甘大旺

1 调和数列的数学史话

对于用正整数的倒数构成的调和数列

1，12，13，…，1n，…，

历史上不少数学家探究过其中的奥秘.

担任过神学教师、院长的法国数学家奥雷姆（Oresme，1320～1382）以12k（k∈N+）为界用分组法探索它的所有项之和

S=1+12+（13+14）+（15+16+17+18）

+（19+110+…+116）+…

>1+12+24+48+816+…→+∞，

从而证明了调和数列的所有项之和趋向于无穷大，此时称调和数列是发散（不收敛）的.

牧师出身的意大利数学家门戈利（1625～1686）险些被数学界所埋没，他之所以影响至今，是因为他不但通过不等式13k-1+13k+13k+1>1k（k∈N+）分组而巧妙地验证了调和数列的发散性，而且还探究到无穷调和数列交错求和的一个常用结论

1-12+13-14+…-（-1）nn+…=ln2.

担任过法学教授、外交官员、贵族门客的德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646～1716）以调和数列为根基，痴迷地研究着与我国数学家杨辉（活跃于约1370年前后）的三角数表相媲美的调和三角（又称为莱布尼茨三角）

其中，第n行第j列的分数也可以用组合数表示为L（n，j）=1nCj-1n-1（1≤j≤n），而且每个分数是下面一行两个临近分数之和.

莱布尼茨的学生雅各布·贝努利

（Jacob Bemoulli，1654～1716）通过不等式

1n+1n+1+1n+2+…+1n2≥1（n∈N+）

以部分1k2（k∈N+）为界分组推导出调和数列的各项之和

1+12+13+…+1n+…

=1+（12+13+14）+（15+16+…+19+…+1[]25[SX）]）+…

>1+1+1+…→+∞，

从而也验证了调和数列的发散性.

后来，瑞士数学家欧拉（Euler，1707～1783）借鉴英国物理学家、数学家、天文学家牛顿（Newton，1642～1727）和英国数学家泰勒（Taylor，1685～1731）等人的研究方式，发现调和数列当n→∞时的一个精细结论

1+12+13+…+1n=ln（n+1）+C（C≈0.5772），

其中当n越大时C就越递增接近于0.57722.

对于n∈N+，我们可以猜想一个两边夹不等式ln（n+1）<1+12+13+…+1n<1+ln（n+1）.

2 调和数列的翻新今用

以调和数列的数学史料为背景，翻新改编成为竞赛题和高考题，受到命题专家的青睐.

例1 （2007年江苏省复赛题）已知n为……