王继成

（绥化学院信息工程学院 黑龙江绥化 152061）

Caughley[1]（1976）提出，如果食植性昆虫在进行取食过程中，彼此之间存在着相互干扰现象时，其数学模型为

其中x为寄主植物种群数量，y为植食性昆虫种群数量；D为在寄主植物低密度下与取食效应的反比，k为未被昆虫取食的最大的植物密度，r1,r2分别为植物与植食性昆虫的内禀增长率，c1为每头植食性昆虫的最大取食率，c2为维持植食性昆虫在平衡时所需植物数量的比例常数，各参数均为正数。

R=｛（x,y）|x＞0,y叟0｝，R+={（x,y）|x＞0,y＞0}

一、平衡点的分析

显见系统（2）除O(0,0)外，还有平衡点A(k,0)，但O(0,0)不是系统（1）的奇点，令P(x,y)=0，Q(x,y)=0得方程组

因△=[ck-r(k-D)]2+△r2kD＞0，所以方程（3）有两相异实根，其

于是得到系统（2）的唯一正平衡点E(x*,y*)，其中y*=cx*

在点A(k,0)的线性近似方程的系数行列式

因此，A(k,0)是鞍点。

对于平衡点E(x*,y*)，有

二、全局稳定性

因此，平衡点E(x*,y*)是非鞍点，

引理2 当r(k+D)2叟2ck(k-D)时，平衡点E*(x*,y*)是稳定焦结点。

引理3[3]若k-r(k-D)叟0，则E(x*,y*)是稳定焦结点.

证 当k-r(k-D)叟0时，有h(x)＞0，进而h(x*)＞0，故Tr(E)＞0

引理4 设k-r(k-D)＜0，则

（1）如果[k-r(k-D)]2＜8rkD，那么E(x*,y*)是稳定焦结点；

（2）如果[k-r(k-D)]2=8rkD，那么E(x*,y*)或者是稳定焦结点，或者是中心；

（3）如果[k-r(k-D)]2＞8rkD，那么存在正数α 和β(α＜β)易知β＜

（i）当x*＜α 或x*＞β 时，E(x*,y*)是稳定焦结点；（ii）当α＜x*＜β 时，E(x*,y*)是不稳定焦结点；（iii）当α=x*或β=x*时，E(x*,y*)是中心。

证 依据条件和（5）式易知。

定理1 如果r(k+D)2＞2ck(k-D)，那么正平衡点E(x*,y*)全局渐近稳定。

证 由条件及引理2知E(x*,y*)为稳定焦结点。

作Lipunov函数

显然V(x，y)在E*(x*,y*)的邻域内正交，且V(x*，y*)＝0

图1

由r(k+D)2＞2ck(k-D)，知x*＞，而在x*的邻域内M(x)严格减少，如图1所示，所以)(M(x)-M(x*))＜0，因此，当(x,y)≠(x*,y*)，V＜0，据Lasalle定理知E(x*,y*)为全局渐近稳定的。

三、极限环的存在性

定理2[4]在x＞内，系统（2）不存在极限环

证 取Dullac函数B(x,y)=x-2y-1，则当x＞时有

定理3 设k-r(k-D)＜0，[k-r(k-D)]2＞8rkD，如果α＜x*＜β，那么系统（2）绕E*(x*,y*)至少存在一个稳定的极限环。

证 据定理的条件及引理4，知E为不稳定焦结点。现在构造E的外境界线如图2所示。

图2

对于直线LAB:x-k=0，有

因此，LAB是无切直线且系统（2）的轨线通过LAB的方向是从右向左。

所以LBC也是无切直线且系统（2）的轨线通过LBC的方向是从上向下。

我们对系统（2），即

作平移变换X=x-x*,Y=y-y*，则（2）变为

其中f0(X)=(X+x*)2[M(X+x*)-cx*]，f1(X)=(X+x*)2

令X=X，ξ=f0(X)-f1(X)Y，则（3）变为

我们只须在-x*＜x＜k-x*内讨论。

图3

2°显然V是严格增加的。

由引理4知，当α＜x*＜β 时，准1(0)＜0，所以f(0)＜0。

证 见参考文献[2]的定理7.4及参考文献[3]的注释，可知定理成立。

[1]丁岩钦.昆虫种群数学生态学原理与应用[M].北京：科学出版社，1980.

[2]张芷芬.微分方程定性理论[M].北京：科学出版社，2003.

[3]李家成.一个植物——食植者系统模型的定性分析[J].华中师范大学学报，1991(1).

[4]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2002.