牛德智，陈长兴*，徐浩翔，李永宾，王卓，陈强

(1.空军工程大学 理学院，西安710051;2.空军工程大学 装备管理与安全工程学院，西安710051)

在信息化战争条件下，航空武器系统越来越倚靠于高效可靠的通信手段来保障其性能发挥.数据链的出现，实现了战场态势共享、精确指挥控制和武器协同打击的无缝链接［1－2］，成为武器装备的生命线.另外，衡量航空武器系统整体的作战效能［3－5］，对于科学研判和有效分析系统的整体性能，具有重要的现实意义.从系统融合的角度出发［6］，将效能评估和作战应用衔接起来构成环路，是研究现代空战规律的必然要求，掌握空战变化的内部规律，无疑会使得整个空战的安排部署和指挥决策更加合理和高效.

在现有针对航空作战的研究中，主要集中在两方面［7－9］:一种是不同想定场景不同衍化规律下的作战双方数量变化情况，这种研究一般战场信息交互作用(数据链)考虑得少，也未针对不同武器系统的作战效能如何体现;另一种是停留在仅从顶层设计作战流程或过程的框架结构上，考虑的因素和方面很广但是难以有效聚合起来，形成量化或程式的部署和决策准则.对于航空作战这样一个体系复杂的系统过程，需要通过全要素分析形成具有相互关联的输入输出网络关系，从而将“作战—评估—运用”的环路有效连接起来，以期实现作战效果的最优化.文献［10］用多目标整数规划的方法研究了数据包络分析(DEA)效能评估中的权重问题，但是该方法实现起来具有一定的时间复杂度，且权重法获得的效能本身主观性就较大.文献［11］分析了数据链对发现概率、击毁概率的影响，并将这种影响体现到双方参战或退出战斗飞机的数量中来，这实现了数据链与作战过程的联系，但是它主要侧重于从不同作战单元的打击概率等描述整体的作战能力，未能给出整个战斗过程的兵力变化规律.文献［12］考虑信息因素对作战的影响，在蓝彻斯特方程中引入了具有交互功能的战场感知系数，进而将其作用到交战过程中的兵力变化，具有一定的借鉴意义，但是未能结合不同对象的作战效能大小进行研究.在蓝彻斯特方程运用方面，文献［13］研究了基于蓝彻斯特方程的兵力增援优化控制问题，文献［14］利用蓝彻斯特方程和微分对策研究了最优火力分配的优化对策问题，给出了作战对策的最优性条件和求解方法.

本文的出发点在作战环路内讨论双方力量构成的变化规律.通过将效能评估的结果转化为表征作战效率的平均战斗力水平，据此建立兵力变化数学模型，并主要对不同增援模式下的战斗结果进行分析评价，确定了实际中应采用的增援作战形式.

1 飞机作战效能

在对作战飞机进行效能评估时，可以采用计算空战能力指数的方法来衡量.该方法选用有关空战的7个主要项目来衡量飞机的空对空作战能力［15］，并将空战能力指数表示为

其中，I为空战能力指数;A1～A3分别为火力、机动性、探测目标能力参数;ξ1～ξ4分别为生存力、电子对抗能力、航程、飞行员操纵效能系数.空战能力指数一般远大于1.空战能力指数定量体现了战机的作战能力，在针对空战对抗建模时需要将其转化成单机对单机的毁伤效率(或毁伤能力)，这就是平均战斗力水平.

为此，作如式(2)的变换，将空战能力指数I变换为在区间(0，1)上的平均战斗力水平γ(其中k为一正比例调节因子，引入它是防止变换所得的γ在数值上过于集中).

此处说明，γ的物理意义就是空战对抗时我方单机对敌方单机(或敌方单机对我方单机)的毁伤效率.容易证明γ和I具有变化的一致性，即γ在保证空战能力指数特性的情况下，可以用来作为平均战斗力水平.

2 空战力量对比的建模分析

2.1 数据链体制下的动态力量变化微分模型

在对作战兵力变化规律的研究中，蓝彻斯特方程［16］可以反映兵力编成和装备特性因素的变化结果，适用于多种类型作战模拟.本文的分析将以蓝彻斯特方程为基础，并以此对不同场景下的兵力变化过程进行建模及仿真.此处给出蓝彻斯特平方律方程的表达式为

式中，R和B分别为红、蓝军在时刻t的战机数量;α和β分别为蓝、红军每个战机的平均战斗力水平，其求解可通过式(1)～式(2)来实现.用式(3)描述的模型为双方均采用单一机型对抗时的双方数量变化情况，若双方作战投入的是不同数量的多机型战机，则相应的双方数量变化模型为

该模型中，蓝、红军分别投入J种、L种机型，相应的Bj和Rl表示不同机型的数量;αj，l表示蓝军第j种机型对红军第l种机型的平均战斗力水平;βl，j的意义类似.需要说明的是，多机型对抗时，每种机型对敌方的某一机型的空战能力指数I都是不同的，因为I受7个不同参数的控制，而这些参数都是与参与作战的双方机型相关的，这样就会有不同的平均战斗力水平 αj，l和 βl，j.

在实际中，若要对多机型的情况进行分析，则应在式(4)的基础上进行相关公式的变化.在下文中，为了说明空战对抗的建模方法及求解过程，以及说明不同增援模式的性能优劣结论，仍以双方为单机型对抗的情况进行分析.对式(3)求其状态解可得(B0和R0分别表示双方的初始数量):

考虑红军(或蓝军)装备数据链时的双方对抗中的战机数量变化情况.数据链由于具有态势共享和武器协同等优势，可以显著提高飞机的空战能力，所以在考虑数据链时若其对红军战斗力水平的提升率为λ，则红军的平均战斗力水平变为β(1+λ)，对于未装备数据链的蓝军，其战机的平均战斗力水平改变为α(1－λ)，于是可建立数据链体制下双方力量动态变化的数学模型为

若双方均采用数据链，需定义相对提升率并将其运用到上式中，给出相对提升率为

由该定义式可知，λr可正可负，为正时双方数据链的综合作用是红军战斗力水平得到提高，反之为负时蓝军得到提高.事实上，引入数据链的战机，由于具有了态势共享功能，在某种程度上说它可使战机具有先敌发现和远距离打击的优势.对应到空战能力指数的相关参数中，其可以影响探测目标能力和电子对抗能力等［17－18］，进而提升战机的空战能力.数据链对战机作战能力的影响，体现到模型中就是其影响了平均战斗力水平，故本文采用一个对平均战斗力具有综合作用的提升率修改空战对抗的数学模型，该提升率的大小与雷达搜索方位角、雷达探测距离、协同作战时的机间距离等因素有关.

进一步，在有增援时，可建立该情形下的空战模型为

式中，μ1(t)和μ2(t)为双方的增援率;t1和t2为增援开始的时刻;ε(t)为阶跃函数，用它来表示只有当增援时间开始时，增援力量才能加入.

2.2 模型离散化和数值计算方法

借助相关软件求解微分方程组的方法不易分析变量的变化规律，尤其本文考虑增援的情况下不易在求解中体现不同增援时刻的影响，故应设计合理的数值求解方法.将式(3)中的第1个方程进行离散处理，得其差分形式为

在式(9)中，Δt为一较小的时间步长，其选取原则是，可维持原微分方程中变量的变化规律.在对时间进行离散化处理时，依次令 t=0，Δt，2Δt，…，nΔt(n表示总战斗回合数，即每个战斗回合双方均有对抗攻击，但该回合内并不能完全摧毁对方)，并记 RnΔt为 Rn，则式(9)化为

接下来，需确定如何选取合适的 Δt.文献［12］中也对蓝彻斯特方程进行了差分处理，但其实质是直接令Δt=1，这样处理获得的数据具有片面性，并未能完全体现出变量的变化规律，也不利于通过数据变化研究作战规律.为此，写出式(10)的完整形式:

将上式中的n个等式进行相加，得

若考虑蓝军失败，则 Bn－1=0，这样可将 Bn－1的变化规律近似用等差数列来描述，相应的式(12)简化为

由上式可求

在式(5)中，若蓝军失败则有B=0，于是

这样综合式(14)和式(15)就可以求得时间步长Δt(实际计算时所取的时间步长应小于或等于该值).另外，若红军失败，则相应的时间步长为

得到Δt后，则与模型式(6)对应的离散模型为

若考虑增援以上模型需修改为

式中 m1，m2=0，1，2，…为整数，表示增援开始时刻.战斗结束时(n=N)获胜方(如红军)共增援飞机数为 Rs=μ1·Δt·(N －nm1+1)，损失数为Rd=R0+Rs－RN.

2.3 增援作战时的模型分类

为了研究不同增援模式对空战双方兵力变化及战斗结果的影响，考虑具有恒定和变化增援率的战斗力量加入到双方对抗的数学模型中，研究的目的在于给出在有限增援数量(可采取恒定或变化增援率的方案对作战主体进行增援)或者增援数量不足需要补充增援(以变化增援率的方案对作战主体进行增援，又可将其分为匀加速增援和匀减速增援)的情况下，哪种增援方式能够使得获胜方损失的战斗数量少，同时所要求的增援总数不是很多.这样，给出3种增援模式(匀速、匀加速、匀减速)下增援数量的变化规律为

式中，c为匀速增援的速率;c1和c2分别为变速增援时的起始速率.考虑匀速增援的总数为F，持续时间为 t，则，可得t=F/c.若在匀加速增援时维持相同的增援时间和总数，并且保持增援速率v一定，则可由求得初始时刻的增援速率为c1=(2F－vt2)/(2t).类似地，可由求得c2=(2F+vt2)/(2t).

在确定了匀加速和匀减速的初始增援速率值以后，3种增援模式的离散变化规律可以表示成

为简化问题起见，仅考虑红军有增援的情形，将式(20)代入到式(18)中，可得具有变速率增援的双方力量动态变化模型为

在式(5)、式(15)和式(21)中，考虑的都是增援一旦实施，就维持到战斗结束直至一方获胜.特别地，考虑匀速增援时的两种特例，即匀速率增援至某一时间后停止增援、一次性增援一定数量的飞机后不再增援，其相应的数学模型如下.

匀速增援维持一段时间:

上式表示的含义为增援在［nm1，nm′1］(即时间范围为［m1Δt，m′1Δt］)内起作用.

一次性增援:

其中δ(n)表示冲激函数，用来说明一次性增援量M只在nm1时刻加入.

3 仿真实验分析

设定参数为:红、蓝军所用的机型为F－14A和F－15E，数量分别为10和15架.此处机型的选取只是为了将本文所建模型加以运用，并按照一组选定的机型作战给出不同增援方式的优劣结论，所以并未选择具有实际对立方或假想敌之间所采用的机型，如美制和俄制战机等，若多机型对抗时则采用相应的多机型战机数量变化模型进行仿真，特此说明.根据式(1)可计算得二者的空战能力指数为13.4和19.8(文献［17］)，采用本文的平均战斗力水平转化方法，分别求得β=0.58和α=0.7(取k为1/10).该组参数下红军的整体实力较弱，考虑其引入数据链会使平均战斗力水平提升25%，即λ=0.25.如前文所述，λ的数值与雷达搜索方位角、探测距离以及协同作战时的机间距离等有关，若结合“数据链为武器效能倍增器”的性能描述，则取λ=0.33较为合适，因为此时(1+λ)/(1－λ)=2，即战斗力提高1倍.另外在文献［17］所做的仿真实验中也指出，使用数据链一方相比未使用数据链一方的战斗力强出约30%.在这些参数下研究双方作战的力量变化较为符合实际，但是经本文算例实验得知，若λ较大时，会造成不同情况下双方兵力数量变化的曲线维持时间较短，也不利于描述不同情况下的曲线性能差别所在，故文中设定了λ=0.25.

3.1 匀速增援时不同起始时间下的动态损耗关系

设定c=2.0.为使模型演化过程中的数据变化符合连续系统微分方程中的规律，以式(16)求解的离散时间间隔为上限约束，取离散计算仿真时的 Δt=0.025.通过式(9)、式(17)和式(18)，仿真3种条件(原始实力下双方作战、红军仅引入数据链双方作战、红军同时拥有数据链和匀速增援力量双方作战)下双方的动态损耗(动态变化)如图1所示.

图1 3种状态下的双方动态损耗Fig.1 Dynamic exhaustion under three statuses

图1的纵坐标表示飞机数量，横坐标描述的战斗进程表示广义的时间单位(仅表示时间的数字大小)，实际时间大小在微分方程模型中的时间量度给定以后可确定，在下文的仿真图像中亦如此.由图可知，原条件下的红军实力较弱最后失败(数量为0即失败).在引入数据链后，战斗进程延长，红军在得到增援力量后取得战斗胜利.

进一步讨论匀速增援时红军有效的增援时间范围.分别取m1=0，6和12，可得双方兵力变化的动态损耗曲线如图2所示.

图2 红军不同增援时刻时双方的动态损耗图Fig.2 Dynamic exhaustion in different reinforcement time from Red

可以看出当m1=12时，增援太晚红军仍为失败(飞机数为0时不再增援).由此可知，匀速增援时存在一个时间分界点，在此之前实施增援，可改变战局;反之不能.在文中仿真参数下，最终得到有效增援起始的时刻范围为［0，11］.在该范围内，让m1按步进量为1进行取值，其他参数保持不变，可得双方动态损耗曲线如图3所示.

图3 有效增援起始范围内不同时刻时的动态损耗Fig.3 Dynamic exhaustion at different time among effective reinforcement beginning range

由图3可知，增援实施时间越晚，空战进程时间越长，红军胜利时剩余的飞机数越少.这说明，一定速率下的匀速增援，实施时间越早获胜时的剩余战斗数量越多.

3.2 3种匀速增援状态时的动态损耗关系

设定的3种匀速增援状态分别为:从0时刻(m1=0)开始一直匀速增援至胜利，从0时刻匀速增援至时刻m′1，在0时刻一次性增援M数量(匀速增援的特例)的飞机加入战斗.参数设置仍同本节开始时的参数.通过仿真实验可以确定，在一段时间匀速增援时保证红军获得胜利的最小时刻为m′1=130，同样的保证红军获胜的一次性增援数量最小值M=4.绘制原始状态下作战和3种匀速增援模式时的动态损耗曲线如图4所示.

图4 3种匀速增援模式时的动态损耗关系Fig.4 Dynamic exhaustion curve of three constant velocity reinforcement mode

分析图4中的规律可知，一次性增援方案可以使得战斗结束时间提前，一段时间区间上的匀速增援方案战斗结束时间最晚，且获胜时剩余飞机数量最少.

3.3 变速增援时的动态损耗关系

设定式(20)中的v=0.5，由前面实验的仿真结果知，对于从0时刻开始增援直至战斗胜利的匀速增援模式，有t=4.525，F=9.1，据此计算得到c1=0.8798，c2=3.1423.仿真时发现，在c1和v的取值下，匀加速增援模式并未能保证红军最后赢得胜利，在经历时间为3.35后红军失败.为了便于在同样的v值下与匀减速增援模式进行方案比较，将 c1值调节为 c′1.具体做法是在 c1=(2F －vt2)/(2t)中，令 t=3.35 重新计算有，c′1=1.87.这样，仿真出变速增援模式下双方的动态损耗关系如图5所示.

对于匀加速增援而言，若受v值限定，在与匀速增援持续相同的时间范围内选定初始增援率值，并不能保证增援获胜.在调节初始增援速率的条件下，匀加速增援可以缩短战斗进程，并且使得最后获胜方剩余战斗力较多.对于匀减速增援而言，在持续增援时间小于匀速增援的时间下就可以获得胜利(初始增援率值按照匀速增援维持的时间进行计算求得)，这说明匀减速增援在保证获胜的情况下，其本身就具有很大的可调节性，且可以缩短战斗进程和保持较大的剩余战斗力.

根据以上仿真实验可以得出结论，一次性增援和匀减速增援模式下可以保证获胜的前提下，明显地加快战斗结束进程.至于每一种增援模式下的增援效率(即由增援数量和损失数量的多少来判定增援方案的优劣)，下面将重点予以讨论.

图5 变速增援模式时的双方动态损耗Fig.5 Dynamic exhaustion curve of varied velocity reinforcement mode

4 增援方式优劣的评判准则制定

分析增援作战的要求可知，对增援飞机的数量要求不能很多(即增援飞机的规模，因为兵力总是有限的)，另一方面，总是希望战斗至获胜时损失掉的飞机数量要少.若以ρ来表示增援效率因子，ρ值越大表示增援方案越优，则ρ∝1/Rs，且同时应有ρ∝1/Rd，这两个条件有效表征了增援作战的投入规模与付出代价对增援效率的影响.另外，考虑在投入规模与付出代价乘积相同的情况下，损失飞机数量越少的增援方案越优，为此，需要给损失飞机与增援效率之间比例关系引入一个表示权重大小的值ω(Rd).为简单起见，本文取权值为ω(Rd)=1/Rd.这样，构造出衡量增援方案优劣的“评价函数”为

这样，记录以上实验中得到的红军不同类别的飞机数量并计算增援效率，据此对不同增援模式的优劣性进行评价，如表1所示.

表1 不同增援模式的增援效率(R0=10)Table1 Kinds of data in different reinforcement mode

表1中的战斗时间仅表示数字意义上的时间大小(无量纲)，其实际时间取决于微分方程中的时间量度(3.1节中也有说明).表1中归一化增效因子的计算公式为

从表1中可以看出，一次性增援的效率最高，匀减速增援的效率次之，且这两种增援模式均可以加快红军获胜的战斗进程，这与上节中关于时间效率的实验结果是一致的.图6也给出了不同增援模式的增援效率变化规律，从中也可以更明显地看出增效高低的增援方案.

图6 不同增援模式时的增援效率Fig.6 Reinforcement efficiency in different reinforcement mode

本文的实验结果说明，在增援作战时，若增援规模许可的条件下，一次性投入一定兵力的增援模式效率最高;若增援规模受限，可在满足条件的情况下采用匀减速增援方案，这样也可获得较高的增援效率和较短的战斗维持时间.

5 结论

1)建立了空中对抗作战的数学模型，指出了离散计算的时间步长所应满足的条件.将战机效能评估的结果(平均战斗力水平)作为其毁伤效率，并考虑在数据链环境下的平均战斗力水平的相对变化情况，建立表示双方作战单位数量变化的微分方程模型.为便于仿真实现和研究战斗变化规律，给出了所建模型的数学求解方法.

2)给出了不同增援方式的优劣结论.在不同增援方式的空战对抗数学模型中，进行了3种不同情形下的空战对抗实验，分别是匀速增援时起始时间不同的双方动态损耗实验、3种不同类型匀速增援的双方动态损耗实验、变速增援的双方动态损耗实验.在第1种实验中得出结论为增援时间越早，损失的战机数量越少.在后2种实验中，通过构造增援效率评价函数进行有效度量，得出结论为一次性增援和匀减速增援方案的性能较优.实验结论为空战指挥和决策提供了依据.

下一步的研究中，将对双方均采用多机型的对抗情况进行深入研究，该情形下的增援决策问题将会是一个复杂的多目标求解与优化问题.

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