李建华，张 坡，邢棣堂

(山西省浍河水库管理局，山西临汾 043400)

1 浍河水库概况

浍河水库是一座具有灌溉、防洪、养殖、旅游等综合利用功能的中型水库。下游保护着曲沃县、侯马市的五个乡镇五万亩良田和十五万余人口的安全，以及浍河二库、南同蒲铁路大桥、大运高速公路、大运公路、侯马502厂、新降纺纱厂等企业设施的安全。水库建库以来为曲沃、侯马两县市供水达13亿m3，对两县市的工农业生产，以及保障下游人民群众的生命财产安全等作出了巨大的贡献。浍河水库防洪标准为100年一遇洪水设计，1000年一遇洪水校核。100年一遇洪水起调水位481.70m，最高洪水位为485.07m，相应库容为7728.14万m3。1000年一遇洪水起调水位为481.70m，最高洪水位为488.84m，相应库容为10336万m3，低于大坝坝顶1.02m，低于防浪墙顶2.22m。目前浍河水库在汛期由专人负责收看每日电视气象分析并及时记录，专人接收上游大交水文站传汛，但水库的入库洪水过程目前还无法提前确定，没有入库洪水预报，这是影响浍河水库洪水调度的首要问题。由于流域实测资料有限，对水库而言，入库洪量是重要的调度指标，这里研究基于扩展卡尔曼滤波技术的浍河水库洪量预报方法，旨在提高水库洪量预报的精度，为浍河水库防洪调度提供科学依据。

2 扩展Kalman滤波方法

R．E．Kalman在1960年对离散数据的线性滤波递归解法做了描述(即卡尔曼滤波方法)，之后卡尔曼滤波方法逐步得到完善，并成为现代控制理论研究历史上一个新时代的标志。卡尔曼滤波技术在弹道计算、导航、制导、工业及自动化等很多领域得到大量的应用。

卡尔曼滤波能根据观测数据对线性系统状态矢量进行更新，它对观测数据不断吸收以便使状态矢量和真实模型不断接近。在一些非线性系统的实际应用中，引进了卡尔曼滤波变形的形式(如:扩展卡尔曼滤波等)，使其实际应用得到拓展，其中扩展卡尔曼滤波方法把非线性系统变换为近似的线性系统［3］，从而使卡尔曼滤波扩大了实际应用范围。

卡尔曼滤波方法中假设洪水预报系统(含观测算子、预报模式)是线性的，误差为白色高斯型的噪音，把第n个时刻真实的状态变量定义为，预报模式设为M，设为第n－1个时刻到第n个时刻的模式误差，则第n个时刻真实的状态变量可写为:

可从前一次估计的状态变量中通过模式预报得到背景场(先验信息):

那么:

式(6)中K为增益矩阵，是一个待定系数。

这里假设背景场的误差与模式的误差不相关，Bn为第n个时刻背景场误差的协方差，An为分析误差的协方差，On为观测误差的协方差，Qn为模式误差的协方差，则第n个时刻洪水预报状态变量的误差协方差为:

同样再假设背景场误差与观测误差也不相关，则第n个时刻洪水预报系统分析误差的协方差为:

因为卡尔曼滤波的最优标准是分析误差的最小方差，可以找出一个增益矩阵K使分析误差的方差达到最小，最终得出卡尔曼滤波分析公式，其方差元素为协方差矩阵对角线的元素，协方差矩阵An的方差记作Tr(An)，则:

式(10)可作为K的函数，由于协方差矩阵为正定矩阵，则等式的右端一阶导数为零时 Tr(An)达到最小:

所以有:

则原分析误差的协方差为:

An=(I－KH)Bn(13)

前面介绍的卡尔曼滤波中假设洪水预报系统(含预报模式、观测算子)为线性的计算流程，而洪水预报模式实质上是非线性的，观测算子一般也是非线性的，针对非线性的洪水预报问题，提出了扩展卡尔曼滤波，可以把非线性模式的预报方程写为:

xn=Mn－1(xn－1)+ ηn－1(14)

其中 Mn－1(xn－1)≡ Mn，n－1(xn－1)可能非线性地依赖于xn－1，它表示了系统状态从时间tn－1到时间tn的转移算符，把非线性观测预报的模式写为:

式(15)中的Hn(xn)非线性地依赖于xn，这样，扩展卡尔曼滤波就把预报方程、分析方程分别写为:

扩展卡尔曼滤波的预报模式是非线性模式，在预报误差的协方差矩阵演变方程中扩展卡尔曼滤波使用了切线性模式。

3 扩展Kalman滤波模型试验研究

由于浍河水库的入库洪水实时数据有限，这里开展利用水库的日平均水位转换为水量并考虑下泄水量进行预报的水量校正试验。面平均雨量选用翼城站降水、续鲁峪降水、河沄站降水资料，时间选择1982年的7月1日～8月31日。试验结果如下图所示。

1982年浍河水库逐日实际水量与预报水量对比图

分析浍河水库1982年入库水量预报成果:实际最大库水量为1621万m3，预报最大库水量为1636.2万m3，峰值绝对误差为15.2万m3，平均绝对误差为27.1万m3，确定性系数为0.9625，参考《水文情报预报规范》，试验预报结果等级达到甲级，预报取得一定效果。

4 结论

在水库水量预报中应用实时校正技术是当前的发展趋势。实时校正技术是通过多种实测数据不断更新计算结果，准确表述系统状态的有效方法，也是一种有效的水库水量预报方法，这种方法能在物理学或动力学方面为水库水量预报提供有效的数据分析。本文对浍河水库进行水量预报试验，表明应用扩展Kalman滤波方法进行实时校正的水库水量预报可以有效提高水库水量预报的精度。■

［1］ Kalman R E．A new approach to linear filtering and prediction theory［J］．Journal of Basic Engineering，1960，82D:35-46．

［2］ 李江，杨慧中．一种基于扩展Kalman滤波器的神经网络学习算法［J］．东南大学学报(自然科学版)，2004，(34):230-233．