黄俊红，张翠萍

(西北师范大学数学与统计学院，兰州730070)

2002年，Lee［1］给出了n－凝聚环的定义.2009年，Bennis［2］给出了左GF－ 闭环的概念. 2014年，Gao［3］在左GF－闭环上研究了模和环的Gorenstein余挠维数的相关性质;Selvaraj 等［4］给出了n－绝对纯模、Gorenstein n－平坦模及Gorenstein n－余挠模的定义，在右n－凝聚环上讨论了Gorenstein n－平坦模的相关性质.

本文在右n－凝聚环上研究了Gorenstein n－余挠模及模和环的Gorenstein n－余挠维数的相关性质，得到Gorenstein n－余挠模的Gorenstein n－平坦覆盖是Gorenstein n－余挠模，证明了在右n－凝聚环上，所有Gorenstein n－平坦左R－模的投射维数不超过1 等价于任意内射左R－模的商模是Gorenstein n－余挠的.

1 基本概念

设C是左R－模所构成的类.由文献［5］，称φ:M→C 是M 的C－包络，如果满足以下2 条:

(1)对任意左R－同态f:M→C'，存在左R－同态g:C→C'，使得gφ =f，或者说序列HomR(C，C')→HomR(M，C')→0 是正合的，其中C，C' C;

(2)当C' =C，f =φ 时，满足gφ =f 的左R－同态g 必是C 上的自同构.

若只有(1)成立，则称φ:M →C 是M 的C－预包络.

C－预覆盖和C－覆盖也可对偶地定义.

设L，C分别是左R 模的类.我们将L的左、右正交类分别记作:

其中M 是任意左R－模.

由文献［5］，称(L，C)是余挠理论，如果L⊥=C，⊥C=L.由文献［6］，称余挠理论(L，C)是完备的，如果每一个左R－模都有一个L－覆盖和C－包络. 称余挠理论(L，C)是遗传的，如果对任意左R－模的短正合列0→C'→C→C″→0，若C，C' C，则C″ C.

设F是左R 模所构成的类，Proj(R)，Inj(R)分别表示投射模类和内射模类.由文献［7］，有

(1)称F是投射可解类，如果满足:

(a)Proj(R)⊆F;

(b)在任意R－模的短正合列0→F'→F→F″→0 中，若F″ F，则F F当且仅当F' F.

(2)称F是内射可解类，如果满足:

(a)Inj(R)⊆F;

(b)在任意R－模的短正合列0→F'→F→F″→0 中，若F' F，则F F当且仅当F″ F.

为了方便，本文中的环均指有单位元的结合环，模均指酉模. 对任意R－模M，pdR(M)、fdR(M)和idR(M)分别表示M 的投射维数、平坦维数和内射维数.同时，在不指明左模或右模时都指左模.

2 n－余挠模及n－平坦模

定义1［4］称左R－模M 是n－平坦的，如果对任意投射维数不超过n 的有限表示右R－模N，有一般将n－平坦模所做成的模类记作Fn.

定义2［4］称左R－模M 是n－余挠模，如果对任意N Fn，有将n－余挠模所做成的模类记作Cn.

注记1 (1)设n、m 是任意非负整数，并且若n≥m，则Fm⊆Fn.因此n－余挠模是m－余挠模.

(2)内射模一定是n－余挠模，并且有包含关系:内射模类⊆n－余挠模类⊆余挠模类.

引理1 对任意交换环R，设N 是n－平坦R－模，且F 是平坦模.则N⊗RF 是n－平坦R－模.

证明 任取投射维数有限的有限表示R－ 模C.则存在正合列0→K→P→C→0，其中P 是有限生成投射R－模.下证(C，N⊗F)=0.

用－⊗R(N⊗F)作用以上正合列，可得如下交换:

命题1 设R 是交换环，则以下条件等价:

(1)M 是n－余挠模;

(2)对任意平坦R－模F，HomR(F，M)是n－余挠模;

(3)对任意投射R－模P，HomR(P，M)是n－余挠模.

证明 (1)⇒(2).设N 是任意n－平坦R－模，则有正合列0→K→P→N→0，其中P 是投射R－模.对任意平坦R－模F，用－⊗RF 作用到上述正合列上，可得正合列

由引理1 可知N⊗RF 是n－平坦R－模. 用HomR(－，M)作用到上述正合列上，可得:

由文献［8］的定理5 可得:HomR(P，HomR(F，M))→HomR(K，HomR(F，M))→0，从而有正合列HomR(P，HomR(F，M))→HomR(K，HomR(F，M))(N，HomR(F，M))→(P，HomR(F，M))=0.因此，(N，HomR(F，M))=0，故HomR(F，M)是n－余挠模.

(2)⇒(3).投射模是平坦模，结论显然成立.

(3)⇒(1).取P =R，由同构式HomR(R，M)≅M 可知结论成立.证毕.

3 Gorenstein n－余挠模

定义3［3］称环R 是右(左)n－凝聚的(n ＞0或n=∞)，如果任意自由右(左)R－模的投射维数不超过n－1 的有限生成子模是有限表示的.称环R是n－凝聚环，如果环R 既是左n－凝聚的，又是右n－凝聚的.

定义4［4］称左R－模M 是n－绝对纯的，如果对任意投射维数不超过n 的有限表示左R 模N，有(N，M)=0.显然，内射模一定是n－绝对纯的.

定义5［4］称左R－模M 是Gorenstein n－平坦的，如果存在n－平坦左R－模的正合序列

使得M≅Im(F0→F0)，并且复形E⊗RF 是正合的，其中E 是任意n－绝对纯右R－模.将Gorenstein n－平坦模所做成的模类记作GFn.

定义6［4］称左R－模M 是Gorenstein n－余挠的，如果对任意Gorenstein n－平坦左R－模N，有(N，M)=0. 将Gorenstein n－余挠模所做成的模类记作GCn.

注记2 设R 是环，则有以下包含关系:

(1)平坦模类⊆n－平坦模类⊆Gorenstein n－平坦类;

(2)Gorenstein n－余挠模类⊆n－余挠模类⊆余挠模类.

引理2 设R 是右n－凝聚环. 如果M 是任意Gorenstein n－余挠模，那么对任意Gorenstein n－平坦模N，有(N，M)=0，i≥1.

因为任意模都有投射分解，所以取N 的投射分解:

因为R 是右n－凝聚环，所以由文献［4］的推论3.6 知Ker fi(i≥0)是Gorenstein n－平坦的.设Ki=Ker fi.则(N，M)≅(Ki－1，M)=0 (i≥1).故结论成立.证毕.

命题2 设R 是右n－凝聚环，则Gorenstein n－余挠模类是内射可解类.

证明 显然内射模类⊆Gorenstein n－余挠模类.

设0→M'→M→M″→0 是R－模的短正合列.下证:若M' GCn，则M″ GCn⇔M GCn.

设N 是任意Gorenstein n－ 平坦R－ 模，用HomR(N，－)作用到上述正合列上，可得:

引理3［4］设R 是右n－凝聚环，则(GFn，GCn)是遗传的完备的余挠理论.

设M 是任意左R－模.由命题2 及引理3 可知，在右n－凝聚环上任意R－模都有满的Gorenstein n－平坦覆盖和单的Gorenstein n－余挠包络.以下将M 的Gorenstein n－平坦覆盖和Gorenstein n－余挠包络分别记作:GFn(M)，GCn(M).

定理1 设R 是右n－凝聚环.则

(1)Gorenstein n－平坦模的Gorenstein n－余挠包络是Gorenstein n－平坦模;

(2)Gorenstein n－余挠模的Gorenstein n－平坦覆盖是Gorenstein n－余挠模.

证明 (1)设F 是任意Gorenstein n－平坦模.由引理3 可知F 有Gorenstein n－余挠包络φ:F →C，则有正合列0→F→C→L→0.根据Wakamutsu 引理有L GFn.由文献［4］的推论3.6 知，在右n－凝聚环R 上Gorenstein n－平坦R－模对扩张封闭，因此C GFn.

(2)设C 是Gorenstein n－余挠模. 由引理3 可知C 有Gorenstein n－平坦覆盖f:F →C，则有正合列0→K→F→C→0. 根据Wakamutsu 引理［5］，K 是Gorenstein n－ 余挠模. 因此由命题2 可知F 是Gorenstein n－余挠模.证毕.

定理2 设R 是右n－凝聚环.则下列条件等价:

(1)所有左R－模是Gorenstein n－余挠的;

(2)所有的Gorenstein n－ 平坦左R－ 模是Gorenstein n－余挠的;

(3)所有的Gorenstein n－平坦左R－模是投射的;

(4)对任意左R－同态f:M1→M2，若M1，M2是Gorenstein n－ 余挠模，则Ker f 是Gorenstein n－余挠模.

证明 (1)⇒(2).结论显然成立.

(2)⇒(3). 设G 是任意Gorenstein n－平坦左R－模.则有正合列

其中P 是投射左R－模.因为R 是右n－凝聚环，所以K 是Gorenstein n－平坦的.因此(G，K)=0，即正合列可裂，故G 是投射左R－模.

(3)⇒(1).因为(Proj(R)，RM)是余挠理论，所以结论显然成立.

(1)⇒(4).显然成立.

(4)⇒(2). 设M 是Gorenstein n－平坦左R－模，则有以下交换:

其中GCn(M)和GCn(L)分别表示M 和L 的Gorenstein n－ 余挠包络. 由以上交换可知M = Ker ξ =Ker(δLξ)，由条件(4)可知M 是Gorenstein n－余挠模，即条件(2)成立.证毕.

4 模和环的Gorenstein n－余挠维数

定义7 设R 是环，M 是左R－ 模. 将M 的Gorenstein n－余挠维数记作Gn－cdR(M)，定义为Gn－cdR(M)=inf{k|存在正合列0→M→C0→C1→…→Ck－1→Ck→0，其中CiGCn，0≤i≤k，k 为非负整数}.若这样的k 不存在，则记Gn－cdR(M)=∞.将环R 的左Gorenstein n－余挠整体维数记作l.Gn－cD(R)=sup{Gn－cdR(M)|M 是左R－模}.对偶地，将环R 的右Gorenstein n－余挠整体维数记作r.Gn－cD(R)=sup{Gn－cdR(M)|M 是右R－模}.特别地，若R 是交换环，则l.Gn－cD(R)=r.Gn－cD(R).

命题3 设R 是环，M 是左R－模，k 为非负整数，则下列条件等价:

(1)Gn－cdR(M)≤k;

(4)若序列0→M→C0→C1→…→Ck－1→Ck→0正合，并且若C0，C1，…，Ck－1是Gorenstein n－余挠左R－模，则Ck也是Gorenstein n－余挠左R－模;

(5)存在正合列0→M→C0→C1→…→Ck－1→Ck→0，其中C0，C1，…，Ck－1，Ck是Gorenstein n－余挠左R－模.

特别地，若R 是右n－凝聚环，则以上条件等价于:

(6)Gn－cdR(GFn(M))≤k.

证明 (1)⇔(2).由定义7 即可得证.

(2)⇒(3).由(2)可知，存在正合列

对任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用以上正合列，由长序列引理［8］及维数转移公式［8］可得(N，Ck)≅(N，M). CkGCn，则由引理2 可得(N，Ck)=0. 因此(N，M)=0，i≥1.

(3)⇒(4).对任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用到正合列上，由长序列引理及维数转移公式可得(N，Ck)≅(N，M)=0. 特别地，当i =1 时，(N，Ck)=0.故CkGCn.

(4)⇒(5). 因为任意R－模都有内射分解，所以结论显然成立.

(5)⇒(2).对任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用到正合列

(1)⇔(6).若R 是右n－凝聚环，则由文献［4］的推论4. 8 可知M 有Gorenstein n－ 平坦覆盖GFn(M)，则有正合列

对任意Gorenstein n－平坦左R 模N，用HomR(N，－)作用到上述正合列上，由长序列引理可得:

在右n－凝聚环上Gorenstein n－平坦左R－模对扩张封闭，则由Wakamutsu 引理可知K 是Gorenstein n－余挠模.由引理2 可知(N，K)=0(N，K)=0.因此(N，GFn(M))≅(N，M).故条件(1)和条件(6)的等价性显然成立.证毕.

定理3 设R 是右n－凝聚环，k 为整数且k≥1，则以下条件等价:

(1)l.Gn－cD(R)≤k;

(2)所有Gorenstein n－平坦左R－模的投射维数不超过k;

(3)所有Gorenstein n－平坦左R－模的Gorenstein n－余挠维数不超过k;

(4)任意内射左R－模的商模的Gorenstein n－余挠维数不超过k－1;

(5)任意Gorenstein n－余挠左R－模的商模的Gorenstein n－余挠维数不超过k－1.

证明 (1)⇔(2)和(1)⇒(3)显然成立.

(3)⇒(2).设M 是任意左R－模.因为环R 是右n－凝聚环，所以M 有Gorenstein n－ 平坦覆盖GFn(M).则有正合列0→K→GFn(M)→M→0.对任意Gorenstein n－平坦左R－模N，用HomR(N，－)作用以上正合列，可得:

因为环R 是右n－凝聚环，所以K 是Gorenstein n－余挠模.根据引理2(N，K)=0，由条件(3)可知(N，GFn(M))=0.因此(N，M)=0，故N 的投射维数不超过k.

(1)⇒(4). 设E 是任意内射左R－模，K 是E的子模.则有正合列

对任意Gorenstein n－平坦左R 模N，用HomR(N，－)作用以上正合列，可得:

由条件(1)知Gn－cdR(K)≤k，因此(N，K)=0.因为(N，E)=0，所以(N，E/K)=0.故Gn－cdR(E/K)≤k－1.

(4)⇒(1).设M 是任意左R－模，则有正合列

其中E 是内射左R－模. 由条件(4)可知Gn－ cdR(E/M)≤k－1，因为E GCn，所以Gn－cdR(M)≤k.故由M 的任意性可知条件(1)成立.

(4)⇒(5). 设M 是任意Gorenstein n－余挠左R－模，K 是M 的子模.则有正合列

和

其中E(K)是K 的内射包络.则有以下交换:

根据条件(4)，Gn－cdR(L)≤k－1，则有正合列

设左R－模M/K 的内射分解为0→M/K→E0→E1→…→Ek－2→Ek－1→….令C =Im(Ek－2→Ek－1)，则有正合列

由正合列(1)、(4)可得正合列

因为Gn－cdR(K)≤k，所以C GCn. 因此Gn－cdR(M/K)≤k－1.证毕.

推论1 设R 是右n－凝聚环. 则以下条件等价:

(1)l.Gn－cD(R)≤1;

(2)所有Gorenstein n－平坦左R－模的投射维数不超过1;

(3)所有Gorenstein n－平坦左R－模的Gorenstein n－余挠维数不超过1;

(4)任意内射左R－模的商模是Gorenstein n－余挠的;

(5)任意Gorenstein n－余挠左R－模的商模是Gorenstein n－余挠的.

［1］Lee S B. n－coherent rings［J］. Communication in Algebra，2002，30(3):1119－1126.

［2］Bennis D. Rings over which the class of Gorenstein flat modules is closed under extensions［J］. Communication in Algebra，2009，37:855－868.

［3］Gao Z H. On Gorenstein cotorsion dimension over GF－closed rings［J］. Bulletin of the Korean Mathematical Society，2014，51(1):173－187.

［4］Selvaraj C，Udhayakumar R，Umamaheswaran A. Gorenstein n－flat modules and their covers［J］. Asia－European Journal of Mathematics，2014，7(3):1－13.

［5］Enochs E E，Jenda O M G. Relative homological algebra［M］. Belin:Walter de Gruyter，2000.

［6］Enochs E E，Jenda O M G，Lopez－Ramos J A. The existence of Gorenstein flat covers［J］. Mathematics Scand，2004，94(1):46－62.

［7］Holm H. Gorenstein homological dimensions［J］. Journal of Pure Application Algebra，2004，189:167－193.

［8］佟文廷. 同调代数引论［M］.北京:高等教育出版社，1998.