闪烁在高考和竞赛试卷中的公切线问题

●吴文尧(北仑中学浙江宁波315800)

虽然现行的高考数学考试说明中对圆锥曲线的公切线问题没有明确的要求，但因为直线与曲线相切是直线与曲线位置关系中最特殊的情况，所以圆锥曲线的切线问题常常得到命题者的青睐．笔者发现2014年浙江省数学高考理科试卷中的圆锥曲线试题、2015年浙江省高中数学竞赛中的圆锥曲线试题都或明或暗地涉及椭圆和圆的公切线问题，且都可由2004年四川省高中数学竞赛试题中的圆锥曲线试题变形得到．下面介绍这几道试题间的联系及解决这类问题的常用思想方法，供大家参考．

1一道十年前的数学竞赛题

图1

分析1本题是圆锥曲线中的最值问题，可以考虑通过建立目标函数的方法解决.又注意到当动圆T的半径r确定后，|AB|的值也随之确定，因此可选择以r为目标函数的变量,问题的关键是如何把|AB|用r表示．其难点是如何合理地利用“AB是圆和椭圆的公切线y=kx+t”这个条件．当时命题组提供的解法是：设公切线的方程为y=kx+t，分别代入圆和椭圆的方程，再利用根的判别式解之.由于涉及的都是有关字母的运算，其运算量可想而知.事实上，直接利用圆锥曲线的切线方程，可减少许多推算过程．

解法1不妨设点A,B在第一象限，由于点A在椭圆C上，可设A(acosθ,bsinθ)，椭圆C在点A处的切线l的方程为

设B(rcosα,rsinα)，则动圆T在点B处的切线方程为

因为方程(1)和(2)表示同一直线,所以

得

由sin2α+cos2α=1得

从而

在Rt△OAB中,

|AB|2= |OA|2-|OB|2=

a2cos2θ+b2sin2θ-r2=

(a2-b2)cos2θ+b2-r2=

(a2+b2)-2ab=(a-b)2,

当r2=ab时,|AB|取得最大……