班桂宁，聂婷婷，陈科成

（广西大学 数学与信息科学学院，广西 南宁530004）

群论是数学史上的一座丰碑，从1829年伽罗瓦通过运用群的方法解决方程根式求解的充要条件至今，群论已有了翻天覆地的发展.群论普遍地被认为是数学及其它许多应用中的基本工具.有限p－群与群的自同构［1］是群论的基础.在有限非交换p－群中有一类有限p－群被定义为LA－群，即p－群G的阶能整除其自同构Aut（G）的阶，则｜G｜｜｜Aut（G）｜，｜G｜＞p2.关于LA－群及有限p－群自同构的研究俞曙霞、班桂宁等已取得了大量有价值的成果［2～5］.本文结合Rodney James关于p2－p6阶的分类［6］针对p6阶群的Φ36家族进行群的有效扩张，得到一类新非交换的p－群，然后运用自由群理论证明该群的存在性，并给出该群的一些基本性质，最后利用群的中心内自同构特性证明该群是LA－群.

1 基本引论

公式1［7］设G是群，a，b，c∈G，则有：

公式2［7］设G是群，a，b∈G且［a，b］∈Z（G），n是正整数，则有：

公式3［7］设G是亚交换群，a，b∈G，m≥2，i，j是正整数，则有：

其中：求积符号中的i，j为正整数，且满足i＋j≤m.

引理1［7］设G是有限p－群，若c（G）＜p，则G正则.

引理2［7］设G是有限群，则G的全体中心内自同构组成Aut（G）的子群，且它与Z（G/Z（G））是同构的.

引理3［8］设G是PN群，G/G′和Z（G）的不变型分别为m1≥m2≥… ≥mt≥1和k1≥k2≥…≥ks≥1，则｜Ac（G）｜＝pa，其中a＝∑min｛mj，ki｝.

2 结果

定理1 设

则G构成群的充要条件是：

在G成群的条件下，有：

证明（I）假设定理中所给的G是一个群.由［αi，α］＝αi＋1，［α1，α2］＝α5，得：

（1）当i＝1时，有：

（2）当i≠1时，有：

综上可得：

因为

所以

综合上述条件有：

（II）证明G的存在性.

令

设F＝〈α〉为阶循环群，映射τ如下的作用在N上：

则由t5≤t2，得：

由t5≤t4≤t3≤t2≤t1，得：

若此时记扩张函数f：F×F→N和α：F→Aut（N）有如下形式：

则由Schreier扩张理论得到N被F的一个扩张.

设在同构σ：F→G1/N下t的像为为陪集中选定的代表元，满足.令，则有：

且

即

因此G1是存在的，且.

根据自由群理论证明G1即为群G1的定义关系.

设F＝｛x1，x2，x3，x4，x5｝是一个自由群，

则

因此

故

所以

令

设F＝〈a〉为pt阶循环群，映射τ如下作用在N上：

由t5≤t4≤t3≤t2≤t1，得：

因此有：

故τ∈Aut（N），显然1τ＝1，下证.

由t5≤t4≤t3≤t2≤min｛t，t1｝，得：

则由Schreier扩张理论得到N被F的一个扩张G＝Ext（N，pt；1，τ）且.

即［αi，α］＝αi＋1.因此G是存在的，且.

根据自由群理论证明G1即为群G1的定义关系.

设F＝｛x，x1，x2，x3，x4，x5｝是一个自由群，

则

因此

定理2 群G有下列性质：

（1）G′＝G2＝〈α2，α3，α4，α5〉，G3＝〈α3，α4，α5〉，G4＝〈α4，α5〉，G5＝〈α5〉，G/G′＝〈αG′，α1G′〉，P（G）＝〈gp｜g∈G〉，Φ（G）＝〈α2，α3，α4，α5〉〈αp，α1p〉.

（2）G为亚交换p－群.

（3）若p＞5，则G为正则p－群.

（7）若t＝t1＝t2＝t3＝t4＝t5＝1，则.

证明（1） （i）由G的定义关系，显然有〈α2，α3，α4，α5〉≤G′，且〈α2，α3，α4，α5〉◁G′.令N＝〈α2，α3，α4，α5〉，则G/N＝〈αN，α1N〉，因为［α1，α］＝α2∈N，所以［αN，α1N］＝N，故G/N为交换群，可以得到.证明如下：

由引理2得G′≤N，即G′＝G2＝〈α2，α3，α4，α5〉，从而可得G/G′＝〈αG′，α1G′〉.

（ii）因为

［α1，α］＝α2，［α2，α］＝α3，［α3，α］＝α4，［α1，α2］＝α5，

从而G3＝［G，G2］＝〈α3，α4，α5〉.

同理G4＝［G，G3］＝〈α4，α5〉；G5＝［G，G4］＝〈α5〉；G6＝1.可得c（G）＝5.

（iii）由有限群G的子群P（G）定义有P（G）＝〈gp｜g∈G〉，即的frattini子群.

（2）因为［α2，α3］＝［α2，α4］＝［α2，α5］＝［α3，α4］＝［α3，α5］＝［α4，α5］＝1，所以G″＝［G′，G′］＝1，故G为亚交换p－群.

（3）当p＞5时，由（1）知c（G）＝5＜p，所以G为正则p－群.

（4）对任意的z∈Z（G），设，则

由此可得：

这使得

即

由z的任意性可得，于是

从而

（5）因为Z2（G）/Z1（G）＝Z（G/Z1），所以［Z2（G），G］⊆Z1（G），那么对任意的Z2（G），有：

由此可得：

使得

即由z的任意性可得：

于是：

所以

（6）因为Z3（G）/Z2（G）＝Z（G/Z2），且有［Z3（G），G］⊆Z2（G），那么对任意的Z3（G），由（5）得所以

于是

同理

综上可得：

是G的中心群列.

（7）若t＝t1＝t2＝t3＝t4＝t5＝1，则.

定理3 证明新群G为LA－群

证明 令R＝Inn（G）Ac（G）（Ac（G）为G的中心自同构），则易知R为Aut（G）的正规p子群.于是只需证明｜R｜≥｜G｜，即可知G为LA－群.

由引理3得：

由定理2的（1）知：

其不变型为（t，t1）.

由定理2的（3）知：

所以

其不变型为：

由G/G′的不变型为（t，t1）根据引理3把G分成两组讨论：t≥t1与t≤t1.只要证明这两种情况，即证得G均为LA－群.

（A）证明t≥t1时G为LA－群.

t≥t1时已有t－t2≥t1－t2，t≥t1≥t5成立，Z（G）的不变形为：

下面分析t，t1，t－t2，t1－t2，t2－t3，t3－t4，t4－t5，t5的大小关系.

（I）当t1－t2≥t2－t3时，

（i）t1－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t5时t－t2≥t1－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t5.

计算a时分以下两类：

（1）t1≥t－t2时，

因此

故群G为LA－群.

（2）t－t2≥t1时，a＝t＋3t1－t2，故，故群G为LA－群.

（ii）同理关于t1－t2≥t2－t3时的其它大小关系：

完全可按（i）中的方式验证G是LA－群.

（II）当t－t2≥t2－t3≥t1－t2时，分以下4种情况：

（i）t2－t3≥t1－t2≥t3－t4≥t4－t5≥t5时，t－t2≥t2－t3≥t1－t2≥t3－t4≥t4－t5≥t5.

计算a时分以下3类：

（1）t1≥t－t2时与上述（I）（i）（1）相同，因此G为LA－群.

（2）t－t2≥t1≥t2－t3时，a＝t＋t1＋t2，因此，G为LA－群.

（3）t2－t3≥t1≥t1－t2时，a＝t＋3t1－t2，因此，G为LA－群.

（ii）t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t1－t2≥t5时，t－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t1－t2≥t5.

计算a时分以下两类：

（1）t4－t5≥t1≥t1－t2时，a＝t＋6t1－2t2＋t5，因此，G为LA－群.

（2）t3－t4≥t1≥t4－t5时，a＝t＋5t1－2t2＋t4，因此，G为LA－群.

（iii）t2－t3≥t3－t4≥t1－t2≥t4－t5≥t5时，t－t2≥t2－t3≥t3－t4≥t1－t2≥t4－t5≥t5.

计算a时分以下两类：

（1）t2－t3≥t1≥t3－t4时，a＝t＋3t1－t2，故，故群G为LA－群.

（2）t3－t4≥t1≥t1－t2时，a＝t＋5t1－2t2＋t4，故，故群G为LA－群.

（iv）t2－t3≥t3－t4≥t4－t5≥t5≥t1－t2时，a＝t＋6t1－2t2＋t5，故G｜，G为LA－群.

（B）证明t≤t1时群G为LA－群.t≥t1与t≤t1是完全相同的讨论方法.同理t≤t1时G为LA－群.

综上可知扩展的群：

是LA－群.

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