胡彬

先让我们来落实一下利用法向量求二面角的大小的思路：如图1所示，n1，n2分别图1是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ=〈n1，n2〉（或π-〈n1，n2〉）.由此，可知要求二面角的大小，须先求法向量n1，n2.

一、正确判断二面角的平面角是锐角还是钝角

例1（2014·杭州模拟）如图2，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC.

（1）求证：PA∥平面QBC；

（2）若PQ⊥平面QBC，求二面角Q-PB-A的余弦值.

解（1）证明：如图3，

过点Q做QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC.

又PA⊥平面ABC，∴QD∥PA. 又QD平面QBC，PA平面QBC，∴PA∥平面QBC.

（2）∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又PB=PC，PQ=PQ，

∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ.

∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，

又AD平面ABC，平面QBC∩平面ABC=BC， ∴AD⊥平面QBC.∴PQ∥AD，AD⊥QD，

∴四边形PADQ是矩形.

如图4所示，

分别以AC，AB，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=2a，则Q（a，a，2a），B（0，2a，0），P（0，0，2a），

设平面QPB的法向量为n=（x，y，z），

∵PQ=（a，a，0），PB=（0，2a，-2a）， ∴ax+ay=0，2ay-2az=0，n1=（1，-1，-1）.

又平面PAB的一个法向量为 =（1，0，0）.

设二面角Q-PB-A的平面角为θ，则|cosθ|=|cos〈m，n〉|=

m·n|m|·|n|=33，

又二面角Q-PB-A是钝角，

∴cosθ=-33，即二面角Q-PB-A的余弦值为-33.

评注利用法向量求二面角时应注意：（1）对于某些平面的法向量要注意已在题中隐含着，不用单独求.

（2）注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.

利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定.由图形知二面角是锐角时cosθ=|n1·n2||n1|·|n2|；由图形知二面角是钝角时，cosθ=-|n1·n2||n1|·|n2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2 的夹角是相等（一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部），还是互补（两个法向量同时指向二面角的内部或外部），这是利用向量求二面角的难点、易错点.

二、正确处理求二面角问题中……