机床固定结合面接触热导三维分形模型

吴阳，张学良，温淑花，陈永会，兰国生，刘丽琴

(太原科技大学机械工程学院，太原 030024)

摘要：结合面的热变形是影响机床精度的一个主要原因，而对接触热导的研究可以从理论上探究影响热变形的深层原因，基于对固定结合面单点接触模型的研究，并在考虑了弹塑性变形机制的情况下，建立了固定结合面接触热导分形模型并通过仿真计算得出了分形维数、分形粗糙度尺度参数等材料性能参数对固定结合面接触热导的影响关系。

关键词：三维分形接触理论； 弹塑性； 接触热阻

收稿日期：2015-01-07

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275328)；山西省自然科学

作者简介：吴阳(1989-)，男，硕士研究生，主要研究方向为结合面接触热导。

中图分类号：TH113文献标志码：B

机床在实际的生产应用中，机床的精度尤为重要，它影响了工件的加工质量，机床的精度是衡量一个机床好坏的重要标准，热变形是导致机床精度的下降的一个重要原因，通过对结合面接触热导的研究可以在理论上找到影响热变形的因素，从而为减缓热变形探寻了一条道路。我们通常会把机械结构当中的零件、组件、部件间的相互接触表面称为结合面[1]。建立结合面接触热导三维分形模型的第一步是先建立结合面三维分形模型。Chang[2]提出同时考虑弹性和塑性变形，建立了CEB模型，但仍旧无法完整地阐述接触临界点的接触参数不连续的事实。由文献[3-6]可知，仅仅考虑完全弹性和完全塑性的结合面变形机制是有缺陷的，因为结合面的真实接触一定有部分区域的接触既非完全弹性也非完全塑性，也就是弹塑性接触区域。以往对结合面的研究大多是二维的，但对二维结合面的研究往往与实际情况不符合，因为实际物体中没有理想的二维，所以对三维结合面的研究具有现实意义。本文基于三维接触分形理论，并结合弹塑性边界连续的接触理论模型，建立了固定结合面接触热导的三维分形模型，进而进行了仿真计算分析。

1结合面三维分形模型

1.1结合面三维建模

微观观察下，粗糙结合面的地形变化是具有分形性质的随机的非平稳的曲线，即处处连续又处处不可导。对于一个三维分形表面，其粗糙表面的几何表示对应的一个余弦为[7]：

(1)

余弦函数峰-谷的振幅决定了微凸体变形量δ并由此可得以下公式：

(2)

临界变形量为:

(3)

所以：

(4)

L-L模型[8-9]得出δc≤δ≤76.4δc范围时微凸体的接触处于弹-塑性状态，以下分别是微凸体在不同接触状态下的接触载荷和接触面积。

弹-塑性变形状态:

(5)

完全弹性变形状态:

(6)

完全塑性变形状态:

(7)

(8)

从三维接触分形理论可知粗糙表面的微凸体截面积分布函数[10]：

(9)

(10)

1.2结合面法向接触载荷

(11)

由式(5)、(6)、(7)、(9)代入式(11)可得:

当2

(12)

当D=2.5时:

(13)

将式(12)、式(13)无量纲化：

当D≠2.5时:

(14)

当D=2.5时:

(15)

2结合面接触热导三维分形模型

2.1接触热阻

由于两物体接触表面在放大观察下表现不是完全光滑的，当有热流经过结合面的时候，由于实际接触面积过小而无法完全导热，导致两个表面的温度存在一定差异，这个温度差是因为存在着接触热阻。由于接触热阻和接触热导互为倒数的特性，可以通过对结合面接触热阻的研究最终得到结合面接触热导的模型。

图1　单点接触热阻模型

2.2单一接触点的接触热阻模型

结合面上存在着无数多个不同状态下单一微凸体的接触点，要想计算出整个结合面的接触热阻，前提必须有单一微凸体的接触热阻模型。

L.C.Roess[12]用圆盘模型，推出单一接触点接触热阻为：

(16)

之后M.G.Cooper等人[13]也采用圆盘模型，他们给出了式(16)中Φ(r/b)的近似表达式为：

Φ(r/b)≈(1-r/b)3/2

(17)

λ结合面导热系数，λ1和λ2分别为两物体的导热系数:

(18)

其中，r和b分别是接触点的接触半径和热导通道的半径，由文献[14]可得：

(19)

将式(17)、式(19)代入式(16)可得到：

(20)

可得单一接触点的接触热导hc:

(21)

通过以上的分析，接触热导在单一接触点上的弹性，弹塑性和完全塑性变形状态，即hce、hcep和hcp分别可表达为：

(22)

(23)

(24)

2.3结合面上总接触热导

结合面上的总接触热导为完全弹性区域、弹塑性区域、完全塑性区域的接触热导之和，即:

(25)

将式(22)～式(24)带入式(25)可得：

当2

(26)

当D=2.5时:

(27)

将式(26)、式(27)无量纲化：

当D≠2.5时:

(28)

当D=2.5时：

(29)

3模拟仿真

绝大多数材料塑性指标在0.7至2.5范围之内[15-16]，所以给定φ分别为2.5、1.5和0.7，K通常取2.8[17-18]，2

(1)如图2所示，给定一些条件，无量纲接触热导随分形维数D的增大表现出先增大后减小的非线性关系。给定无量纲法向接触载荷，当D小于2.6时，无量纲接触热导会随D的增大而增大且变化的幅度大，当D大于2.6时，无量纲接触热导会随D的增大而减小且变化幅度小。

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(2)如图3中，给定无量纲法向接触载荷，无量纲接触热导随G*的增大而减小且D为2.7时的变化幅度要大于D为2.3时的变化幅度。

图2　分形维数 D对 的影响

图3　分形粗糙度参数 G *对 的影响

图4　塑性指数 φ对 的影响

(3)如图4所示，给定无量纲接触载荷，无量纲接触热导随φ的增大而增大。

4结论

(1)通过对单一微凸体接触点接触热阻模型的分析，同时引入了弹塑性接触状态，建立了整个结合面的接触热导三维分形模型。

(2)通过对结合面接触热导三维分形模型的仿真计算，得出了部分材料性能参数对固定结合面接触热导的影响规律，从而为探究机床固定结合面热变形问题打下基础。

(3)固定结合面无量纲接触热导随着G*的增大而减小，随着塑性指数φ的增大而增大，随着分形维数D的增大而先增大后减小，随着真实接触面积的增大而增大。

参考文献：

[1]ZHANG XUELIANG.Tangential damping and its dissipation factor models of joint interfaces based on fractal theory with simulations[J].Journal of Tribology，2014，136(1)：4-10.

[2]CHANG W R，ETSION I，BOGY D B.Static friction coefficient model for metallic rough surfaces[J].J Tribol ASME，1988，110(1)：57-63.

[4]JACKSON R L，GREEN I.A finite element study of elastic-plastic hemispherical contact against a rigid flat[J].Journal of Tribology，2005，127(3)：343-354.

[5]CHUNG J C，LIN J F.Variation in fractal properties and Non-Gaussian distributions of microcontact between elastic-plastic rough surfaces with mean surface separation[J].Journal of applied mechanics-transactions，2005，73(1)：143-152.

[6]张学良，王南山，温淑花.机械结合面切向接触阻尼能量耗散弹塑性分形模型[J].机械工程学报，2013，49(12)：43-49.

[7]YAN W，KOMVOPOULOS K.Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces[J].Journal of Applied Physics，1998，84(7)：3617-3624.

[8]LIN L P，LIN J F.An Elastoplastic microasperity contact model for metallic materials[J].ASME J Tribol，2005，127(3)：666-672.

[9]LIN L P，LIN J F.A new method for elastic-plastic contact analysis of a deformable sphere and a rigid flat[J].ASME Journal of Tribology，2005，128(2)：221-229.

[10]WANG S，KOMVOPOULOS K.A fractal theory of the inter facial temperature distribution in the slow sliding regime：Part I Elastic contact and heat transfer analysis[J].Journal of Tribology，1994，116(4)：812-822.

[11]JI CUICUI ，ZHU HUA JIANG Wei.Fractal Prediction Model of Thermal contact conductance of Rough surfaces[J] .Chinese Journal of Mechanical Engineering ，2012 ，26(1)：128-136.

[12]L.C.ROESS.Theory of Spreading Conductance，Appendix A of an report of the Beacon Laboratories of Texas Company[J].Beacon New York，1949，53(6)：346-350.

[13]COOPER M G，MIKIC B B，YOVANOVICH M M.Thermal Contact Conductance：Theoretical Considerations[J]．International Journal of Heat and Mass Transfer，1969，12(3)：279-300.

[14]JIANG SHUYUN，ZHENG YUNJIAN.An analytical model of thermal contact resistance based on the Weierstrass-Mandelbrot fractal function[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part C：Journal of Mechanical Engineering Science，2010，224(4)：959-967.

[15]刘正伦.具可变形貌参数之微接触模型理论研究[D〗.台湾：国立成功大学，2006.

[16]J-M YOU，T-N CHEN.Statistical model for normal and tangential contact parameters of rough surface[J].Mechanical Engineering Science，2010(225)：171-185.

[17]田红亮，钟先友，秦玉玲，等.依据各向异性分形几何理论的固定结合部法向接触力学模型[J].机械工程学报，2013，49(21)：108-122.

[18]田红亮，钟先友，秦玉玲，等.区分弹性与塑性变形的结合面法向校正模型[J].机械工程学报，2014，50(17)：107-123.

Three-dimensional Fractal Model Combined with Surface

Thermal Contact Conductance of Machine Tool

WU Yang，ZHANG Xue-liang，WEN Shu-hua，CHEN Yong-hui，LAN GUO-sheng

(School of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

Abstract：The thermal deformation of the combined surface is one of the main reasons that affect the accuracy of machine tools ，and the research on thermal contact conductance can theoretically explore the underlying causes of the influence of thermal deformation，this paper studies on combined surface based on single-point contact model，and takes into account the elastic-plastic deformation mechanism.The combined surface contact thermal fractal model was established，and the influence of fractal dimension，fractal rough performance scaling parameters such as material parameters on the combined surface thermal contact conductance was got through model simulation.

Key words：three dimensional fractal contact theory，elastic-plastic，thermal contact resistance