张亚敏

（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）

求非线性偏微分方程的精确解是研究偏微分方程的重要部分，到目前为止，非线性偏微分方程的精确解的求解方法有许多，如首次积分法［1］、广义条件对称群法［2－4］、齐次平衡方法［5－6］、分离变量法［7－9］、不变集方法［10］等.不变集方法是与不变子空间相关的一种构造非线性偏微分方程精确解的简便而有效的方法，在这方面已有一些有意义的结果［11－16］.Galaktionov［11－12］通过引入伸缩不变集s0＝，讨论了方程ut＝E（x，u，ux，uxx，…，u（k））的精确解；同时，相关文献［3－4］将伸缩不变集进行推广为

并利用s1讨论了一些方程的精确解.论文通过建立不变集E0＝｛u：ux＝g′（x）F（u）｝研究广义Boussinesq方程utt＝A（u）uxxxx＋B（u）uxx＋C（u）（uux）x＋D（u）u2的精确解.

考虑广义Boussinesq方程

其中：A（u），B（u），C（u），D（u）为关于u的光滑函数.引入不变集E0＝｛u：ux＝g′（x）F（u）｝，其中：F是由不变条件u（x，0）∈E0⇒u（x，t）∈E0，t∈（0，1）所确定的函数.当u∈E0时，方程有形如

的解.

由E0得下列式子

假定方程（1）在E0中不变，将（3）代入（1）中，得

对（4）两边分别求关于x的偏导数，得

情形1.当g′＝x时，有

对上式两边分别求关于x的偏导数，得

上面方程系数满足的约束条件为

其中：d为任意常数.

下面分情况讨论方程的精确解

（1）令A＝0，F＝uk，（k≠1），则

故方程

有解

（2）令A＝0，F＝u，则

故方程

故方程

有解

（4）令A＝0，F＝e－u，则

故方程

有解

故方程

有解

故方程

有解

故方程

有解

故方程

有解

对（5）两边分别求关于x的偏导数，得

上面方程系数满足的约束条件为

其中：d为任意常数.

下面分情况讨论方程的精确解

（1）令A＝0，F＝uk，（k≠1），则，故方程

有解

（2）令A＝0，F＝u，则C＝0，D＝du－1，故方程utt＝Buxx＋du有解

［1］Raslan K R.The first integral method for solving some important nonlinear partial differential equations［J］.Nonlinear Dynamics，2008，53（4）：281－287.

［2］Qu C Z，Ji L N，Wang L Z.Conditional Lie－Backlund symmetries and sign－invariants to quasi－linear diffusion equations［J］.Studies in Applied Mathenatics，2007，119（4）：355－391.

［3］Fokas A S，Liu Q M.Nonlinear interaction of traveling waves of nonintegrable equation［J］.Phys Rev Lett，1994，72（21）：3293－3296.

［4］Zhdanov R Z.Conditional Lie－Backlund symmetry and reduction of evolution［J］.J Phys A，1995，28（13）：3841－3850.

［5］王明亮，李志斌，周宇斌.齐次平衡原则及其应用［J］.兰州大学学报：自然科学版，1999，35（3）：8－15.

［6］范恩贵，张鸿庆.齐次平衡法若干新的应用［J］.数学物理学报，1999，19（3）：286－292.

［7］Lou S Y，Chen L L.Formally variable separation approach for nonintegrable models［J］.J Math Phys，1999，40（12）：6491－6500.

［8］Qu C Z，Zhang S L，Liu R C.Separation of variables and exact solutions to quasilinear diffusion equations with the nonlinear source［J］.Phys D，2000，144（2）：97－123.

［9］Estevez P G，Qu C Z，Zhang S L.Separation of variables of a generalized porous medium equation with nonlinear source［J］.J Math Anal Appl，2002，275（1）：44－59.

［10］Galaktionov V A.Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities［J］.Proc Roy Soc Endin Sect A，1995，125（2）：225－246.

［11］Galaktionov V A.Groups of scaling and invariant sets for higher－order nonlinear evolution equations［J］.Diff Integer Equation，2001，14（8）：913－924.

［12］Galaktionov V A.Ordered invariant sets for nonlinear equations of Kdv－type［J］.Compute Math Phys，1999，39（9）：1564－1570.

［13］Qu C Z.Symmetries and solutions to the thin film equations［J］.J Math Anal Appl，2006，317（2）：381－397.

［14］Qu C Z，Estevez P G.Extended rotation and scaling groups for nonlinear evlution equations［J］.Nonlinear Anal，2003，52（6）：1655－1673.

［15］Zhu C R，Qu C Z.Invariant set and solutions to higher－dimensional reaction－diffusion equation with source term［J］.Phys Lett A，2006，354（5）：437－444.

［16］Qu C Z，Zhu C R.Invariant sets and solutions to the generalized thin film equations［J］.Sci China A，2007，50（6）：875－886.