《反比例函数》中的数学思想

2015-12-26刘顿

初中生天地 2015年33期

关键词：耗油量反比例函数反比例

□刘顿

《反比例函数》中的数学思想

□刘顿

数学思想是人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题.通常混称为“数学思想方法”.常见的数学四大思想为：转化与化归、分类讨论、数形结合、函数与方程.

一、转化与化归思想

例1如图1，在平面直角坐标系xOy，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交于点A（－2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限的图象交于点B（m，n），连结OB，若S△AOB＝6，S△BOC＝2.

（1）求一次函数的表达式；

（2）求反比例函数的表达式.

图1　

分析：要求两个函数的解析式，可将问题转化为求点B的坐标，此时由△AOB、△BOC的面积可得到△AOC的面积，再由点A的坐标可得到OC的长度.同理可得到△BOC中OC边上的高、△AOB中AO边上的高，即点B的横坐标和纵坐标.

解：如图1，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、D，连接OB.

∵S△AOB＝6，S△BOC＝2，

∴S△AOC＝4.

又∵点A（－2，0），

∴OA＝2，∴OC＝4，

∵S△BOC＝2，∴BD＝1，

∵AO＝2，S△AOB＝6，

∴BE＝6，点B的坐标为（1，6）.

（1）∵一次函数y＝ax＋b的图象过点A、B，

即一次函数的表达式为y＝2x＋4.

点评：求函数表达式，一般先根据题意，求出图象上相关点的坐标，再用待定系数法列方程求解.对于一次函数，需要确定图象上两点的坐标，而反比例函数只要确定图象上一点的坐标即可.

二、分类讨论思想

例2如图2，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标为（4，2），反比例函数（k＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D.

（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标.

（2）若过点D的直线y＝mx＋n将矩形OABC的面积分成3∶5的两部分，求此直线的解析式.

图2　

分析：（1）先求出点E的坐标，然后可以求出反比例函数的解析式，而点D的纵坐标和点B相同，代入反比例函数解析式可以求出横坐标.（2）分情况求解.点D的坐标已知，可以在OA、OC、AB边上分别作出把矩形OABC的面积分成3∶5的两部分的点的草图，然后求出这个点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数的解析式.

解：（1）∵点B的坐标为（4，2），矩形的对称中心为点E，

∴点E的坐标为（2，1）.

又∵CB∥OA，点B的坐标为（4，2），∴点D的纵坐标为2.

∴点D的坐标为（1，2）.

（2）①当直线y＝mx＋n与矩形的另一个交点在OC上时，直线y＝mx＋n左侧最大面积为

而S矩形OABC＝OA×OC＝8，

不符合要求，

因此直线y＝mx＋n与矩形的另一个交点不可能在OC上.

②当直线y＝mx＋n与矩形的另一个交点在OA上时，设在OA边上有点F，直线y＝mx＋n过点F且将矩形OABC的面积分成3∶5的两部分，如图2，设点F的坐标为（x，0）.

根据题意，得再分两种情形：

解得x＝2，∴F（2，0），

∵点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（2，0），

∴y＝－2x＋4；

解得x＝4，∴F（4，0），

此时，点F与点A重合，

∵点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，0），

③当直线y＝mx＋n与矩形的另一个交点在AB上时，直线y＝mx＋n右侧最大面积为

而S矩形OABC＝OA×OC＝8，

∴符合要求，通过上一步可得此时直线y＝mx＋n的解析式为y＝

点评：分情况讨论是我们经常遇到的问题，解答此类题目往往丢分较多，会出现不懂什么时候分类和分类遗漏造成的错误.在本题中，容易出错的地方是第（2）小题求解析式时，一是想当然地认为要求的点一定在边OA上，忽视点在其他两个边上的情况；二是当点在OA上时，误认为一定是左边的图形与右边的图形面积比是3∶5，忽视左右比是5∶3的情况.