党相懿，杨文广，蒋东翔

基于样条曲线的压气机特性内插算法研究

党相懿1,2，杨文广1，蒋东翔1

（1.清华大学热能工程系，北京100084；2.中航工业航空动力控制系统研究所，江苏无锡214063）

针对压气机特性曲线中未知转速数据难以精确计算问题，提出了基于样条曲线的内插算法。在分析压气机性能曲线特点基础上，通过制作压比/效率-流量、流量-转速2组辅助线，并使用样条曲线对其进行拟合，基于拟合结果计算测试转速下的特性数据，进而完成了对某型压气机压比/效率特性的内插计算。结果表明：基于样条曲线的内插算法比RBF神经网络算法准确性更高，并具有良好的工程应用价值。

压气机；性能；样条曲线；内插算法；仿真计算；RBF网络；燃气轮机；热力学模型

0 引言

作为燃气轮机的3大部件之一，压气机的特性对于仿真结果有显著影响。通过试验获取压气机特性费用高昂，且难以获得全部转速下的数据。因此，根据有限的试验数据获得压气机的未知特性数据具有重要意义。压气机特性具有很强的非线性特征，采用传统的线性插值方法难以获得理想的精度，因此许多学者研究压气机特性计算的新算法，如神经网络方法[1-3]、模糊辨识方法[4]、滑动最小二乘法[5]等。神经网络算法对于已知转速线的拟合效果很好，理论上可以达到与试验值无限逼近；但其拟合精度与泛化能力相矛盾，难以在获得良好拟合精度的同时达到良好的插值效果[6]。模糊辨识方法对于压气机特性的拟合精度比神经网络的稍差，并且能否用于未知转速数据的插值计算，以及精度如何等问题还需进一步研究。而滑动最小二乘法算法复杂，计算量较大。样条曲线作为1种非线性方法，其原理简单，计算速度快，且拟合结果能够完全保留样本数据。

本文基于样条曲线的特点，构造了压气机特性图的辅助线并对其拟合、插值，进而完成特性曲线的计算。

1 压气机特性的内插计算

典型的压气机特性曲线如图1所示。它包括压比特性曲线和效率特性曲线2部分，图中数据为相对值[7]。压气机的特性一般表示为

式中：π为压气机压比；η为压气机效率；m˙为压气机流量；n为压气机转速。

图1 压气机特性曲线

在一般情况下，在压气机出厂前会对其进行测试，记录某些转速下的压比、流量和效率等数据。但是这些数据不可能包含所有的转速，因此在工程中需要根据已有的数据推算未知转速下压气机特性[8]。基于试验数据的压气机特性内插计算是指通过已知等转速的数据推算未知等转速线数据，该目标转速值在已知数据转速值的范围内。

从式（1）中可见，特性参数压比和效率都是双变量参数，因此需要进行2次插值计算才能确定。在插值变量的选择上，每个特性参数都有3种方案，即π/η-m˙，m˙-n,π/η-n 的组合。通过分析各类方案的效果，本文选用 π/η-m˙，m˙-n 的插值方式。

基于样条曲线的压气机特性进行计算（图1），该数据包含25条等转速线，相对转速范围为0.3172～1.1623，分别对应转速n1-n25。本文选取n4,n10，n18，作为目标内插等转速线的测试样本，其他转速下的数据作为训练样本。

2 样条曲线

样条曲线是指通过样本节点来确定的光滑曲线，曲线的形状由这些点确定，在节点两边样条曲线段光滑。按照控制点处曲线的连续阶数，样条曲线具有不同的阶次。比如最常用的3次样条曲线，在控制点处第2阶导数连续，即其曲率连续变化。类似的还有斜率连续的2次样条曲线以及更高次的样条曲线。

下面给出3次样条曲线的严格数学定义[9]。

设 1 组数据点 Pi(xi,yi)，i=1,2,3,…,n 且 hi=xi+1-xi＞0,i=2,3,4,…,n。若有y=S(x)满足以下条件：（1）在 Pi(xi,yi)点上有 y=S(xi)；

（2）S(x)在区间[x1,xn]上2阶连续可导；

（3）在每个区间[xi,xi+1]上，S(x)是x不高于3次的多项式。

则S(x)称为过点Pi(xi,yi),i=1,2,3…,n的3次样条函数，由该函数构成的曲线称为3次样条曲线。3次样条曲线的求解方法已非常成熟[10]，本文不再赘述。从定义可知，3次样条曲线拟合数据的本质是通过“分段低次”代替单纯地增加拟合多项式的次数，从而更加适合对非线性曲线进行拟合计算。

分别利用5次多项式和3次样条曲线对同1组数据进行拟合的结果如图2所示。从图中可见，3次样条曲线的拟合效果远好于多项式的。图中“spline”特指3次样条曲线。

图2 多项式与样条曲线拟合效果比较

3 压气机特性内插算法

为了对压气机特性进行内插计算，本文使用了2组辅助线，具体以压比特性计算为例进行说明。

（1）构造辅助线

特性曲线有25条等转速线，每条等转速线上有8个点，形成1个25×8的点阵A。在压比特性图上，依次连接点阵A的每1列就形成8条辅助线，如图3（a）所示。从图中可见，每条辅助线都是1条参数为π,m˙的曲线，这就是进行π-m˙参数拟合的对象。

图3 辅助线

对于m˙-n插值，需要提取各条辅助线上点的流量和转速数据，重新绘制出需要插值的8条曲线，其结果如图 3（b）所示。

（2）m˙-n 插值

分别使用RBF网络和样条曲线对8条m˙-n辅助线进行拟合，得到8个RBF网络和8条样条曲线；将目标转速n4，n10，n18分别代入训练好的网络或样条曲线，得到该目标等转速线与辅助线相交8个点的流量值。

（3）π-m˙插值

分别使用RBF网络和样条曲线对8条π-m˙辅助线进行拟合，然后将（2）中m˙-n插值所得流量值代入该网络或样条曲线中就得到辅助线与该等转速线相交8个点的压比值。

（4）做出压比曲线

根据（2）和（3）获得的流量与压比值，在压比特性曲线图上可以获得8个点，这就是内插得到的目标转速压比特性曲线。其上、下边界分别由第1和第8条辅助线界定。

压气机效率特性的内插与此类似，只需将（3）中的拟合对象替换成η-m˙辅助线即可。

4 结果和分析

按照第3章所述方法，针对图1数据中n4,n10,n18 3条等转速线进行内插计算。RBF网络和3次样条曲线的结果分别如图4、5所示。

图4 RBF神经网络内插结果

3条测试等转速线内插计算的压比结果和效率结果分别如图6、7所示。图中RBF指RBF神经网络，spline指3次样条曲线。图6中RBF网络的n18插值结果看似n17的插值结果，这只是由误差引起的巧合。

图5 3次样条曲线内插结果

图6 等转速线的压比插值结果

图7 等转速线的效率插值结果

表1 等转速线压比特性内插误差

表2 等转速线效率特性内插误差

内插结果均方根误差和平均相对误差见表1、2。表中RMSE为均方根误差，MRE为平均相对误差。

从表中结果可知，3次样条曲线的内插精度要优于RBF神经网络的。这是因为RBF网络要求大量的训练样本，且其准确性和泛化性是1对矛盾。对于本例来说，m˙-n辅助线的训练样本较少，且曲线形态变化大，因此RBF网络难以在准确性和泛化性上都获得满意的结果，插值误差较大，传递到第2次π/η-m˙插值上使整体插值精度下降。而样条曲线对于形态变化较大的曲线拟合效果较好，且受样本数量限制较小，因此具有更好的内插精度。

为了验证这一结论，使用3次样条曲线代替RBF网络对m˙-n 插值，π/η-m˙插值仍使用 RBF 网络，插值结果的平均相对误差见表3。表3显示RBF与样条曲线结合的插值方式相对单一RBF插值，压比结果均更好，且转速越高差别越明显；效率结果低转速n4插值精度稍低，中高转速n10精度相当，n18精度提高。结合图3可知，因为中低转速区m˙-n基本呈线性变化，样条曲线的拟合优势并未显现。

表3 RBF-样条曲线结合方法的平均相对误差

5 结论

（1）基于某型发动机特性数据，构造了 π/η-m˙，m˙-n辅助线，并分别使用RBF神经网络和3次样条曲线插值计算，获得了测试等转速线下的特性曲线。

（2）3次样条曲线内插效果优于RBF神经网络的，其优势在于对m˙-n辅助线的计算。

（3）基于3次样条曲线内插计算压气机特性可以获得较高的精度，对提高燃气轮机仿真精度具有重要意义。

[1]梁磊,徐洪志,安学利,等.航空发动机故障特征仿真研究[J].计算机仿真，2012（4）：15.LIANG Lei，XU Hongzhi，AN Xueli,et al.Faults analysis and simulation for aeroengine[J].Computer Simulation，2012（4）：015.(in Chinese)

[2]赵雄飞，刘永葆，贺星，等.基于统计学检验指标的燃气轮机部件特性方程拟合次数的选择[J].航空发动机，2011，37（5）：7-10.ZHAO Xiongfei，LIU Yongbao，HE Xing，et al.Selection of fitting order times of gas turbine component characteristic equation based on statistics evaluation indexes[J].Aeroengine，2011，37（5）：7-10.(in Chinese)

[3]刘小方,蒋磊,司品顺,等.燃气轮机压气机特性曲线的拟合方法[J].舰船科学技术，2012 34（7）:61-63.LIU Xiaofang，JIANGLei，SIPinshun，et al.Research on curve fitting method of compressor characteristic curve[J].Ship Science and Technology，2012，34（7）：61-63.(in Chinese)

[4]王志涛，李淑英，谭智勇.基于BP和RBF神经网络压气机特性曲线拟合方法的研究[J].汽轮机技术，2009，51（2）：94-99.WANG Zhitao,LI Shuying,TAN Zhiyong.Comparing study on the fitting method of compressor characteristic curve based on BP and RBF neural network[J].Turbine Technology,2009，51（2）：94-99.(in Chinese)

[5]彭靖波,谢寿生.基于RBF神经网络的压气机特性仿真[J].推进技术，2006，27（1）：30-32.PENG Jingbo,XIE Shousheng.Compressor characteristic simulation based on RBF neural network[J].Journal of Propulsion Technology，2006，27（1）：30-32.(in Chinese)

[6]Ghorbanian K,Gholamrezaei M.An artificial neural network approach to compressor performance prediction[J].Applied Energy，2009，86（7）:1210-1221.

[7]蒋爱武，谢寿生.基于支持向量机和粒子群算法的压气机特性计算[J].航空动力学报，2010（11）：2571-2577.JIANG Aiwu,XIE Shousheng.Method to achieving compressor characteristics based on support vector machine(SVM)and particle swarm optimization(PSO)[J].Journal of Aerospace Power，2010（11）：2571-2577.(in Chinese)

[8]唐丽丽，王广军.压气机特性的模糊辨识[J].计算机仿真，2009，26（1）：70.TANG Lili，WANG Guangjun.Fuzzy identification of air compressor characteristics[J].Computer Simulation，2009，26（1）：70.(in Chinese)

[9]杨欣毅，沈伟，刘海峰，等.一种应用滑动最小二乘求取压气机特性的方法[J].航空动力学报，2009，24（8）:1741-1746.YANG Xinyi,SHEN Wei,LIU Haifeng,et al.Compressor characteristics generation method using moving least square[J].Journal of Aerospace Power，2009，24（8）:1741-1746.(in Chinese)

[10]李祚泳，易勇鸷.BP网络学习能力与泛化能力之间的定量关系式[J].电子学报，2003，31（9）：1341-1344.LI Zuoyong，YI Yongzhi.Quantitative relation between learning ability and generalization ability of BP neural network[J].Acta Electronica Sinica，2003，31（9）：1341-1344.(in Chinese)

[11]郭云，吴松强.三次样条曲线拟合的算法及实现[J].计算机应用研究，1996，13（6）：41-42.GUO Yun，WU Songqiang.Algorithm and realization of cubic spline curve fitting[J].，1996，13（6）：41-42.(in Chinese)

[12]骆广琦，桑增产，王如根，等.航空燃气涡轮发动机数值仿真[M].北京：国防工业出版社，2007：182-183.LUO Guangqi，SANG Zengchan，WANG Rugen，et al.Numerical methods for aviation gas turbine engine simulation [M].Beijing：National Defense Industry Press，2007：182-183.(in Chinese)

[13]Kong C，Ki J.Components map generation of gas turbine engine using genetic algorithms and engine performance deck data[J].Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2007，129（2）：312-317.

[14]柏庆昆.一般的三次参数样条曲线的几何连续性及其插值方法[D].长春：东北师范大学，2006.BAI Qingkun.The geometry continuity and interpolation method of general cubic parametric spline curves[D].Changchun：Northeast Normal University，2006.(in Chinese)

[15]陈文略，王子羊.三次样条插值在工程拟合中的应用[J].华中师范大学学报：自然科学版，2004，38（4）：418-422.CHEN Wenlve，WANG Ziyang.The application of cubic splines interpolation in the project fitting[J].Journal of Central China Normal University ：Natural Sciences，2004，38（4）：418-422.(in Chinese)

Interpolation Algorithm of Compressor Characteristics Based on Spline

DANG Xiang-yi,YANG Wen-guang,JIANG Dong-xiang
（1.Department of Thermal Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China,2.AVIC Aeroengine Control Institute,Wuxi Jiangsu 214063,China）

Consideringtheunknownrotatingspeed dataof compressor characteristicswerenoteasy tocalculateaccurately,ainterpolation algorithmbased on splinewas presented.The splinecurveswereused to fit the auxiliary lines of compression ratio/efficiency to massflow and massflow to rotating speed based on analysis of the compressor characteristics.Thecharacteristicsdata were calculated at test speed based on the spline-fitting results.The interpolation algorithm of pressure ratio/efficiency characteristics of a compressor were completed.The results showthatthealgorithmismoreaccurate,and hasbetter engineeringapplication valuethan an algorithmbased on RBFnetwork.

compressor;performance;spline;interpolation algorithm;simulation calculation;RBF network;gas turbine;thermodynamic model

V235.11+3

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2015.01.004

2014-03-13 基金项目：国家自然科学基金（60979014）资助

党相懿（1990），男，在读硕士研究生，研究方向为燃气轮机/航空发动机故障诊断；E-mail：dangxiangyi110@sina.com。

党相懿，杨文广，蒋东翔.基于样条曲线的压气机特性内插算法研究[J].航空发动机，2015，41（1）：22-26.DANGXiangyi,YANGWenguang,JIANGDongxiang.Interpolation algorithmof compressor characteristicsbased on spline[J].Aeroengine，2015，41(1)：22-26.

（编辑：沈广祥）