赵曜

定积分及微积分基本定理由于各地高考考纲中对考生的要求较低，其在高考中的相关题目大多为基础题型.然而这并不意味着这方面的知识不需要多加练习并熟练运用，因为在高考题尤其是压轴题的不等式证明中，联系定积分及其几何意义往往会有出奇制胜的神奇效果.

先来看一道例题.

例1 证明：12+13+…+1n

分析1 本题要证的结论是一个十分优美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出现并要求考生证明.例如，2014年高考陕西卷理科数学压轴题、2015年高考广东卷理科数学压轴题的证题核心都是上述不等式.

传统的证明方法是将不等式右边裂项，并与左边一一对应寻找关系构造函数求解.

证明1 设函数f（x）=x+ln（1-x），x∈（0，1）时，f′（x）=1-11-x=-x1-x<0，f（x）单调递减，所以f（x）

取x=1n∈（0，1），n∈N+，则有1n

分析2 仔细观察原不等式，不难发现左边的和式中每一项都是函数f（x）=1x的函数值，而右侧则是函数g（x）=lnx的函数值，从而考虑将其看作原函数与导函数，这样一来右侧的原函数便可以看作对导函数的一个积分，再设法将左边与面积相联系，得到如下解法.

证明2 作f（x）=1x的图像（图1），设点（n-1，0），（n-1，1n），（n，0），（n，1n），（n∈N+且n≥2）围成的n个矩形的面积之和（即图中阴影部分）为S1，曲线y=1x，x∈[1，n]与x轴围成的曲边梯形面积为S2，根据图像显然有S2>S1.

又由于S1=1×12+1×13+…+1×1n=

∑ni=21i，S2=∫n11xdx=lnn所以原不等式得证.图1

从上面的证明中，相信大家已经领略到了积分法证明不等式的优美之处.虽然比较之下函数构造法的复杂度不高、计算量也不大，但在分析问题的过程中，通过一目了然的函数图像，积分……