姚晓洁

(广西科技师范学院数学与计算机科学系，来宾546100)

在捕食系统中功能函数起着非常重要的作用，因为功能函数不仅与食饵有关，而且反映了捕食者的捕食能力.1965年，Holling［1］对不同类型的生物种群提出了3 种不同类型的功能函数:Holling-Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型，它们都是单调函数. 随后，Arditi 和Ginzburg［2］提出了比率模型，它体现了捕食者之间的相互干扰，其缺陷是存在一种低密度状态时的异常行为. 之后，Beddington［3］和DeAngelis 等［4］提出了Bedding-Deangelis 功能反应，它与比率模型有一些相似的特征，但避免了种群在低密度状态时的异常行为.关于具有收获率和功能反应函数的捕食系统具有多个周期解问题，近些年获得了有意义的结果［5－11］，其中，文献［10］利用重合度理论和一些分析技巧，获得了如下具有时滞和Beddington-DeAngelis 功能反应的捕食系统至少存在8个正周期解的充分条件. 以上这些文献都是针对生物种群具有单个功能反应的，而对具有多个不同功能反应的捕食系统有多个正周期解的相关研究却很少报道，因此，本文研究如下具有收获率和2个功能反应的捕食系统

其中，xi(t)(i =1，2，3)分别表示3个种群各自的种群密度，hi(t)分别表示xi(t)各自的收获率;ai(t)，bi(t)，di(t)，ki(t)，fi(t)，hi(t)，c(t)，α(t)，β(t)，γ(t)，m(t)，τ1(t)，τ2(t)均为R+上的连续函数，其中i=1，2，3;θi＞0 (i=1，2，3)为常数.

借助文献［9］的思想方法，本文获得了系统(2)存在8个正周期解的充分条件，丰富了相关结果.

1 准备知识

对任何ω－连续函数f(t)，定义

设X 和Z 是实Banach 空间，L:Dom L⊂X→Z为线性映射，N:X ×［0，1］→Z 为连续映射，如果dim Ker L=codim Im L ＜+∞，且Im L 在Z 中是闭的，则称L 为零指标的Fredholm 映射. 若L 是指标为零的Fredholm 映射，且存在连续投影P:X→X 及Q:Z→Z 使得Im P =Ker L，Im L =Ker Q =Im(I－Q)，则:(I－P)X→Im L 可逆，设其逆映射为KP. 设Ω 为X 中有界开集，如果QN(Ω ×［0，1］)有界且KP(I－Q)N:Ω ×［0，1］→X 是紧的，那么称N 在Ω×［0，1］上是L－紧的.由于Im Q 与Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L.

引理1［12］(Mawhin 延拓定理) 设L 是指标为零的Fredholm 映射，且N 在Ω ×［0，1］是L－紧的.如果:

(i)对任意的λ (0，1)，方程Lx=λN(x，λ)的解满足x ∂Ω;

(ii)QN(x，0)≠0，∀x ∂Ω∩Ker L;

(iii)deg{JQN(x，0)，Ω∩Ker L}≠0，则方程Lx=N(x，1)在Dom L∩Ω内至少有一个解.

考虑方程h(x)=b－axα－c/x，x (0，+∞).

引理2［9］假设a，b，c，α 是正常数且满足b ＞(1 +α)a1/(1+α)(c/α)α/(1+α)，则存在0 ＜x－＜x+，使得h(x－)=h(x+)=0;h(x)＞0，x (x－，x+);h(x)＜0，x (0，x－)∪(x+，+∞);h'(x－)＞0，h'(x+)＜0.

记

本文假设:

再记

仿照文献［9］的引理3.3 的证明，容易得到:

引理3 假设(A1)～(A3)满足，则下列结论成立:

引理4［13］假设x≥0，y≥0，p ＞1，q ＞1，且则

2 周期解的存在性

定理1 假设(A1)～(A3)满足，则系统(2)至少存在8个正ω－周期解.

证明 令yi(t)=exi(t)(i=1，2，3)，则系统(2)变为

取X=Z={y=(y1，y2，y3)TC(R，R3):y(t +ω)=y(t)，i=1，2，3}，对y X 或y Z，定义则X 和Z 在此范数下是Banach空间. 记

定义

易知P、Q 是连续投影且Im P=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I－Q)，从而，广义逆KP:Im L→Ker P∩Dom L 存在且为

于是

这里

利用Lebegegu 收敛定理和Arzela－ Ascoli 定理，对任意的有界集Ω⊂X，容易证明N 在上是L－紧的.

根据引理1，只需寻找8个合适的有界开集即可.考虑方程Ly=λN(y，λ)，λ (0，1)，即

假设(y1(t)，y2(t)，y3(t))T是式(4)对某个λ (0，1)的ω－周期解. 选择ξi，ηi［0，ω］(i =1，2，3)，使得

显然，有y'i(ξi)=0，y'i(ηi)=0 (i=1，2，3).结合式(4)可得

由式(8)可得a1(η1)－b1(η1)eθ1y1(η1)＞0，即

从而

即

同理，由式(10)可得

再由式(5)得

结合式(11)可得

结合引理3 的条件(i)可得

同理，由式(8)得

由式(6)类似讨论可得

结合引理3 的条件(i)可得

同理，由式(9)可得

由式(7)类似讨论可得

结合引理3 的条件(i)可得

同理，由式(10)可得

再由式(5)可得

结合引理3 的条件(iii)可得

同理，由式(8)可得

类似讨论，由式(6)可得

结合引理3 的条件(iii)可得

同理，由式(9)可得

由式(7)，类似讨论得

结合引理3 的条件(iii)可得

同理，由式(10)可得

显然，Ωi(i =1，2，…，8)是X 上的开集，且Ωi∩Ωj=∅(i，j=1，2，…，8，i≠j)，则Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1 的条件(i). 现在证明引理1 的条件(ii)也成立，即证若u ∂Ωi∩Ker L =∂Ωi∩R3，QN(u，0)≠0 (i =1，2，…，8).用反证法. 假设QN(u，0)=0，即

容易得到式(27)有8个不同的解:

由于Ker L=ImQ，取J=I，根据引理3 的条件(ii)直接计算可得

这说明引理1 的条件(iii)成立. 故根据引理1知，系统(3)至少存在8个不同的ω－周期解

结合引理4 和定理1，立即可得:

推论1 假设下面条件满足:

则系统(2)至少存在8个不同的正ω－周期解.

［1］Holling C S. The functional response of predator to prey density and its role in mimicry and population regulation［J］. Memoirs of the Entomological Society of Canada，1965，45:3－60.

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［4］DeAngelis D L，Goldstein R A，O'Neill R V.A model for trophic interaction［J］.Ecology，1975，56(4):881－892.

［5］Wei F Y. Existence of multiple positive periodic solutions to a periodic-prey system with harvesting terms and Holling Ⅲtype functional response［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16:2130－2138.

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［7］Hu D W，Zhang Z Q. Four positive periodic solutions to a Lotka-Volterra cooperative system with harvesting terms［J］.Nonlinear Anal:RWA，2010，11:1115－1121.

［8］Fan Y H，Wang L L. Multiplicity of periodic solutions for a delayed ratio-dependent predator-prey model with Holling Ⅲtype functional response and harvesting terms［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2010，365:524－540.

［9］Fan H.Existence of eight positive periodic solutions for a food-limited two-Species cooperative patch system with harvesting terms［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18:1857－1869.

［10］陆地成，王奇，张友梅.一类捕食－食饵系统的八个正周期解问题［J］.佳木斯大学学报:自然科学版，2014，32(1):143－146.Lu D C，Wang Q，Zhzng Y M. Existence of eight positive periodic solutions for a predator-prey system［J］. Journal of Jiamusi University:Natural Science Edition，2014，32(1):143－146.

［11］刘子珍，刘秀湘. 具有迁移效应和收获率的Hassell-Varley-Holling 捕食者——食饵系统的周期解［J］. 华南师范大学学报:自然科学版，2014，46(2):10－16.Liu Z Z，Liu X X.Periodic solutions in a Hassell-Varley-Hollingpredator-prey system with dispersal and harvest［J］. Journal of South China Normal University:Natural Science Edition，2014，46(2):10－16.

［12］Gaines R E，Mahwin J L. Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin:Springer，1977.

［13］Mitrinovic D S. Vasic，PM:Analytic inequalities［M］.Berlin:Springer，1970.