潘文君，詹建明

( 湖北民族学院 数学系，湖北 恩施445000)

软集理论是俄罗斯学者Molodtsov［1］在1999 年最早提出的．作为一种全新的处理不确定性问题的工具，软集理论从提出至今被很多的专家学者进行研究和发展，得到了许多丰富的结论．n元群是一种重要的代数结构，Dudek［2］详细地讨论了n元群的相关性质．随后，Williams［3］将n元群与模糊集理论相结合研究了模糊n元群，Heidari［4］将n元代数结构理论与Γ 群相结合得到n元Γ 群．2012 年，Cagman［5］将软集理论与群理论与结合得到了软交群的概念并研究了相关性质．2013 年，Alshehri［6］将软集与K代数结合研究了软K代数、软交K代数．本文将软集理论推广应用到n元群，从而得到了软交n元群的概念及相关性质．

1 预备知识

令G是非空集合，考虑代数结构(G，f)，其中f是Gn→G的映射，记作(x1，x2，…，xn)af(x1，x2，…，xn)，这里n≥2，那么称(G，f)为n元广群．为了叙述的方便，序列元素简记为当j＜i时无意义．如果那么记因此记，并且:称n元广群(G，f)为(i，j)结合的，如果对任意x1，x2，…，x2n－1∈S有下式成立:

若上式对于任意的1≤i≤j≤n成立，那么就称运算f是结合的．

如果对于任意的x0，x1，x2，…，xn∈G，1≤i≤n，存在元z∈G使得:

则称此等式是i可解的．如果这个解是唯一的，则称此等式是唯一i可解的．

称n元广群(G，f)为n元拟群，如果对于任意的i=1，2，…，n，(G，f)都是唯一可解的．结合的n元拟群称为n元群．

n元群中，e称为单位元，如果对于任意的x∈G，1≤i≤n有

n元群中称为斜交元，如果对于任意的x∈G有

n元群(G，f)的非空子集J称为n元子群，如果(J，f)是n元群，也就是J在运算f下保持封闭并且对于任意的x∈J有x－∈J．在本文中(G，f)表示只有一个单位元的n元群，简记为G．

Molodtsov［1］给出了软集的定义．令U是初始的论域，E是参数集，A是E的子集，U的幂集记为P(U)．

定义1［1］称序对(F，A)是论域U上的软集，其中F是一个集值映射，满足F:A→P(U)．

定义2［7］令(F，A)和(T，B)是论域U的软集，那么

(1)(F，A)和(T，B)的拓展交记为(F，A)∩E(T，B)，定义为软集(H，C)，其中C=A∪B，并且任意的d∈C有:

定义3［8］设(F，A)和(T，B)是论域U的软集，那么:

(1)运算“(F，A)AND(T，B)”记为，定义为软集(H，C)，其中C=A×B并且对任意(a，b)∈C有H(a，b)=F(a)∩T(b);

(2)运算“(F，A)OR(T，B)”记为，定义为软集(H，C)，其中C=A×B并且对任意(a，b)∈C有H(a，b)=F(a)∪T(b)．

定义4［9］设(F，A)是论域U的软集，则记Supp(F，A)={x∈A F(x)≠∅}为(F，A)的支集．若一个软集的支集不为空集，则称它为非空软集．

2 软交n 元群

定义1 设(G，f)是n元群，A是G的n元子群，(F，A)是G上的软集．则(F，A)称为G上的软交n元群，如果对于任意的x，x1，x2，…，xn∈A满足以下条件:

(3)F(e)⊇F(x)．

例1 令G= { 1，－1，i，－i}，f是复数的普通乘法的四元运算，则(G，f)是四元群．设(F，A)是G的软集，其中A=G并且F:A→P(G)是集值映射，定义如下:F(1)=G，F(－1)={1，i，－i}F(i)=F(－i)={i，－i}，不难验证(F，A)是G的软交四元群．

定理1 令(F，A)和(T，B)是G上的软交n元群，则(F，A)∧～(T，B)是G的软交n元群．

证明 对于任意的x∈A，y∈B，(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)∈A×B有:

又因为:

例2 假设(G，f)是例1 中的四元群．令A=G，B={1，－1}．G上的软集(F，A)，(T，B)定义如下:F(1)=不难证明(F，A)和(T，B)都是G的软交四元群．但是，而显然{1}⊄{－1}，因此不是G上的软交四元群．

定理2 如果(F，A)和(T，A)是G上的软交n元群，则(F，A)∩E(T，A)是G上的软交n元群．

证明 令x，x1，x2，…，xn∈A，则有:

又因为:

因此(F，A)∩E(T，A)是G上的软交n元群．

不难证明(F，A)，(T，A)都是G上的软交四元群．但是由于，因此不是G上的软交四元群．

定义2 令(F，A)和(T，B)是G上的软交n元群，则(F，A)和(T，B)的卡式积定义如下=(H，C)，其中C=A×B且对于任意的(x，y)∈A×B有

定理3 如果(F，A)和(T，B)是G上的软交n元群，则)是G×G上的软交n元群．

又因为:

定义3 令(F，A)是G上的软交n元群且M⊆G，则(F，A)的M包含记为(F，A)M且

注意到，如果M=∅，则集合称为(F，A)的支集．

定理4 令(F，A)是G上的软交n元群且M⊆G，当(F，A)M非空时，(F，A)M是G上的n元子群．

证明 如果(F，A)M≠∅，则对于任意的x，x1，x2，…，xn∈(F，A)M有:

(1)如果η 是双射，则(φ，η)(F，A)是S2的软n元半群，

(2)(φ，η)－1(G，B)是S1的软n元半群．

证明 (1)由定义4 可知，(φ，η)(F，A)=(φ(F)，B)是S2的软集．因为(F，A)是S1的软n元半群，所以对任意x∈A，F(x)是S1的n元子半群．又(φ，η)是(F，A)到(G，B)的软n元半群同态，所以有φ(F(x))是S2的n元子半群．因为η 是双射，根据定义4(1)有φ(F)(y)=φ(F(x))，所以φ(F)(y)是S2的n元子半群．因此，(φ，η)(F，A)是S2的软n元半群．

(2)因为(G，B)是S2的软n元半群，所以对任意y∈B，G(y)是S2的n元子半群．又(φ，η)是(F，A)到(G，B)的软n元半群同态，所以有φ－1(G(y))是S1的n元子半群．根据定义4(2)有(φ，η)－1(G，B)=(φ－1(G)，A)．又由于对任意x∈A，有φ－1(G)(x)= φ－1(G(η(x)))= φ－1(G(y))．因此，φ－1(G)(x)是S1的n元子半群．所以(φ，η)－1(G，B)是S1的软n元半群．

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