刘杰平 方杰 韦岗

（华南理工大学 电子与信息学院， 广东 广州510640）

压缩感知（CS）理论表明：只要信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的，就可以用一个与变换基不相干的观测矩阵，将变换所得高维信号投影到一个低维空间，然后通过求解优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号［1-3］.在图像CS系统中，图像的稀疏表示、采样率和重构算法是影响重构图像质量的重要因素，为了提高图像CS 系统的性能，众多学者已提出了许多的重构算法，如基追踪（BP）算法［4］、正交匹配追踪（OMP）算法［5］、梯度下降法（GPSR）［6］、全变差（TV）算法［7］、基于贝叶斯框架的图像重建算法［8-10］、迭代硬 阈值算法［11］.其中有些算法将整幅图像作为一个整体，故存在重构过程计算复杂度较高、随机观测矩阵存储量庞大、重构图像质量不高等问题，使得这些算法很难在实际中应用.为此，文献［12］中将整幅图像分成多个块，基于块进行采样和重构的方法降低了计算复杂度，并引入了有平滑作用的维纳滤波器以消除图像分块带来的块效应；文献［13］中运用分块的思想来解决计算复杂度高等问题，结合基于投影的Landweber（SPL）重构算法［14］，提出了基于分块的压缩感知平滑投影Landweber（BCS-SPL）重构算法，与其他传统算法相比，BCS-SPL 算法在图像重建质量和速度上均具有优势；在BCS-SPL 重构算法的基础上，文献［15］中提出了离散小波变换（DWT）的多尺度变采样率的BCS-SPL（MS-BCS-SPL）重构算法；文献［16］中将BCS-SPL 算法用于视频帧重构，取得了不错的重构效果.图像的稀疏表示是影响图像重构质量的关键因素之一，合适的图像稀疏表示方式能保证图像的重构质量，通常采用二维正交小波基进行图像稀疏表示，但正交小波基不是图像稀疏表示的最优基，因为它不能有效地表示自然图像中轮廓、纹理等高维几何特征.有鉴于此，文中采用DCT 变换进行图像稀疏表示，在DCT 变换域中通过DCT 系数分频带变采样率的随机矩阵实现随机观测，结合平滑投影Landweber 重构算法，提出了基于DCT 分频带压缩感知的平滑投影Landweber（DCT-BCS-SPL）重构算法，并通过实验验证该算法重构图像的质量.

1 SPL 重构算法及分块CS

1.1 SPL 重构算法

文献［12］中将维纳滤波与投影Landweber 算法结合起来，在变换域中进行迭代阈值处理.该算法包括维纳滤波、两次投影Landweber 和阈值去噪，需要先初始化X（0）=ΦTY，其中Φ 为随机观测矩阵.若用表示稀疏变换、Threshold（·）表示硬阈值去噪，则SPL 重构算法的伪代码如下：

1.2 BCS-SPL 重构算法

BCS-SPL 重构算法［13］运用了分块的思想，将大小为N（N=IC×IR，IC、IR分别为行、列的像素个数）的图像X 分成n 个大小为B×B 的非重叠块，n=N/B2.设每块按照Z 字形扫描构成一列向量，第j 块的列向量记为Xj（j=1，2，…，n），则

式中，ΦB是独立同分布、MB×B2的随机高斯观测矩阵，采样率s=MB/B2（0＜s＜1）.初始化X（0）=ΦTBY 后，每个图像块采用SPL 算法进行重构.

在BCS-SPL 重构算法中，每个图像块的采样率相同，既没有考虑各个图像块的边缘和纹理复杂度的区别，也没有考虑感兴趣区域对重构图像的重要性，故该算法的重构图像质量不高.

图像分块采样和重构的优势在于：编码端不必测量整幅图像后再发送观测数据，可以逐块测量逐块发送，这有利于一些实时应用；因分块尺寸较小，故块的观测矩阵ΦB的存储量低且测量速度快；可以使用最小均方误差准则估计出较好的初始图像，从而加速重构过程.

2 DCT-BCS-SPL 重构算法

2.1 DCT 分频带采样技术

将大小为N（N=IC×IR）的图像X 分成n（n=N/B2）个大小为B×B 的非重叠块后，分别对图像块进行DCT 变换，每块有B2个DCT 系数，对DCT 系数进行Z 字形扫描，构成一个行向量，再由这n 个行向量构成一个DCT 系数矩阵D，矩阵D 的每一列dj（j=1，2，…，B2）对应着不同子块中处于同一频带的DCT 系数，dj称为一个DCT 频带.

因DCT 变换具有较好的能量集中特性，图像块经DCT 变换后，DCT 系数中非零部分主要集中在左上角，即在j 较小的DCT 频带dj中集中了不等于0 的系数，因此不同频带对图像重构具有不同的重要性，采样时可根据频带对图像重构的重要性分配不同的采样率：为j 较小的频带dj分配较大的采样率；为j 较大的频带dj分配较小的采样率.这种变采样率分配方式重构图像的效果将比平均分配采样率方式好.文中将这种采样率分配技术称为基于扫描的变采样率算法.

上述变采样率算法是基于非零DCT 系数集中程度按照Z 字形扫描顺序递减的，而实际情况不完全是这样.为此，文中提出了基于能量排序DCT 频带的采样率分配算法，该算法的具体步骤如下：

（1）按照Z 字形扫描DCT 系数的方式构成DCT 系数矩阵D 和频带dj；

（2）计算频带能量ej，

式中，dij（i=1，2，…，n）为频带dj中的DCT 系数；

（3）对ej按照从大到小进行排序，使其满足

（4）根据ej调整频带dj的顺序为dej（j=1，2，…，B2），即随着j 的增大，频带的能量减小，构造一个基于能量排序的DCT 系数矩阵De；

（5）根据矩阵De分配采样率；

（6）Yj=ΦBjdej.

分配采样率时，按照j 从小到大的顺序将DCT系数矩阵De或D 的频带dj分成b1、b2、b3三类，各类频带包含的频带数分别为m1、m2、m3，且满足m1+m2+m3=B2，各类频带的采样率分别为s1、s2、s3，设总采样率为s，则3 类频带采样率分配应满足

b1类频带对重构图像质量的影响最大，b3类频带对重构图像质量几乎没有影响，b2类频带对重构图像质量有一些影响.因此，各类频带采样率的分配应该遵循s1＞s2＞s3，根据DCT 系数分布的特点，文中后续的仿真实验中将3 类频带的采样率设为s1=1.0、s2=0.5、s3=0，s1、s2、s3的大小对重构图像质量的影响通过控制各类频带包含的频带数来实现.

将512×512 图像分成大小为32×32 的不重叠块，对应不同的总采样率s，b1类频带数设为m1=1 000×s×0.8 时，多幅图像的仿真实验都取得了较好的重构效果.将m1代入式（4）计算得到3 类频带相应的频带数，如表1所示.那么Yj=ΦBjdj，其中ΦBj是独立同分布、（nSj）×n 的随机高斯观测矩阵，Sj（j=1，2，…，B2）是dj的采样率.

表1 不同采样率下3 类频带的频带数Table1 Band numbers of three kinds of bandswithdifferent samplingrates

2.2 重构算法

图像稀疏表示是影响图像重构质量的关键因素之一，合适的图像稀疏表示方式能保证图像的重构质量，有关压缩感知的文献中通常采用二维正交小波基进行图像稀疏表示，小波变换的低频带集中了图像的能量，高频带反映图像的轮廓，但去相关效果和能量集中性能在一定程度上不如DCT.因此，文中的图像稀疏表示采用DCT 变换，为不同的DCT 频带分配不同的采样率.DCT-BCS-SPL 算法中分块大小是固定的，但采样率根据频带可灵活分配.DCT-BCS-SPL 算法中，首先对图像进行分块DCT 变换，再采用基于能量排序DCT 频带的采样率分配算法，然后计算观测值Yj=ΦBjdj，初始化=ΦBTjYj后，对每个频带采用SPL 算法进行重构.DCT-BCS-SPL 算法的伪代码如下：

3 实验结果及分析

为了验证文中算法的性能，分别采用MS-BCSSPL［15］、BCS-SPL 重构算法［13］、基于扫描的变采样率重构算法（DCTS-BCS-SPL）与文中提出的DCT-BCSSPL 重构算法进行对比实验.实验将大小为512×512 的Lena、Peppers、Goldhill、Barbara 和Baboon 灰度图像分成不重叠的大小为32×32 的块.各算法中包含的SPL 算法的稀疏基Ψ 均采用双树离散小波变换（DDWT）.用峰值信噪比（PSNR）作为衡量重构图像质量的客观指标，由于重构算法中观测矩阵的随机性，文中实验结果的PSNR 是5 次重构的平均值.

图1给出了4 种重构算法在不同采样率情况下重构图像的客观质量比较，从图中可以看出，在各采样率下文中算法的PSNR 均优于DCTS-BCSSPL、MS-BCS-SPL 和BCS-SPL 算法，且采样率越大，文中算法的重构效果越明显.对比文中算法的基于扫描和基于能量排序的两种采样率分配方式，在各种采样率下，基于能量排序的采样率分配方式重构图像的PSNR 均高于基于扫描的采样率分配方式.表2给出了5 幅图像重构结果的平均PSNR，从表中可知，文中算法的平均PSNR 最高，以Lena 图像为例，文中算法的平均PSNR 比BCS-SPL、MS-BCSSPL 和DCTS-BCS-SPL 重构算法分别高4.70、1.66和0.72dB.

在主观质量方面，文中算法也具有明显的改善效果，采样率为0.2 时不同算法重构Baboon 图像（Baboon 是细节较多的图像）的实验结果如图2所示，在细节边缘部分（鼻子和胡须旁边）可以看到不同算法重构结果的差异.总之，文中算法的主、客观效果均最好，其原因是文中算法充分考虑了图像经DCT 变换后能量集中的特性，根据频带能量排序分配采样率，可以更充分地利用数据资源，保留了更多重构图像时所需的信息，尤其是对于细节较多的图像，文中算法相对其他算法保留了更多的高频信息，重构图像的主客观质量更好.

图1 不同采样率下4 种重构算法的PSNRFig.1 PSNR of four reconstruction algorithms at different sampling rates

表2 不同重构算法的平均PSNRTable2 Mean PSNR of different reconstruction algorithms

图2 采样率为0.2 时4 种算法重构Baboon 图像的结果Fig.2 Reconstruction results by using four algorithms for Baboon image at sampling rate of 0.2

用算法的重构时间来衡量算法的复杂度，采样率为0.3 时各种算法重构图像所用的时间（20 次重构耗时的平均值）见表3.从表中可知：BCS-SPL 算法的重构时间最长；文中算法与MS-BCS-SPL 算法相比，重构耗时对不同的图像各有优势；对于细节较多的Baboon 图像，文中算法的重构耗时较少，比MS-BCS-SPL 重构算法节省了0.76 s，这是因为细节对应图像的高频部分，MS-BCS-SPL 重构算法为高频部分分配了较小的采样率，丢失了较多的高频信息，初始化准确度不高，重构所需时间较长.

表3 采样率为0.3 时3 种算法的平均重构时间Table3 Mean reconstruction time of three algorithms at sampling rate of 0.3

4 结论

根据DCT 变换的能量集中特性，文中采用分频带采样方法，提出了一种基于DCT 的分频带压缩感知的平滑投影Landweber 重构算法.首先对图像进行DCT 分块，将不同块中处于同一空间位置的DCT 系数组成一个频带，按照频带能量大小分配采样率，图像的采样通过分频带变采样率的随机矩阵实现,图像的重构结合平滑滤波器由投影Landweber 算法实现.由于BCS-SPL 重构算法中，每个图像块的采样率相同，既没有考虑各个图像块的边缘和纹理复杂度的差异，也没有考虑感兴趣区域对重构图像的重要性，故算法的重构图像质量不高.MS-BCS-SPL 重构算法考虑了不同小波系数对重构图像质量的影响，对不同DWT 分解级子带分配不同的采用率，故比BCS-SPL 重构算法更好地利用了DWT 的多分辨率和多尺度特性.DCT 比DWT 具有更好的能量特性，且文中算法根据DCT 系数频带的能量大小进行采样，其采样结果能更好地表示图像信息，因此，文中算法重构图像的质量更好，且需要的数据量更少.实验结果显示，文中算法重构的图像质量相对于BCS-SPL 算法提高了约3.13～5.19 dB，相对于MS-BCS-SPL 算法提高了约1.45～4.63 dB.

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