郑一平

（接上期）18. （本小题满分13分） 已知椭圆E：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）过点（0，2），且离心率为e=22.

（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设直线l：x=my-1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，

判断点G（-94，0）与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

命题意图本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.

解题思路方法一：（Ⅰ）由已知得b=2ca=22，a2=b2+c2，解得a=2b=2，c=2

所以椭圆E的方程为x24+y22=1.

（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）.

由x=my-1x24+y22=1得（m2+2）y2-2my-3=0，

所以y1+y2=2mm2+2，y1y2=-3m2+2，从而y0=mm2+2.

所以|GH|2=（x0+94）2+y20=（my0+54）2+y20=（m2+1）y20+52my0+2516.

|AB|24=（x1-x2）2+（y1-y2）24=（m2+1）（y1-y2）24=（m2+1）[（y1+y2）2-4y1y2]4=（m2+1）（y20-y1y2），

故|GH|2-|AB|24=52my0+（m2+1）y1y2+

2516=5m22（m2+2）-3（m2+1）m2+2+2516=17m2+216（m2+2）>0.

所以|GH|>|AB|2，故G（-94，0）在以AB为直径的圆外.

方法二（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则GA=（x1+94，y1），GB=（x2+94，y2）.

由x=my-1x24+y22=1得（m2+2）y2-2my-3=0，所以y1+y2=2mm2+2，y1y2=-3m2+2，

从而GA·GB=（x1+94）（x2+94）+y1y2=（my1+54）（my2+54）+y1y2=（m2+1）y1y2+54m（y1+y2）+2516=5m22（m2+2）-3（m2+1）m2+2+2516=17m2+216（m2+2）>0

所以cos>0，又GA，GB不共线，所以∠AGB为锐角.

故点G（-94，0）在以AB为直径的圆外.

规律总结本解析几何题与往年相比位置前移，难度有所下降.特别涉及的是解析几何常见问题.

本题为中等题，只要掌握椭圆的基本知识、直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何特征，并熟练掌握点与圆的位置关系进行准确计算就可以得到正确结果.方法二利用向量有关知识进行推理、计算也可达到目的.

19.（本小题满分13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图像经如下变换得到：先将g（x）图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移π2个单位长度.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求其图像的对称轴方程；

（Ⅱ）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β.

（ⅰ）求实数m的取值范围；

（ⅱ）证明： cos（α-β）=2m25-1.

命题意图本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思……