形成由内、外支护结构侧面以及滑裂面所围成的“楔形滑裂体”。楔形滑裂体的上部矩形区EFCJ的拱脚在内、外坑支护结构侧面上；下部三角形区域EOF的拱脚分别在外坑支护结构侧面和滑裂面上。

2.2　基本假定

对于图1所示的悬臂式基坑支护结构嵌固段变形可视为绕底端转动的线性变形(RB位移模式)。本文针对外坑支护结构转动的位移模式，研究坑间区土拱效应及其对外坑支护结构稳定性的影响。

悬臂式支护结构的抗力完全由被动区土体提供。L为外坑支护结构长度，H为外坑支护结构嵌固深度，S为坑间距，h为内坑开挖深度，β为滑裂面倾角。在推导坑间区土体作用于外坑支护结构的被动土压力时，作如下假设：

(1) 内、外坑支护结构均为刚体，且内坑支护结构不发生位移；

(2) 外坑支护结构发生绕底端转动的变形(RB模式)；

(3) 坑间区土体为无黏性土；

(4) 外坑支护结构达到极限状态，坑间区土体形成圆弧状拱应力迹线，如图1所示；

(5) 滑裂面为平面且通过支护结构底端，滑裂面与水平面夹角β=π/4-φ/2；

(6) 支护结构表面粗糙，桩-土之间摩擦力完全发挥。

2.3　被动土压力系数

为便于表述，将外坑开挖完成而内坑尚未开挖时的状态定义为初始状态。

以图1中点C为坐标原点建立直角坐标系，y轴正方向指向下方，如图2所示。

图2　考虑土拱效应的土压力分析 Fig.2　Earth pressure in consideration of soil arching effect

在深度y处取厚度dy、宽度B的水平土条单元。该土条在被动极限状态时形成上凸的大主应力拱，拱的切线为大主应力方向。土条与支护结构表面的接触点A为圆弧拱的起点。在支护结构表面摩擦力作用下，水平土单元的主应力方向发生偏转，大主应力与水平面成一夹角θ(θ为主应力偏转角)；与滑动面(或内坑支护结构侧面)接触的点G处，主应力方向不发生偏转[11]，水平方向为大主应力，竖直方向为小主应力。A点和G点的小主应力方向线反向延长，相交于O′点。O′点为拱迹线圆弧的圆心，圆弧半径为R。图2为滑裂土楔体水平土条单元在被动极限状态形成的大主应力拱。

图3为图2中深度y处水平土条A，G两点的莫尔应力圆，其中直线OG与莫尔圆相切，为滑裂面处土体的强度包线，与横坐标的夹角为φ；直线OA与莫尔圆相交，圆上A点与图2中的A点的竖直面相对应，OA与横坐标的夹角为δ，表示土体与支护结构表面的摩擦角(外摩擦角)；θ的含义与图2中的相同。

从图3可知，点A发生滑动时(极限状态)其水平应力σh、竖向应力σv及剪应力τh分别为

(1)

式中：σh和τh可以由图3的几何关系推得；将τh代入σh中，可以推出σv。

图3　点A极限莫尔应力圆 Fig.3　Mohr circle of point A

(2)

同理，水平土条单元上其他点的应力存在以下关系式,即

(3)

式中Ψ为土条单元大主应力面与水平面夹角，其值在θ～π/2之间。

由于土拱效应的影响，同一水平土条单元上竖向应力并非均匀分布，因此采用平均竖向应力σav来表示。图2中水平土条单元点A，G之间的平均竖向应力σav为

(4)

则水平被动土压力系数Kwp为

(5)

主应力偏转角θ由式(1)与式(6)联合求得。

(6)

(7)

3内坑支护结构无位移时的土压力

定义外坑开挖完成而内坑尚未开挖时的状态为初始状态。下面推导内坑开挖但内坑支护结构不发生位移情况下，作用在外坑支护结构上的被动土压力。

3.1　矩形区域土压力分布

将图1中坑间区的梯形滑裂土楔体分为矩形区域和三角形区域2部分。矩形区域的水平土条单元受力分析如图4所示。

图4　矩形区域水平土条单元受力分析 Fig.4　Force analysis for soil element in rectangular area

由竖向受力平衡条件得

(8)

由水平向受力平衡条件得

(9)

其中，

(10)

将式(8)至式(10)联立，则土条单元平均竖向应力是关于深度y的微分方程为

(11)

由边界条件y=0时，σav1=0求得微分方程的特解为

(12)

则水平被动土压力为

(13)

3.2　三角形区域土压力分布

RB位移模式下三角形区域的水平土条单元受力分析如图5所示。

图5　三角形区域水平土条单元受力分析 Fig.5　Force analysis for soil element in triangle area

由单元体水平向力的平衡条件得

(14)

由单元体竖向力的平衡条件得

(15)

(16)

式(14)至式(16)联立解得

(17)

令

(18)

则式(17)可表示为

(19)

该微分方程的通解为

(20)

上式可表示为

(21)

则RB位移模式下三角形区域土压力为

(22)

可见，三角形区的被动土压力由2部分组成：第1部分由土体自重引起，与土体重度γ及深度y有关；第2部分由矩形区传递的竖向压力引起，与q有关。

3.3　土压力合力及合力作用点

作用在外坑支护结构上的土压力合力为

(23)

其中矩形区域为

(24)

三角形区域为

(25)

土压力合力对支护结构底部的力矩为

(26)

其中矩形区域为

(27)

三角形区域为

(28)

合力作用点距支护结构底端的距离可表示为

(29)

由以上推导过程与结果可见，考虑土拱效应的坑间区被动土压力与6个参数有关，即

(30)

图6　内、外坑支护结构相对位移示意图 Fig.6　Relative displacement between internal and external supporting structures

4内坑支护结构位移时的土压力

4.1　内外坑相对位移比

前面假定内坑支护结构不发生位移，而实际工程中，内坑支护结构存在一定位移。为此，下面研究内坑支护结构发生刚体位移情况下，坑间区土体作用在外坑支护结构上的被动土压力。

土体由静止状态到极限平衡状态是一个渐变过程。为准确表述内、外坑支护结构的相对位移关系，引入内、外坑支护结构相对位移比的概念。

如图6所示，内、外坑支护结构发生同向位移，但二者的位移量不同，即内、外坑支护结构位移过程中存在相对位移。设内、外坑支护结构发生位移后的平均距离为

(31)

则两者的平均相对位移为

(32)

定义ΔSmax为被动区土体达到极限平衡状态时的内外支护结构相对位移。

当内外支护结构均未进入极限状态的相对位移时，定义n为相对位移比，即

(33)

n=0时，表示内外支护结构处于初始状态时，不存在相对位移；n=1时，表示内外支护结构相对位移达到最大值，ΔS=ΔSmax，坑间区土体处于被动极限平衡状态。因本文假定支护结构均发生绕底端的转动，所以一般情况下，S下变化较小，S上的变化相对显著，相对位移比的变化很大程度上由S上的变化引起。当内坑支护结构不发生位移时，外坑支护结构位移导致S上减小，n值较大；内坑支护结构位移时，S上增大，n值较小。

4.2　相对位移比与摩擦力发挥程度的关系

土体从静止土压力状态到极限土压力状态的变化过程中，土体内摩擦角随相对位移的增大而逐渐发挥，土体与支护结构间的摩擦角同样如此。定义未达到极限状态的土体内摩擦角、土与支护结构间的外摩擦角分别为φm,δm，并假定二者同步发挥。则在非极限状态下有

(34)

二者都是内、外坑支护结构相对位移比n的函数，即

(35)

式中：φ，δ为土压力极限状态下的内、外摩擦角；φ0，δ0为静止土压力状态下的内、外摩擦角。

对于静止土压力状态下的内、外摩擦角，可通过以下方程组求解，即

(36)

式中：K0为静止土压力系数； φ，δ由实验测得，缺乏资料时，可取δ=2φ/3；求得φ0后，δ0可以保守地取φ0/2。

水平土条间剪应力τv由水平土条单元间的错动程度决定，令

(37)

至此，相对位移比与层间等效内摩擦角建立了联系。

4.3　考虑相对位移比的土压力

(38)

5算例分析

5.1　内坑支护结构无位移时的被动土压力与经典理论值比较

图7　本文方法与经典 理论土压力对比 Fig.7　Comparison of calculated earth pressures between the present method and classical theories

工程有关参数为：砂土，γ=18.5kN/m3,φ=28°；支护结构侧面与土体间摩擦角δ=φ/2=14°,ξ=0.8；外坑支护结构嵌固深度H=10m，坑间区宽度S=8m。

当内坑支护结构无位移时，本文方法得到的土压力值及经典理论的土压力值如图7所示。可见，考虑了土拱效应的土压力呈非线性分布，并且上部土压力比较小，下部比较大。这是由于在支护结构位移逐渐达到极限位移量的过程中，上层土条在内、外坑支护结构水平压力和摩擦力作用下，主应力方向发生偏转，并伴随隆起而发生屈服，水平压力向下层土体转移的结果。随着深度增大，下层水平土条受到上部土体转移的应力越来越大，导致在支护结构底部土压力显著增大。这说明在内、外坑支护结构表面粗糙情况下，摩擦力引起的土拱效应对作用在支护结构上土压力的影响不可忽略。整体上看，本文方法得到的土压力合力、合力矩(见表1)介于朗肯法与库仑法之间，但合力作用点相对向下移动。当δ逐渐减小至δ=0.1φ时，土压力逐渐趋于线性分布。说明支护结构表面比较光滑时，土拱效应减弱，在数值上趋近于朗肯土压力值；当δ=0.5φ时，本文方法算得的土压力合力及合力矩均小于库仑土压力理论的结果(表1)，说明若在基坑支护结构设计中，采用不考虑土拱效应的库仑方法计算值，将使支护工程偏于不安全。

表1　合力、合力矩、合力作用点计算结果 Table 1　Calculated result of resultant force,resultant moment and resultant force point of earth pressure

注：归一化合力作用点为相对位置。

5.2　不同坑间距下初始状态的被动土压力比较

当δ=φ/2时，不同

图8　本文方法不同坑 间距下的土压力比较 Fig.8　Earth pressure distribution along depth with different pit-to-pit distance obtained by the present method

坑间距下的被动土压力分布如图8所示。可见，假定内坑支护结构不发生位移，随着内坑逐渐向外坑靠近，作用在外坑支护结构上的被动土压力越来越大。这是由于随着S的减小，梯形滑裂土楔体中的矩形区域深度增加，相当于更深的土层在内外坑支护结构间形成了土拱；并且两平行支护结构的粗糙表面为土拱提供了更加稳定的拱脚，使土体可以承受更大的由支护结构传递来的水平压力，表现为被动土压力更大。

图9　不同相对位移比 下土压力 Fig.9　Earth pressure with different relative displacement ratio

5.3　内坑支护结构位移时的土压力

图9为内外坑支护结构不同相对位移比下的土压力。可见，相对位移比越小，考虑土拱效应的坑间区土体作用在外坑支护结构上的土压力越小，土压力的非线性也越不明显。而相对位移比的减小主要是由于内坑发生位移引起的，所以，也可以认为，内坑支护结构位移越大，被动土压力越小。从表1可以看出，土压力合力随n值的减小而明显减小。当n=0.5时，土压力合力相当于n=1.0时的68.2%；当n=0.2时，土压力合力仅相当于n=1.0时的57.1%。这表明当内坑支护结构变形较大时，土拱效应越不明显，作用在外坑支护结构上的抗力显著减小。这就是内坑支护结构变形导致外坑支护结构失稳或产生过大变形的根源。也说明控制内坑支护结构变形对于保证外坑支护结构的安全意义重大。

6结论

假设内坑支护结构不发生位移条件下，建立了考虑土拱效应的被动土压力计算表达式；研究了内坑支护结构发生位移，在不同相对位移比时的土压力；通过算例将本文分析方法得到的土压力与经典土压力理论结果进行了对比分析。综合以上分析研究，可得如下结论：

(1) 土拱效应对作用在支护结构上的被动土压力分布及大小影响明显。支护结构表面越光滑土拱效应越不明显，越接近朗肯解；考虑支护结构侧面与土体摩擦力时，支护结构绕底端转动模式下的土压力呈明显的非线性分布。

(2) 考虑支护结构侧面与土体摩擦力时，本文方法得到的土压力合力及合力矩均小于库仑理论值，采用不考虑土拱效应的库仑土压力进行工程设计，将使支护结构偏于不安全。

(3) 内坑支护结构不发生位移情况下，坑间距越小，坑间区土体土拱效应越明显。

(4) 内坑支护结构位移越大，相对位移比越小，被动土压力越小。这也说明内坑支护结构位移引起作用在外坑支护结构上的被动土压力减小是导致外坑支护结构失稳的根源；控制内坑支护结构变形对于保证外坑支护结构的安全意义重大。

由于土压力问题的复杂性，精确建立数学模型求解是十分困难的，相关理论研究尚有待于进一步完善。

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(编辑：姜小兰)

Soil Arching Effect in the Passive Zone Between Internal Pit andExternal Pit When the Outer Supporting Structure Rotates

HU Hui1,2,3, TANG Lian-sheng1, LIN Xing-li3, KUANG Fei3

(1.School of Earth Sciences and Geological Engineering, Sun Yat-sen University,Guangzhou

510275, China; 2.School of Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou510275, China;

3.Key Laboratory of Engineering Disaster Forecast and Control under Ministry of Education,

Jinan University, Guangzhou510632, China)

Abstract:The soil arching effect in the passive zone between the internal pit and external foundation pit was analysed based on the stress and deformation features of supporting structure. A formula of passive soil pressure is established by using the theory of soil arching effect when the supporting structure of the external pit rotates around the bottom. A conception of the relative displacement ratio is put forward to describe the change of earth pressure in the external pit when the structure of the internal pit has displacement. The calculated earth pressure is nonlinear. The calculation results of engineering example prove that the method in this research could better reflect the impact of soil arching effect and pit-to-pit distance on earth pressure than classical methods. It also shows that this new method is safer than Coulomb’s earth theory when designing the supporting structures. When there is no displacement of the internal pit supporting, the smaller distance between two pits, the bigger relative displacement ratio of supporting structures and the bigger passive earth pressure will be, which means that improving the interior supporting stiffness is beneficial to controlling the deformation of the external pit supporting.

Key words: pit in foundation pit; soil arching effect; foundation pit; passive soil pressure; relative displacement ratio

2015,32(04):109-115