唐应辉，刘金银，余玅妙

（1.四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都 610066；

2.四川师范大学基础教学学院，四川成都 610066；

3.四川理工学院理学院，四川自贡 643000）

N-控制策略且温储备失效M/G/1可修排队

唐应辉1,2，刘金银1，余玅妙3

（1.四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都 610066；

2.四川师范大学基础教学学院，四川成都 610066；

3.四川理工学院理学院，四川自贡 643000）

把“N-门限值进入控制策略”引入到具有温储备失效和延迟修理的M/G/1可修排队系统，其中在系统处于温储备失效的状态下最多容许N（≥1）个顾客进入系统.利用全概率分解技术和Laplace变换工具，讨论了系统在任意时刻t队长的瞬态和稳态分布，得到了稳态队长分布的递推表达式.同时分别讨论了当N=1与N→∞时的特殊情况.最后，建立了系统单位时间总成本费用函数，通过数值计算例子讨论了最优门限值N∗.

可修排队系统；温储备失效；N-门限值进入控制策略；队长分布；全概率分解

1 引言

在过去的几十年里，国内外众多学者对可修排队系统和休假排队系统进行了广泛深刻的研究，得到了许多有价值的成果［1-5］.随着实际应用的需要，各种各样的休假机制和控制策略被引入到排队系统里面［6-15］.但是，在可修排队系统的研究文献中，多数都是假定服务台在系统闲期内不发生故障（即服务台处于冷储备关闭状态），而实际情况并非如此.事实上，很多系统在空闲时系统不会被完全关闭，相关设备仍然处于较低负荷的运行状态.例如：在雷达系统中，雷达发射机会不停的发射电磁能量经过收发转换开关传送给天线，产生电磁波，利用电磁波的二次辐射、转发或辐射的固有性质来探测目标，获取目标空间坐标、速度、特征等信息，整个系统在没有目标信息反射时仍然处于运转状态.文献［16］首次提出并研究了服务台在闲期和忙期中均可能发生失效的M/G/1可修排队系统，而且服务台在闲期和忙期中具有不同的故障率.对于这类可修排队系统，从排队模型方面讲，不同于文献［1］研究的可修排队系统，从可靠性模型方面讲，又不同于相应经典的可靠性系统模型［17］.文献［18］把文献［16］研究的系统模型推广到成批到达的Mx/G/1可修排队系统，最近，文献［19，20］考虑了在温储备故障状态下到达的顾客以概率p进入的M/G/1可修排队系统，并讨论了该系统的排队指标和可靠性指标.但是，文献［16，18，19，20］都假设服务台在温储备期间发生故障能立即得到修理，而在实际中，由于系统在温储备期间工作人员可能不在岗（因为系统处于空闲期间），因此系统在温储备期间发生故障时不会立即被发现，从而发生温储备故障的系统就得不到立即修理.因此，考虑服务台系统闲期发生温储备故障而不能立即得到修理是有实际背景的.为了预防在温储备故障期间过多的顾客进入造成系统拥挤和顾客等待时间的延长，减少整个系统的成本，在温储备故障期间对进入系统的顾客数进行限制是非常必要的.因此，本文首次将“N-门限值进入控制策略”引入到具有温储备故障且不能立即得到修理的M/G/1可修排队系统，考虑在温储备故障的状态下最多容许N（≥1）个到达顾客进入系统的情况，使用全概率分解方法和Laplace变换（简称L变换）工具，借用更新过程理论，分别讨论了系统的瞬态队长分布和稳态队长分布，并分析了当N=1和N→∞的特殊情况.最后，结合更新报酬理论建立了系统单位时间的费用结构目标函数，用数值实例讨论了系统的最优控制阈值N∗.

2 模型描述

系统的模型描述如下：

1）服务台有两类故障（两类故障修复后完全恢复相应功能）：服务台在服务员的“广义忙期”中发生的故障，称为服务台的“第一类故障”，其寿命X服从负指数分布X（t）=1-e-αt，0≤α＜∞.服务台发生“第一类故障”可得到立即修理，其修理时间Z的分布函数是任意分布Z（t）=Pr｛Z≤t｝，t≥0，且设平均修理时间为β1（0≤β1＜∞）.服务台在系统闲期中发生温储备故障，称为“第二类故障”，其温储备寿命为一般分布Y（t）=Pr｛Y≤t｝，t≥0，服务台发生温储备故障时得不到立即修理，只有在有顾客到达系统需要服务时才发现服务台是否正常.如果服务台没有发生温储备故障，到达的顾客立即接受服务，系统转入服务员的“广义忙期”状态，若服务台已经发生了温储备故障，此时开始修理已温储备的服务台，到达的顾客只有等服务台修好后再接受服务.服务台温储备故障的修理时间V有任意分布V（t）=Pr｛V≤t｝，t≥0，且设平均修理时间为β2（0≤β2＜∞）.

2）系统在服务台处于温储备故障的修理期间内采取“N-门限值进入控制策略”：在温储备故障的修理期间内最多允许N-1个到达顾客进入，即如果在此时间内到达的顾客数大于N-1，则系统就从第N-1个到达的顾客进入系统时刻起，禁止后面到达顾客进入系统，等温储备失效的系统修复完后，重新允许到达顾客进入系统.而在服务员的“广义忙期”中到达的顾客仍然可以完全进入系统.

3）到达时间的间隔｛τn,n≥1｝独立同负指数分布F（t）=1-e-λt，t≥0.顾客实际所需的服务时间｛χn,n≥1｝独立同一般分布G（t）=Pr｛χn≤t｝，t≥0，且平均服务时间设为µ-1（0＜µ＜∞）.

4）服务台在服务员的“广义忙期”中发生“第一类故障”时，正在接受服务的顾客需要等待其修复，再继续接受服务，已服务过的时间仍然有效，且假定随机变量τ,χ,X,Z,Y,,V是彼此独立的.

3 系统队长的瞬态概率分布和稳态概率分布

将式（2）代入式（1）可得

由于

由式（5）和式（6）整理化简即可.证毕.

定理2对Re｛s｝＞0，有

1）当j=1,2,...,N-1时，

2）当j=N时，

3）当j=N+1,N+2,...时，

证明1）当j=1,2,...,N-1时，时刻t队长为j，则时刻t可能落在服务员的“广义忙期”也可能落在第二类故障的修理期，且满足队长为j，利用全概率分解技术，可得

由于

由文献［5］可得

其中Qj（t）由文献［5］的4.2节给出，j≥1.

将式（13）～式（15），取Laplace变换整理可得

将式（17）代入式（16），整理即可得到式（7）.

2）当j=N时，时刻t可能落在服务员的“广义忙期”且队长为N，或时刻t落在第二类故障的修理期内且队长为N（此时在第二类故障的修理期内到达的顾客数大于或者等于N-1），于是，同理可得

将式（19）代入式（18），再取Laplace变换，整理即可得到式（9）.

3）当j≥N+1时，时刻t队长为j当且仅当时刻t落在服务员的“广义忙期”中且队长为j，同理可得

将式（21）代入式（20），作Laplace变换，整理即可得到式（11）.证毕.

当j=0时，由式（5）与式（6），利用罗比达法则可得

当j=1,2,...,N-1时，由式（7）和罗比达法则可得

综上所述，当j=1,2,...,N-1时，pj=0，当j=N与j≥N+1时，同理可得pj=0.当＜1时，由文献［19］引理2.1，有此时有

下面证明当eρ＜1时，｛pj,j≥0｝构成概率分布.事实上，

经计算得

至此，新时代新重庆牢记“四个扎实”，立足“两点”定位，加快“两地”建设，以重庆人的“坚韧顽强、开放包容、豪爽耿直”的精气神努力实现“两高”目标。全市上下团结一致、沉心静气，全面贯彻新发展理念，统筹推进“五位一体”总体布局，协调推进“四个全面”战略布局，以供给侧结构性改革为主线，扎实做好稳增长、促改革、调结构、惠民生、防风险各项工作，坚决打好“三大攻坚战”，大力实施“八项行动计划”，努力打造“山水之城，美丽之地”，不断提升人民群众的获得感、幸福感、安全感，奋力把党的十九大精神和习近平总书记的殷殷嘱托全面落实在重庆大地上。

将式（28）～式（30）代入式（27），整理即可.证毕.

定理4令P（z）表示稳态分布｛pj,j=0,1,2,...｝的概率母函数，则当＜1时，有

而且平均队长为

于是整理可得

推论1当N=1时，此时相当于在服务台第二类故障的修理期间到达的顾客禁止进入系统，则当＜1时，稳态分布｛pj,j=0,1,2,...｝为

其母函数为

且平均队长为

推论2当N→∞时，相当于服务台在第二类故障的修理期内到达的顾客全部进入系统，则当＜1时，稳态分布｛pj,j=0,1,2,...｝为

证明当N→∞时，由式（22）与式（23），并注意到此时有ΔN=λβ2，Δ=1+λy（λ）β2，F（N-1）（t）=0，并且有

然后代入相应式子整理即可.证毕.

4 费用结构函数与最优N∗的讨论

假设系统费用结构为：

1）顾客在系统中逗留（包括等待和服务）单位时间的成本费用为h个单位；

2）第一类故障服务台单位时间的维修费用为cz个单位，第二类故障服务台单位时间的维修费用为cv个单位；

3）在一个周期内的固定消耗费用为c0个单位.

记C（N）为系统在该策略下，长时间运行单位时间内所产生的费用.由更新报酬理论［21］知

下面计算一个更新周期的期望长度与一个更新周期内成本期望费用.

令A表示在服务员的“广义忙期”开始时系统内的顾客数，bj=Pr｛A=j｝，由系统模型假设可知，1≤j≤N，于是

则在服务员的“广义忙期”开始时系统内的平均顾客数为

由顾客到达过程是参数λ的Poisson流，可得系统闲期I的平均长度为

由模型的描述可知，系统的一个更新周期是指从一个服务员“广义忙期”结束时算起，直到下一个相邻的服务员“广义忙期”结束为止的这段时间.容易知道，若服务台在系统闲期中不发生温储备故障，系统的一个更新周期是一个系统闲期长度I与一个服务员“广义忙期”长度eBA之和；若服务台在系统闲期中发生温储备故障，系统的一个更新周期是一个系统闲期长度I，一个第二类故障修理时间长度V与一个服务员“广义忙期”长度eBA之和.因此系统的一个更新周期的期望长度为

一个更新周期内的期望费用由以下几个部分组成：

1）单位时间内在系统中逗留顾客的成本期望费用为hL，其中L由定理4给出；

2）服务台在一个更新周期内的第一类故障修理期望费用为E［Z］E［eBA］cz/（E［X］+E［Z］）；

3）服务台在一个更新周期内的第二类故障修理的期望费用为E［V］y（λ）cv；

4）一个更新周期内的固定消耗费用为c0.

于是在一个更新周期内的系统单位时间成本期望费用C（N）为

下面通过数值计算例子来讨论最优阈值N∗，取G（t）=1-e-µt，0≤µ＜∞，Z（t）=1-e-γt，0≤γ＜∞，Y（t）=1-e-θt，0≤θ＜∞，V（t）=1-e-βt，0≤β＜∞.代入到C（N）的表达式，经化简整理得

取参数λ=1.0，µ=2.0，α=0.6，γ=2.0，θ=0.1，β=0.6，h=20，c0=500，cz=50，cv=20.表1和图1分别给出了在不同的控制策略阈值N下系统单位时间的运行费用（数值结果保留小数点后4位）.

表1 不同的控制策略阈值N下系统运行的单位时间平均费用Table 1The long-run expected cost per unit time against different threshold value N

图1 控制策略阈值N对单位时间平均费用的影响Fig.1The influence of the long-run expected cost per unit time against threshold value N

5 结束语

本文将N-门限值进入控制策略首次引入到“具有温储备失效的M/G/1可修排队系统”中，使得模型更加符合实际情况，推广了具有温储备失效可修排队系统的研究模型.利用全概率分解技术和更新过程理论，讨论了系统队长的瞬态与稳态分布.在此基础上，结合更新报酬理论，建立了在该控制策略下，系统长期运行单位时间所产生的费用目标函数表达式，并通过数值计算讨论了最优N∗，使得本文的研究有了更好的应用价值.

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［21］Ross S M.Stochastic Processes［M］.2nd Edition.New York：Wiley，1996.作者简介：

唐应辉（1963-），男，四川广安人，博士，教授，研究方向：系统可靠性，排队论和决策理论，Email：tangyh@uestc.edu.cn；

刘金银（1988-），男，四川自贡人，硕士，研究方向：系统可靠性和排队论，Email：liujinyin2006@126.com；

余玅妙（1979-），男，湖北沙市人，博士，副教授，研究方向：排队论，可靠性，随机库存理论等，Email：mmyu75@163.com. **********************************************************************************************

M/G/1 repairable queue with N-control policy and warm standby failure

Tang Yinghui1,2，Liu Jinyin1，Yu Miaomiao3

（1.School of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
2.School of Fundamental Education，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
3.School of Science，Sichuan University of Science and Engineering，Zigong 643000，China）

This paper considers an M/G/1 repairable queuing system with warm standby and delayed repair，in which the“N-threshold entering-control policy”is introduced.In such a policy，at most N（≥1）customers are allowed to enter into the system during the warm standby failure period.By the total probability decomposition technique and the Laplace transform，this paper discusses the transient queue length distribution and the steady state queue length distribution at any time t，and obtain the recursion expression of the steady state queue length distribution.Moreover，This paper also considers some special cases when N=1 and N→∞.Finally，the total long run expected average cost per unit time for the system is developed，and the optimal threshold N∗is determined by numerically examples.

repairable queueing system；warm standby failure；N-threshold entrance control policy；queuelength distribution；total probability decomposition

O213.2；O226

A

1000-5781（2015）06-0852-13

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.013

2013-08-26；

2013-11-28.

国家自然科学基金资助项目（71171138；71571127；71301111）.