曹俊飞

(广东第二师范学院 数学系，广东 广州 510310)

凸函数的积分判别法及其应用

曹俊飞

(广东第二师范学院 数学系，广东 广州 510310)

摘要:凸函数是一类非常重要的函数，有着广泛的应用，因此对凸函数的研究具有重要意义。本文首先建立了凸函数的积分判别法，并给出了此判别法与凸函数其他定义之间的等价关系。然后介绍了积分判别法中的Hadamard不等式，并证明了Hadamard不等式中等号成立的充分必要条件。最后举例说明了凸函数积分判别法的运用方法。

关键词：凸函数；积分判断法；Hadamard不等

中图分类号：O174

文献标志码：码：A

文章编号：号：2095-4824(2015)03-0098-05

收稿日期：2015-03-11

作者简介：曹俊飞(1982-)，男，湖北黄冈人，广东第二师范学院数学系讲师，博士。

Abstract：Convex functions are a very important kind of functions which are been widely used in mathematical and other fields. Hence it is of great significance to study the judgment method of convex functions. First, this paper establishes the integral judgment method of convex functions and proves the equivalence between this theorem and other definitions of convex functions. Next it introduces the Hadamard inequality and proves the necessary and sufficient conditions for the medium-Hadamard inequality. Finally, several examples of the convex function application with the integral method are illustrated.

凸函数的定义最早是在1905年由Jensen给出的，自凸函数理论建立以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了非常广泛的应用。众多学者对凸函数的研究对其发展起着十分重要的作用。

作为数学中一个比较年轻的数学分支，凸函数是在上世纪50年代以后随着数学规划、最优化控制、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的[1]。到目前为止，凸函数的研究已经从凸函数的定义研究到更多的关于凸函数性质的研究以及凸函数性质的应用方面的研究。由于凸函数的理论的广泛性以及在数学各个领域的广泛应用，因此对凸函数理论进一步深入研究和推广显得尤为重要，对凸函数的判别、性质以及应用的研究具有十分重要的意义。……