尚文芳

（郑州大学商学院，河南郑州 450001）

两阶段需求相关供应链的价格折扣式期权契约

尚文芳

（郑州大学商学院，河南郑州 450001）

将销售季节划分为具有相关性的两阶段，基于价格折扣研究了如何采用采用期权契约协调供应链，验证了价格折扣式期权虽然能够协调供应链却并不受供应商青睐；提出了基于退货策略的价格折扣式期权同样能够实现供应链协调.通过数值试验，发现允许未售出的产品在销售旺季结束时退货的价格折扣式期权能有效地提高供应链整体及其成员的利润，且在需求相关程度的加强和信息更新位置的延后时，效果更好，尤其是对供应商.

需求相关；供应链协调；期权契约；价格折扣；退货策略

1 引言

品牌女装销售商通常会在销售季节开始后观察第一阶段销售情况，据此判断第二阶段是否需要补充订货.此外，成品女装的加工时间往往不过2～7周时间，但是面辅料的获取过程却历时16～20周.这说明，销售季节一旦到来，供应商将无法再采购到原材料.与此类似的还有一些电子类产品，比如美国ITT公司，由于某些产品原材料的不易获取性，通常要求其供应商提前相当长的时间满足其常规订货量并准备部分原材料，但却经常发现原材料的备货量超出了实际产品的需求量.而原材料的不易获取性以及产品的短生命周期特点决定了持有原材料的风险比较大.解决上述问题的一种重要方法是销售商在提前期确定销售季节中两阶段的常规订货量，同时购买一部分期权，以分担供应商持有原料的风险.这是Barnes-Schuster等［1］提出的方法，但其无法协调“持有原材料比持有成品更经济”的情形：销售季末成品残值与加工成本的差值小于原料残值.值得肯定的是，Barnes-Schuster等［1］所作的讨论和分析为期权契约研究起到了重要的推动作用，近些年的研究几乎都是在其基础上进行延伸和扩展［2-10］，但遗憾的是，这些后续研究都没有针对Barnes-Schuster等［1］无法协调的情形做出进一步的讨论.基于此，本文将针对Barnes-Schuster等［1］无法协调的情形继续完善和补充期权契约.

文献［1］的核心特点之一是将销售季节划分成两个阶段，且第二阶段市场需求依赖于第一阶段需求及其实现情况，即两阶段需求具有相关性，因此，首先对与此有关的文献进行回顾与分析，Milner等［11］考虑了两阶段需求相关时订货量过少与过多的惩罚与奖励机制；王圣东等［12,13］讨论了两阶段需求具有相关性时报童模型中的最优订购决策；Zhou等［14］在两阶段需求相关的前提下讨论延迟策略的优势；Zhang等［15］考虑了小批量订单与大批量订单之间的相关性，在其前提下研究联合补货策略.然而，这些研究讨论的都是销售商角度的单边决策问题，而不属于供应链角度的整体协调问题.Zhao等［16］在序列自相关的基础上研究承诺提前订购策略的最佳时点以及是否能够大幅缩减成本，虽然其属于供应链协调研究，但其应用的前提条件为生产提前期比较短，两阶段需求相关性比较弱.这与文献［1］中前提条件“生产提前期比较长”、“需求相关性不作特别限定”并不相同.因此，无法用来解决其遗留问题.此外，文献［17-20］也考虑了两阶段需求相关型供应链的协调机制，但其考虑的相关性是指第一阶段产品缺货后导致第二阶段替代品需求上升的情形，同样无法用来解决文献［1］涉及的持有原材料更经济时的供应链协调.

基于此，本文在两阶段需求相关前提下针对原材料持有更经济的情形提出新的订货策略：提前期内只确定销售季节第一阶段的常规订货量，对其第二阶段的市场需求则通过购买期权的形式进行预订，以支付期权购买费用的方式分担供应商持有原材料的风险，但考虑到期权购买量全部在销售季节中需求信息更新后才启动准时制供应的成本过于昂贵，供应商要求销售商承诺一个最小的期权执行量.对于该数量，供应商在提前期内以普通模式进行加工，生产成本较低；而当需求信息更新后期权执行量大于该数量时，供应商再启动准时制模式满足差额需求（期权执行量与承诺的最小执行量的差值），此时生产成本较高.由于启用不同生产模式应对期权的执行，因此期权购买价格应该以承诺的最小期权执行量为界而有所区别，期权执行价格亦如此.这与文献［16，21-23］所讨论的提前期内承诺订购的策略相似，特别是与Cachon［21］和Sethi等［22］对于提前期内承诺订购量实施价格折扣策略的逻辑相似，因此，将之称为“价格折扣式期权契约”.实际上，提前期内承诺购买享受价格折扣的策略在自动化和承包制造行业中已有普遍应用［23］.此外，本文通过数值试验讨论价格折扣式期权契约的稳定性和应用价值，考虑两阶段需求相关性和需求信息更新位置对协调效果的影响.

2 价格折扣式期权契约模型描述

考虑销售季节中两阶段需求具有相关性的单供应商和单销售商组成的二级供应链.供应商和销售商的决策过程属于Stackelberg博弈，销售商作为供应商的决策跟随者，二者之间信息对称.销售商第一阶段未售出产品可以在第二阶段继续销售；销售季节中两阶段发生缺货时需核算缺货成本，销售季末如有剩余产品则考虑让其流入二手市场，并核算其价值.

如图1所示，销售商需要在提前期内确定常规订货量和期权购买量，但同时承诺最小执行量；供应商会以普通生产模式应对常规订货量和承诺的最小执行量.销售季节中第一阶段，销售商以常规订货量满足市场需求；需求信息更新后即第二阶段开始时，销售商根据第一阶段需求实现情况确定期权执行量，若执行量大于承诺的最小数量，以准时制方式满足差额部分.由于承诺执行量是以普通模式加工的，对应的购买和执行价格与另一部分期权（差额部分）应有所不同.

此外，文中所涉及到的符号及其意义解释如表1所示.

图1 两阶段需求相关时销售商和供应商决策示意图Fig.1Decision schema between the supplier and the buyer with demand correlation in two stages

表1 符号及变量意义解释Table 1Symbols and explanations

3 价格折扣式期权契约下的供应链协调

为了突出价格折扣式期权的优越性，与Barnes-Schuster等［1］对比起见，着重讨论“持有原材料更经济”时的供应链协调机制，即vs1≥vs2-hm-（c1-cr）情况下的协调机制，本文后面的分析中如果没有特别说明，都是在此条件下进行讨论；此时，由于剩余成品的残值较低，供应商不会将原材料全部在普通模式下加工为成品，只在提前期内以普通模式满足销售商的常规订购量，而在销售季节第一阶段仍以普通模式生产一部分产品以应对销售商期权执行，待到第二阶段再启动快速、昂贵的生产模式应对更多的期权执行量.

3.1 价格折扣式期权契约下的集中决策

其中

定理1两阶段需求相关型供应链的最优策略如下：

1）销售季节中需求信息更新后，实际交货量为

2）第一阶段的常规生产量、第二阶段最小交货量和最大交货量可通过求解如下三个方程得到，即

定理1的证明见附录.

需要说明的是，在上述模型中并没有特别考虑集中决策者关于销售季末的剩余成品会作何处理：是由销售商还是由供应商在二手市场处理？模型只是简单地假设“各人自扫门前雪”，没有考虑当销售商进入二手市场更有利时，即vs2＜vr，成品应以vr计算残余价值.观察模型求解结果可以看出，若以v=max（vs2,vr）替代模型中的vr，并不影响最终的决策效果，也不影响供应链协调（读者可以自行验证，故此处省略）.

3.2 价格折扣式期权契约下的分散决策

分散决策过程中，销售商需要确定常规订购量和期权购买量与执行量.供应商需要确定常规生产量和为了应对销售商期权的执行而以普通模式提前加工的产品数量.

3.2.1 基于价格折扣式期权的销售商决策

持有原材料更经济时，供应商不会将所有原材料提前加工为成品.除了确定期权执行量，销售商还需承诺最小执行量以享受价格折扣.一旦承诺了最小期权执行量，供应商将以普通模式为其加工相同数量的产品；因其成本较低，对应的购买和执行价格也会相应低一些.以利润为目标建立两阶段动态规划模型，即

其中

定理21）需求信息更新后，销售商即第二阶段的实际交货量为

2）常规订货量、最小期权执行量和期权购买量可通过求解如下三个方程得到，即

定理2的证明与定理1类似，证明略.

对比定理2和定理1可以发现，销售商最优订购策略与定理1中所给最优策略在形式上比较相似，决策变量个数也相同，特别是式（3）和式（9）的分段点个数也相同，这意味着此种情形下供应链有协调的可能性，但具体是否能够协调需要往下继续分析.

3.2.2 基于价格折扣式期权的供应商决策

供应商通过满足销售商的常规订货以及期权购买和执行来获得收益，并对剩余原材料进行出清，同时对销售商执行期权后剩余的产品进行残值处理，因此，供应商的利润函数为

定理3表明，结合概率分布函数FD1（·）≤1的特性，q′2所满足的条件是建立在vs1≥vs2-hm-（c1-cr）的前提下，这正是讨论“持有原材料更经济”这一特殊情形的原因所在.此外，根据这一前提，准时制模式下的生产成本与原材料库存成本的差值应大于普通模式下的生产成本，即c2+cr-c1-hm≥0，根据概率分布函数FD1（·）≥0的特性及定理3，应有c2+vs1-vs2，即vs2-c2≤vs1，重新验证了持有原材料更经济这一前提条件.（定理3的证明见附录）

3.3 供应链协调机制

供应链协调是指链上两成员在分散决策系统中各自获得的最优利润之和等于集中决策系统的整体最优利润.具体地，当分散决策系统中最优生产量或订货量等于集中决策系统中的最优生产量或订货量时，系统就达到协调.比如定理1和定理2中，为实现供应链协调，需要使两个定理对应的各个决策变量在任何情况下都相等，倘若式（3）中包含3个分界点，将不可能与式（9）完全相同，因此供应链将不可能实现协调.基于此前提，得到如下的协调机制.

推论1价格折扣式期权契约下，供应链得以协调的价格机制为

容易发现c01-c02=（c1-cr）+hm+vs1-vs2；结合前提条件vs1≥vs2-hm-（c1-cr），可知c01＞c02.事实上，c01意味着销售商实际期权执行量小于承诺最小执行量时所需承担的罚金，此时供应商需要对剩余成品（q2-m）核算残值；c02意味着销售商实际期权执行量小于初始期权购买量所需承担的罚金，此时供应商只需要对剩余的原材料进行残值处理.相比较而言，前一种情形中，损失更为惨重一些，罚金也更高一些，因此有c01＞c02.这意味着理论上所得结论具备了应用于实践的前提条件.此外，根据3.2节定理3及其说明，由式（15）可发现，ce1≤ce2；进一步分析可以发现，c01+ce1=c1+hm，c02+ce2=cr+c2，根据管理实践，准时制模式生产成本更高一些，因此有c01+ce1＜c02+ce2，这意味着对销售商提前期内承诺最小执行量的确实施了价格折扣策略.

4 价格折扣式期权契约与退货策略组合情形下的供应链协调

观察命题1所得供应链协调价格机制可以发现：供应商设定的价格与其需要承担的成本是一致的.这就意味着为了使供应链得以协调，实现总利润的最大化，供应商毫无利润可言.这与原来没有应用协调契约的分散情形相比，供应链的利益受到损害.因此，价格折扣式期权契约虽然能够实现供应链协调，但并不会受到供应商的青睐.在供应链无法得以协调或者供应链虽然得以协调但无法使其成员利润都得到帕累托改进时，退货策略常被用来与原来的契约结合，以达到意想不到的结果.

4.1 组合策略下的集中决策

其中

通过对比可以看出，集中决策模型与3.1节中所描述的在形式上极为相似，不同之处在于，原来的有效残值表达式为v-hr2=max（vs2-hr2,vr-hr2），考虑了退货之后，有效残值可表示为¯v= max（vr-hr2,vs2-h2r-tb）,tb表示退货过程中发生的诸如物流等摩擦成本.

定理41）组合策略下需求信息更新后供应链系统的实际交货量为

2）第一阶段的常规生产量、第二阶段最小交货量和最大交货量可通过求解如下三个方程得到，即

定理4的证明与定理1类似，证明略.

与定理1相比，定理4所给最优策略在形式上有所变化，这意味着具体的供应链协调机制与效果可能会相应发生变化，比如，供应商能够获取正的利润，不再像价格折扣式期权契约下利润为零.

4.2 组合策略下的分散决策

定理51）需求信息更新后，销售商即第二阶段的实际交货量为

2）第一阶段常规订货量、承诺的最小期权执行量和期权购买量可通过求解如下三个方程得到，即

定理5的证明与定理1类似，证明略.

容易发现，定理5所揭示的销售商最优策略与定理2所给最优策略存在本质不同，订货量决策和期权执行量决策都因为退货策略的引入而发生改变.采用与3.2.2节中类似的分析可知，供应商利润函数为

上式中，cb表示供应商接受销售商退货时支付的价格.具体地，式（28）最后一项中的（d1-D1+m-D2）+展开表示为

定理6的证明与定理1类似，证明略.

4.3 供应链协调机制

与3.3节相似，对比集中决策和分散决策下的最优策略，可以得到允许季末退货的供应链期权协调机制.

推论2基于退货策略的期权契约下，供应链协调价格机制为

其中

推论2的证明与推论1类似，证明略.

从式（31）可得到两期权购买价格的差值为c01-c02=κ［（c1-cr）+hm+vs1-vs2-（c2-c1）］；根据前提条件vs1≥vs2-hm-（c1-cr）以及c1＞c2（因为c1包含了原材料成本，而c2只是准时制模式下的额外加工成本，不含原材料成本）可以得到c01＞c02.这与命题1中所揭示的意义是一致的，期权购买价格会因供应商生产成本的高低而有所不同，普通模式下响应期权执行显然比昂贵模式下要低廉一些，更进一步说明了基于退货策略的价格折扣式期权契约具备了应用于管理实践的前提条件.

5 数值试验与分析

考虑原材料出清更经济的情形vs1≥vs2-hm-（c1-cr），通过算例说明基于退货策略的价格折扣式期权契约的优越性.模型中用到的各参数分别为p=10,cr=3,c1=4,c2=2,k1=k2=4,hm=0.8,vs1= 1.8,vs2=3.5,vr=3,µ1+µ2=2000,σ1=0.1µ1,σ2=0.1µ2,h1r=2µ1/（µ1+µ2）,h2r=2µ1/（µ1+µ2）.在这里，考虑两阶段平均需求之和µ1+µ2=2 000的好处在于给定第一阶段平均需求量µ1的值时，相当于给出了销售季节中两阶段的分界点，即需求信息更新位置；当µ1的值发生变化时，即代表需求信息更新位置在发生变动，对应的决策结果就能反映出需求信息更新位置对其的影响.

1）准时制生产附加成本c2对系统最优决策结果的影响

表2 准时制生产附加成本对系统最优生产决策及其利润的影响（µ1=1000,ρ=0.4）Table 2Effects of the extra cost of just-in-time mode on the optimal system processing decisions and the maximum profit

由表2可以看出，随着附加生产成本c2的不断增加，普通模式下为满足销售季节第一阶段市场需求所生产的数量整体上呈现出增长趋势，但变化幅度一直较小，而期权的购买量整体上处于下降状态.当c2＜1时，即时生产的单位成本cr+c2小于普通模式下单位成本c1，此时不需要为第二阶段的需求提前生产，只需备货原材料即可；当1≤c2≤1.5时，原材料备货量Qc保持不变，但是需要为第二阶段需求提前生产部分产品；而当1.5＜c2≤3时，呈现出明显的增加趋势，而原材料的备货量Qc时而增加时而减少，供应链系统利润Πc（q1,q2,Q）整体上呈现下降趋势，尽管c2=2.1时，利润有所提升，而c2≥3时，稳中有升，尽管原材料的备货量Qc变化规律不明显，利润却不断增加；若以最小交货量与最大备货量Qc的比值度量该生产策略的柔性，表2中的结果意味着该柔性随着附加成本c2的上升而逐渐增强，这意味着准时供给越昂贵，两种生产方式组合进行的价值越能体现出来，因为策略的柔性越大.但是生产成本涨到某个程度，比如c2≥4.5时，策略柔性抵不过成本提升的影响，系统利润开始下降.

2）协调契约对最优生产和订货策略的影响

协调前后最优订货策略的变化如表3所示.

表3 协调前后最优订货策略的变化Table 3Optimal ordering policies before and after coordination

表3中的最优订货策略显示，基于退货策略的价格折扣式协调契约下，若信息更新位置µ1保持不变，两阶段需求相关性增强时，订货量和承诺的最小期权执行量随之增加，期权购买量M∗呈现出持续下降的规律；若需求相关程度保持不变而信息更新位置靠后时，销售商提前期内订货时点距离信息更新位置更远一些，常规订货的风险增加，因此会有所下降，期权购买量M∗和承诺的最小期权执行量反而都有所增加.以/M表示期权契约的补货柔性，从表3可以看出，随着需求相关程度的增强和信息更新位置的延后，补货柔性都呈现出增长趋势，即契约的价值在逐渐增大.无协调契约时，销售商订货量随着相关程度的加强和信息更新位置的延后不断上升.原因在于相关程度的加强，给予决策者一定程度的心理预期，会促使其增加订货，以应对第二阶段的市场需求；但是信息更新位置的延后，使得提前内的订货决策点距离信息更新位置更远一些，需求预测的不确定性增加，决策者往往会增加订货量作为对策，比如，µ1从800变为1 000时，由1 257增加为1 292.

表4 协调前后最优生产策略的变化Table 4Optimal processing policies before and after coordination

3）协调契约对供应链系统利润的影响

从图2中可以看出，需求更新位置保持不变时需求相关程度的加强，使得协调前供应链利润Πc0呈现出持续上升的趋势；但当相关程度不变而需求信息更新位置不断延后时，供应链利润Πc0却持续下降.协调之后的情况发生了明显变化，从图3可以发现，当相关系数ρ=0.1时，随着µ1的不断增加，即需求信息更新位置的不断延后，协调后的供应链系统利润Πc虽然开始不断下降，但在µ1=1600时又呈现增加趋势；相关系数ρ=0.2时，µ1的增加带来系统利润的不断下降，在µ1=1400时转为增加；ρ=0.3时，利润在µ1=1200时由下降转为上升；ρ=0.4时，利润拐点在µ1=1000.这意味着，随着相关程度的增强，利润从下降转为上升的拐点越来越靠前，比如在ρ=0.9时，µ1在区间［0，2000］不上断增加时，系统利润Πc完全呈现出持续增加的趋势.这与协调前是完全不同的.这意味着基于退货策略的期权协调契约改变了利润持续下降的态势，而且随着相关程度的加强，从拐点位置的不断靠前可以看出，这种改变程度愈来愈明显.

此外，当µ1=0时，销售季节无阶段划分，此时利润值恒定，均为11 036.88，这正是报童模型下的供应链利润.容易发现，两阶段需求相关程度较弱时，系统利润值都小于µ1=0时所对应的11 036.88，表明相关程度不强时，将销售季节划分成两个阶段采用组合策略的价值不大，甚至可能使供应链和成员的收益受损；值得肯定的是，虽然作用不够明显，但仍然改变了利润持续下降的趋势，给予了上升的可能.

图2 协调之前供应链利润变化情况Fig.2Change trends of supply chain profit without coordination

图3 协调之后供应链利润变化情况Fig.3Change trends of supply chain profit with coordination

4）协调后系统利润增量及其在成员间的分配

图4和图5分别表示协调之后供应链及两成员利润增加情况和系统利润增量在成员间的分配.

图4表明，基于退货策略的期权契约下，供应链利润在需求相关程度比较低时（ρ＜0.3）几乎没有改进，特别是需求信息更新位置比较靠前（比如µ1≤600）时，供应商利润增量为负值，即没有增加反而减少；但随着需求信息更新位置不断延后，无论需求相关程度强弱，供应链利润都明显增加，意味着推迟第二阶段需求决策时点有利于组合期权策略发挥更好的协调作用，比如，ρ=0.1时，µ1=1 000时对应的系统利润大于µ1=800时的对应值；ρ=0.3,0.5,0.7,0.9时也有同样的结果.此外，无论第二阶段决策时点位置如何，需求相关程度较强时，基于退货策略的期权契约发挥作用更明显，比如µ1=200时，ρ=0.5时对应的系统利润大于ρ=0.3时的对应值；µ1=400,600,...,2 000时也有同样的结果（为简便起见，µ1= 1 200,1 400,...,2 000的情况没在图上体现出来，因为规律与µ1=200,400,...,1 000时一样）.再者，单从销售商来看，其利润变化情况并不是很明显，而供应商利润与系统利润的变化规律趋于相同.

结合图5，容易发现，系统利润增量在成员间的分配随着需求相关程度增强和信息更新位置延后都更有利于供应商，而销售商分配到的增量比例呈现出不断下降的趋势.这也是基于退货策略的期权契约与第3节中的期权策略的区别所在，3.3节中的式（15）及对应分析表明，价格折扣式契约下由于所获收益与所付成本正好相同，使得供应商从协调中一无所获；而组合退货策略后，供应链利润在获得提升的同时，两个成员的利润也都得到了改进，尽管更受供应商青睐，但销售商利润相对于协调前有正方向增量，对其仍具吸引力.此外，图5与图4相比，并没有标识出ρ=0.1时的情况.从图5可以看到，协调契约在相关性较低（比如ρ=0.1）时的作用并不理想，供应商利润相比协调前有所下降，将其所占系统利润增量比例（绝对值相当大的一个负值）放在图5中无法清晰呈现出整体的变化规律.

图4 协调之后供应链及两成员利润增加情况Fig.4Profit improvements of the supply chain and the two members after coordination

图5 协调之后系统利润增量在成员间的分配Fig.5Allocations of system extra profit between the two members after coordination

6 结束语

本文通过提前期内承诺最小期权执行量并享受价格折扣的方式协调两阶段需求相关型供应链，着重讨论了“持有原材料比持有成品更经济”的情形：销售季末成品残值与加工成本的差值小于原料残值.对比价格折扣式期权下的集中决策与分散决策，得到了供应链协调机制，虽然能够最大化供应链整体利润，但供应商从协调中一无所获，且其自身利润为零；引入了退货策略后，供应链得到协调的同时确保了供应商的利润，因此针对后者的组合策略进行数值实验与分析，结果表明：1）准时制生产的附加成本上升时，契约的协调效果较为明显，供应链整体利润随之增加，但当该成本持续上升到一定程度时，契约的柔性价值抵不上成本的负面影响，供应链利润有所下降.2）随着两阶段需求相关程度的增强和需求信息更新位置的延后，协调的必要性和契约的柔性都有所增加，契约的价值将更能发挥出来.3）无协调契约时，供应链整体利润虽然随着需求相关程度的增强而增加，但随着需求信息更新位置的延后而持续下降，但协调契约的引入，为其提供了上升的可能，并且随着需求相关程度的增强，利润由下降转为上升的位置越来越靠前.4）协调契约使供应链整体及其两成员利润得到了帕累托改进，但这种改进在需求信息更为较为靠前且两阶段相关程度不够强时并不明显，但随着相关程度的加强和信息更新位置的靠后，供应链整体和供应商利润改进幅度不断加大，并且系统利润增量的多数由供应商享有，这充分说明了基于退货的组合策略比纯粹的价格折扣式期权更受供应商青睐；销售商利润也能够得到改进，只是改进幅度比较均匀.

本文虽然没有考虑“持有成品比持有原材料更经济”的情形，但容易证明价格折扣式期权同样能够协调此情形下的供应链，这说明了价格折扣式期权协调契约相比经典文献［1］所描述的期权契约所体现出来的全面性和优越性.此外，两阶段需求相关的特性在网络直销过程中体现的比较明显，甚至两阶段需求在网络购买评价的影响下呈现负的相关性，价格折扣式期权在此种情况下是否有协调价值、是否适应于基于网络销售的双渠道供应链协调需要进一步探究.因此，笔者将在双渠道供应链前提下对其作进一步的研究.

［1］Barnes-Schuster D，Bassok Y，Anupind R.Coordination and flexibility in supply contracts with options［J］.Manufacturing and Service Operations Management，2002，4（3）：171-207.

［2］Zhao Y X，Wang S Y，Cheng T C E.Coordination of supply chains by option contracts：A cooperative game theory approach［J］. European Journal of Operational Research，2010，207（2）：668-675.

［3］Huang H Y，Sethi S P，Yan H M.Purchase contract management with demand forecast updates［J］.IIE Transactions，2005，37（8）：775-785.

［4］Wang Q Z，Tsao D B.Supply contract with bidirectional options：The buyer's perspective［J］.International Journal of Production Economics，2006，101（1）：30-52.

［5］Wang Q Z，Tang O，Tsao D B.A flexible contract strategy in a supply chain with an inflexible production mode［J］.International Journal of Operational Research，2006，1（3）：228-248.

［6］Weng Z K.Coordinating order quantities between the manufacturer and the buyer：A generalized newsvendor model［J］.European Journal of Operational Research，2004，156（1）：148-161.

［7］Xu N X.Flexible supply policy with options and capacity constraints［J］.Operations Research Letters，2006，34（5）：508-516.

［8］Zhao Y X，Ma L J，Xie G，et al.Coordination of supply chains with bidirectional option contracts［J］.European Journal of Operational Research，2013，229（2）：375-381.

［9］佟斌，郭琼，潘新.基于需求预测的供应链期权式契约协调［J］.系统工程，2006，24（11）：13-18.

Tong Bin，Guo Qiong，Pan Xin.Supply chain coordination with option contracts under demand updating［J］.SystemsEngineering，2006，24（11）：13-18.（in Chinese）

［10］李娟，黄培清，赵晓敏.基于更新信息的两级供应链双向期权合同研究［J］.系统工程学报，2008，23（3）：295-301.

Li Juan，Huang Peiqing，Zhao Xiaomin.Study on bidirectional options contract on two-stage supply chain based on updated information［J］.Journal of Systems Engineering，2008，23（3）：295-301.（in Chinese）

［11］Milner J M，Rosenblatt M J.Flexible supply contracts for short life-cycle goods：The buyer's perspective［J］.Naval Research Logistics，2002，49（1）：25-45.

［12］王圣东，周永务.带有两次订购机会且两阶段需求相关的Newsboy模型［J］.控制与决策，2009，24（5）：706-716.

Wang Shengdong，Zhou Yongwu.Newsboy model with two ordering oppotunities and coorelated demand between two periods［J］. Control and Decision，2009，24（5）：706-716.（in Chinese）

［13］王圣东，汪峻萍，周永务.两阶段需求相关的动态易逝品最优订货策略［J］.控制与决策，2013，28（4）：579-584.

Wang Shengdong，Wang Junping，Zhou Yongwu.Optimal order policy for dynamic perishable product with demand correlation between two periods［J］.Control and Decision，2013，28（4）：579-584.（in Chinese）

［14］Zhou W H，Wang W X，Zhang R Q.A two-stage queueing network on form postponement supply chain with correlated demands［J］. Applied Mathematical Modelling，2014，38（11）：2734-2743.

［15］Zhang R Q，Kaku I，Xiao Y Y.Model and heuristic algorithm of the joint replenishment problem with complete backordering and correlated demand［J］.International Journal of Production Economics，2013，139（1）：33-41.

［16］Zhao X D，Xie J C，Wei J C.The value of early order commitment in a two-level supply chain［J］.European Journal of Operational Research，2007，180（1）：194-214.

［17］Mahajan S，Ryzin G.Inventory competition under dynamic consumer choice［J］.Operations Research，2001，49（5）：646-657.

［18］Smith S A，Agarwal N.Management of multi-item retail inventory systems with demand substitution［J］.Operations Research，2000，48（1）：50-64.

［19］Ganesh M，Raghunathan S，Rajendran C.The value of information sharing in a multi-product supply chain with product substitution［J］.IIE Transactions，2008，40（12）：1124-1140.

［20］Ganesh M，Raghunathan S，Rajendran C.The value of information sharing in a multi-product，multi-level supply chain：Impact of product substitution，demand correlation，and partial information sharing［J］.Decision Support Systems，2014，58（2）：79-94.

［21］Cachon P G.The allocation of inventory risk in a supply chain：Push，pull，and advance-purchase discount contracts［J］.Management Science，2004，50（2）：222-238.

［22］Sethi S P，Yan H，Zhang H.Quantity flexibilty contracts：Optimal decisions with information updates［J］.Decision Sciences，2004，35（4）：691-711.

［23］Lian Z T，Deshmukh A.Analysis of supply contracts with quantity flexibility［J］.European Journal of Operational Research，2009，196（2）：526-533.

附录

定理1证明1）结合管理实践作如下分析：

（a）当u≤q2时，第二阶段的供应链总利润为

πc（q1，u）关于u的二阶导数为

因此，根据πc（q1，u）对u的一阶最优性条件可得

（b）当u＞q2时，第二阶段的供应链总利润为

对πc（q1，u）作极大化处理可得

结合第二段交货量的分段特点，可得定理1中所描述的最优交货量.

2）根据第二阶段交货量的最优结果，得到对应的yc值，即

因此，第二阶段的供应链总利润为

结合Πc（q1），可得到Πc（q1，q2，Q）关于q1，q2和Q的一阶最优性条件为

再将式（40）～式（42）中三个最优性条件整理即得定理1中所给结果.证毕.

定理3证明Πm对q2的一阶和二阶导数分别为

上述式子只在vs2≤vs1+hm+（c1+cr）成立时才有意义，只有如此才能满足分布函数FD1（·）≤1的基本性质.

记满足上述表达式的q2为，那么供应商最优决策为实际上，vs2＞vs1+hm+（c1+ cr）时，供应商会使用普通模式加工所有产品，即q2=M，而此结果已经包含在中.证毕.

对上述关系式进行整理，即可得推论1中的协调价格机制.证毕.

Coordination by option contracts with price discount for supply chains with related demand

Shang Wenfang

（School of Business，Zhengzhou University，Zhengzhou 450001，China）

This paper focuses on how to adopt price-discount option contracts to coordinate the supply chain with related demand in the two phases of sales season.It proves that the contracts can coordinate the chain but is not favored by thesupplier.Moreover，the paper proposes that the price-discount option contracts based on the return policy can also achieve coordination.Numerical experiments are implemented and illustrate that the price-discount option contracts，allowing that the unsold products can be returned at the end of the sales season，is quite effective in improving the profits of the whole chain and its two members.When the demand-related coefficient is raised and the information updating location is delayed，the effects are much better，especially for the supplier.

demand relevant；supply chain coordination；option contracts；price discount；return policy

F274

A

1000-5781（2015）06-0804-17

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.009

尚文芳（1980-），女，河南南阳人，博士，副教授，研究方向：供应链协调与优化，Email：wenfangshang@126.com.

2014-01-18；

2015-04-09.

国家自然科学基金资助项目（71301150；71272207）；郑州大学优秀青年教师发展基金资助项目（1421301093）.