罗 纯， 张应山

（1.上海应用技术学院理学院，上海 201418；2.华东师范大学金融与统计学院，上海 200241）

多边矩阵的集团关系序及其优化应用
——处理复杂系统的新思维系列之二十六

罗 纯1， 张应山2

（1.上海应用技术学院理学院，上海 201418；2.华东师范大学金融与统计学院，上海 200241）

基于《多边矩阵理论》，由东方整体性思维所启迪，试图提供并完善一套从整体到局部处理复杂系统多指标、非均匀性和非线性问题的强有力的数学工具，并对其进行严格的理论推导和证明.作为系列论文的第26篇，介绍了多边矩阵的集团关系序概念，给出了基于集团关系序的多边矩阵算法，证明了该算法是求解集团关系序优化问题的简单方法，并且分析结论具有再现性.作为应用，利用集团关系序多边矩阵，解决了对多种集团关系序结论的综合优化问题，并说明如何压缩综合优化的集团类，才能使得分析结论具有再现性.

多边矩阵；关系链；集团关系序；集团关系序多边矩阵；关系序优化

东方整体性思维逻辑的基本内容是象数学逻辑［1］，主要对复杂系统的关系运算进行研究，按照象数学研究的关系类型，把研究对象分成象空间（复杂系统的输出变量空间）和卦空间（复杂系统的输入变量空间）两部分.卦空间内的变量无大小关系，只是一些符号，这些符号与人类选取卦空间内的数据方式无任何关系.但象空间可比较大小，从而可研究其关系序.象数学认为在象空间的任何2个要素xi和xj之间一般具有3种关系序状态：按某种关系R，xi优于xj，记为等价于xj，记为劣于j，记为.研究这些状态的目的是为了识别研究对象的实病、虚病和正常的3种状态.该种分类方法是比类取象的基本内容之一，与西方研究序的目的不一致.西方科学研究序的目的是为了把研究对象排成一个开放的链集合，用于选优，追求研究对象的细微差别，而象数学利用关系序3种状态把研究对象排成一个集团关系链集合，在要求分析结论具有再现性的条件下，追求研究对象的各个集团分类之间的本质差别，以确定复杂系统的稳定平衡状态.

文献［2］和［3］中分别研究了三指标、四指标问题的运算法则，并将其推广到一般多边矩阵运算的场合；文献［4］中以多边矩阵的基阵和置换矩阵为工具研究了多边矩阵的一般运算法则；文献［5］中研究了多边矩阵广义交叉乘法的一般运算法则；文献［6］中利用上述运算法则研究了多边矩阵的关系距离优化问题.本文关注的是关系序问题，关系序与关系距离概念一样，在东西方文化的不同领域中，有着不同的含义.在西方文化领域中的各种序不但与研究对象有关，而且与研究者采用的距离概念有关；在东方文化领域中的各种序实际上是一个集团关系序，其不但与研究对象基本无关，而且与研究者采用的距离概念基本无关，只和关系距离有关.

文献［7］和［8］中首次提出了集团序的概念，随后有相当多的文献研究该问题.如文献［9］中就对集团序进行了进一步研究，主要解决“对于同样的问题，具有多种集团序结论”的综合优化问题，主要采用文献［10］与文献［7］和［8］中的方法相结合进行研究.从本质上，集团序概念是中国传统科学中的核心概念之一，俗称比类取象，集团的传统称呼是类.它要求在研究复杂问题时，首先要把研究对象粗化成类，通常分成3类：优、中、差，然后研究其关系序.这种关系序一般与研究对象无关，仅仅与关系的一般定义有关，其概念来源于中国传统科学——象数学逻辑［1］，此是和研究对象无关的逻辑，称为不自生逻辑，其理论根据是：象或道与人类的行为无关，人类无法通过对研究对象提出假设，然后根据假设来论证象或道的好坏与真假；人类只能在对研究对象无假设的条件下，采用某种复杂系统的逻辑模型——多边系统，对象或道进行识别；人类采用的复杂系统的逻辑模型可以不同，但最终得到的结论基本一致，都基本同于研究对象的客观真实结论，即任何基于不自生逻辑的分析结论都具有再现性.因此，基于不自生逻辑的结论适用于任何研究对象.而西方科学的序概念根据研究对象定义序，首先对具体研究对象观测，提出公理或假设，为了以后的继续推理而提出的序概念；这种序的定义与观测者的行为有关.这种根据具体研究对象提出假设（包括公理假设），然后进行推理的逻辑，称为自生逻辑.因此，基于自生逻辑的结论只适用于关注的具体研究对象，甚至与观测者的序的定义有关，不同的研究者采用不同的序定义进行推理论证，可能产生不同的分析结论，即任何基于自生逻辑的分析结论不一定具有再现性.

由集团序的所有研究可知：“集团序”概念是东西方文化的结合产物，多数文献提出的分析方法，基本与假设或研究者的行为有关，分析结论的再现性不足.尽管许多文献的分析方法再现性不足，但还是包含着重要的东方文化思想，与基于西方文化的序概念的分析方法相比较，还是有很大的改进.为了加深对中国传统科学——象数学逻辑的理解，也为了加深对多边矩阵的一般运算法则的理解，更为了保证这些运算能够准确地应用于任何复杂系统，本文将给出集团关系序的一般概念的象数学定义，并结合关系序的定义，利用多边矩阵的运算法则［2-4］，特别是利用三指标与四指标多边矩阵的运算法则［2-3］，类比关系距离的研究［5-6］，解决关系序的再现性优化问题.

1 关系链和关系序

关系链的概念见文献［6］，本文考虑象数学关于关系序的定义.

其中，

称νj为集合QjV在关系R下的序数或序位置，记为.

任何关系序多边矩阵［R］都根据其序数决定着一个序关系R.任何R都等同于该关系链对应的关系集合R.

对系统状态空间V的任何序的评价关系R，都等价于系统状态空间V的一种序关系链.所有这些序关系链的整体集合记为那么二元体系就是所关心的关系序组成的系统，称为具有关系序的系统，也等价于具有能量的系统.

注1 集合V中的元素xj可以不特指任何特定内容，但其各个元素是不能相同的.

注3 关系序多边矩阵［R］除了与系统的关系定义有关之外，和研究对象的实际内容基本无关系，是不自生逻辑的产物，故其分析结论具有再现性.而西方科学定义的各种序指标和研究对象有很大关系，不同的研究者可以定义不同的序指标，故其是自生逻辑的产物，不能保证分析结论的再现性.

定理1 （良序定理） 设两元体系为一个具有关系序的系统，则关系序多边矩阵［R］确定的关系序数π（xi）是一种良序.

证明 在象数学领域的一般关系之间是不允许传递性推理的.也就是说己知并且即己知那么不一定能推出即不一定能推出.但如果将关系序多边矩阵［R］确定的关系序数理解为系统状态空间基于关系R的一种新的关系序，则该新的关系序是一种良序.

定理2 （相容性定理） 设两元体系

为一个具有关系序的系统.

证明 记集合Q1，Q2，…，Qp所含元素的个数分别为那么对

故

同样地，对xj∈Qk，计算可知：

故

给出一些关于关系序的例子如下.

元素xi的序数π（xi）只有3个值18，10，-2，说明系统状态空间只有3个类.按优良性相应的序数分别为序数允许是负值.因为序数仅仅反映分类能量的大小关系，所以负值序数是允许的.如果把序数转化成能量函数，那么仅仅需要在序数上加上1个常数，使得相应的能量函数非负即可.

元素xi的序势的各个元素值是非负整数，其反映的是上述序关系下真实能量，是讨论关系序问题的关键指标.

2 系统整体关系序

上述对于每一种集团序，都对应着一种关系序多边矩阵.但是，对于一个复杂系统，可以定义很多集团序，这使得研究者不知采用哪一种排序方式更好.因此，如何对各种研究的集团关系序进行综合评价，是一个需要解决的问题.

记元素xi∈V的序势为

记元素xi∈V的序数为

按如上定义就得到一个关于系统（V，R）的总体关系序多边矩阵

记该总体关系序多边矩阵的序数为

则该序数确定的系统状态空间V的元素之间的序关系，称为系统的整体关系序.

注4 整体关系序对应的权重ωl不能由研究者随意确定.权重ωl对应的相应排序在系统中的重要程度，应该是公认的结论.在没有这些信息时，一般对系统考虑的关系类取

注5 整体关系序对应的集团个数一般比特定关系序对应的集团个数要多.

给出一个整体关系序的例子如下.

例4 考虑系统

在例1～3中的3个排序结论.这是文献［9］中在电子商务问题中的3个集团排序结论.如果记此种排序相应的关系为R1，R2，R3，考虑系统的关系类权重取那么通过计算可以得到以下整体关系序矩阵.矩阵的第1列是系统元素的编号，第2列表示系统元素序势的坐标位置；关系类｝的关系序多边矩阵位于下述多边矩阵的第3列到第12列.元素的序势位于下述矩阵的第13列，元素的序位置或序数π（xi），i=1，2，…，10位于下述矩阵的第14列.

元素xi的序数π（xi）有7个值53，31，23，13，9，5，-24，说明系统状态空间有7个类.按优良性相应的类；相应的序数分别为序数允许是负值.因为序数仅仅反映分类能量的大小关系，所以负值序数是允许的.如果把序数转化成能量函数，那么仅仅需要在序数上加上1个常数，使得相应的能量函数非负即可.

元素xi的序势的各个元素值是非负整数，其反映的是上述序关系下的真实能量，是讨论关系序问题的关键指标.

3 系统整体关系序集团类的压缩

上述得到的系统整体关系序的集团类个数一般较多，而象数学一般只关心3个类，故需要把系统整体关系序的集团类个数压缩为3个.

在传统意义下，一般考虑如下假设：

在集团序压缩意义下，对于给定的ε，

考虑如下条件：

当条件（1）和（2）同时满足时，称序集合Q1，Q2，…，Qp为系统（V，R），根据其关系序数π（xi）在π-B意义下的压缩集团类.压缩后的新序数记为

相应的新序数为

按定义3，压缩后的集团类为

相应的新序数为

这一种分类方式与文献［9］的结论相同.

如果按序数π（xi），根据SAS软件的聚类分析方法，选用Method=ave，把系统分成3类，那么分类结论为

相应的新序数为

这种分类方法相当于取B=（0，26，0）的集团分类.

比较上述3种分类方法发现，SAS软件中的聚类分析方法可以使得序数的差别较大，而文献［9］中的方法可以使得分类后的序数差别较小，但本文提供的分类方式是介于上述两种方法之间的分类.

本文给出的分类更加直观，因中间类是对称的类，新的序数和原来分类的序数有两个是相同的.如果要求B=（ε1，ε2，…，εp）满足ε1≥ε2≥…≥εp，新的序数尽可能地是原来系统分类的序数，那么集团分类结果将会更加直观.此直观的含义是：优良集团的元素之间的序数可以差别较大，劣等集团的元素之间的序数可以差别较小，中等集团的元素之间的序数可以差别适中，并具有对称性.这符合象数学中比类聚象的一般思维.

4 系统整体关系序的集团分类再现性分析

由上述得到的系统整体关系序的压缩集团类并不唯一，实际问题要求得到的结论要尽可能地稳定，分析结果要具有再现性.

元素xi的序数π（xi）只有3个值16，0，-14，说明系统状态空间只有3个类.按优良性相应的序数分别为这是唯一的关系序多边矩阵.对照例5的压缩关系序，则再现性或者稳定性指标为

而文献［9］的分类方法的再现性或者稳定性指标为

SAS软件中聚类分析方法的再现性或者稳定性指标为

从再现性或者稳定性的角度来看，本文给出的分类方法的再现性或者稳定性是最好的，压缩后的序数和固定分类的多边矩阵序数最接近，故推荐再现性或者稳定性的集团分类方法.

5 结 语

一个复杂系统的各个要素关于各种关系之间的序优化问题，可以使用多边矩阵的分层的算法来解决.这里定义的关系序，是良序，系统的序数和集团类具有相容性，每一类仅仅只对应一个序数.尽管对系统研究分类的结果不唯一，但序数的关系序多边矩阵的计算结果具有唯一性.如果考虑集团分类方法的稳定性，那么这种关系序的优化方法和复杂系统的各个要素的取值大小没有关系，相应的分析方法和数据分析人员的各种操作基本没有关系，符合数据分析结论具有再现性的特点，符合象数学的思维.再现性是《多边矩阵理论》追求的最终目标，故本文主要关注集团关系序的再现性数据分析方法的研究.另外，集团关系序的再现性优化方法也较简单，仅仅需要进行关系序多边矩阵的计算即可，故这是值得推荐的方法.

［1］ Zhang Yingshan，Shao Weilan.Image mathematicsmathematical intervening principle based on“Yin Yang Wu Xing”theory in traditional chinese mathematics（i）［J］.Applied Mathematics，2012，3（6）：617-636.

［2］ 徐婷，罗纯，邵文昕，等.三维数阵的框架定义及运算——处理复杂系统的新思维系列之十八［J］.上海应用技术学院（自然科学版），2013，13（2）：156-160.［3］ 邵文昕，罗纯，徐婷，等.四指标问题的框架定义及运算——处理复杂系统的新思维系列之二十［J］.上海应用技术学院（自然科学版），2013，13（3）：233-236.

［4］ 吴汀汀，罗纯，徐婷，等.多边矩阵的基阵和置换矩阵——处理复杂系统的新思维系列之二十一［J］.上海应用技术学院（自然科学版），2013，13（4）：308-312.

［5］ 罗纯，张子晴，张应山，等.广义多边矩阵交叉乘法——处理复杂系统的新思维系列之二十四［J］.上海应用技术学院（自然科学版），2014，14（1）：79-87.

［6］ 罗纯，张子晴，张应山.多边矩阵的关系距离优化——处理复杂系统的新思维系列之二十五［J］.上海应用技术学院（自然科学版），2014，14（3）：262-269.

［7］ 候福均，吴祈宗，昝欣.集团序及其应用［J］.数学实践与认识，2006，36（5）：73-76.

［8］ 吴祈宗，候福均.方案集团序及其应用［J］.北京理工大学学报，2006，26（6）：521-524.

［9］ 齐延信，崔春生.方案集团序方法的进一步研究［J］.数学实践与认识，2012，42（16）：79-86.

［10］ Navarrete Jr N，Fukushima M，Mine H.A new ranking method based on relative position estimate and its extensions［J］.IEEE Transation on SCM，1979，9（11）：681-689.

（编辑 吕丹）

Optimization of Aggregative Relationship Rank Based on Multilateral Matrix——New Thinking of Dealing with Complex Systems Series Twenty-six

LUO Chun1， ZHANG Yingshan2
（1.School of Sciences，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 201418，China；2.School of Finance and Statistics，East China Normal University，Shanghai 200241，China）

This series of articles，based on“Multilateral Matrices Theory”and inspired by the Eastern holistic thinking，are trying to provide and improve a set of powerful mathematical tools to handle multitarget local issues，non-uniformity problems and nonlinear problems of complex system ranging from the whole to the part with rigorous theoretical analysis and proof.As the twenty-sixth paper of the series，the concept of aggregative relationship rank based on multilateral systems were introduced，and the multilateral matrix for the aggregative relationship rank was presented，and proved that this method was simple and reproducible way of solving the optimization problem of the aggregative relationship rank.As an application，based on the multilateral matrix for the aggregative relationship rank，solved the integrated optimization problem in a variety of analysis results.And explain how to compress the comprehensive optimization of group class，to make the analysis conclusion is reproducibility.

multilateral matrix；relation chain；aggregative relation rank；multilateral matrix for aggregative relation rank；relationship rank optimization

O 212.6

A

1671-7333（2015）04-0397-09

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.04.018

2014-06-05

上海市教育委员会科研创新基金重点资助项目（14ZZ161）

罗 纯（1966-），男，副教授，博士，主要研究方向为试验设计、组合数学、系统科学.E-mail：luochun＠sit.edu.cn