张尔光

【摘 要】本文对笔者发现的“二至九位数自然数的顺序数与倒序数之间的差”的规律性，自然数的二至五位数的奇数顺序数与倒序数两者之间的差及二至四位数的偶数顺序数与倒序数两者之间的差的规律性，自然数“倒序数的后位数相加之和”的规律性，通过实例证明，做出了肯定的结论。

【关键词】自然数；顺序数；倒序数；差；9；规律

中图分类号： G633.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）32-0191-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.32.089

笔者研究发现的初等数学中的三个规律是指，（1）二至九位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差为“9×（自然数倒序数相加之和）之积；（2）自然数的二至五位数的奇数顺序数与倒序数两者之间的差，二至四位数的偶数顺序数与倒序数两者之间的差，均为“9×2×（自然数倒序数相加之和）之积”；（3）自然数“倒序数的后位数相加之和”为该倒序数与同位顺序数两者之差除以9之商。本文就此三个规律逐一进行证明。

规律1 二至九位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差为“9×（自然数倒序数相加之和）之积。

1）两位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×一位数倒序数1之积”，即：9×1=9

例证1 21-12=9×1=9

例证2 32-23=9×1=9

例证3 43-34=9×1=9

“54-45=9”至“98-89=9”之证明略。

2）三位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×（二位数倒序数21+一位数倒序数1之和）之积”，即：9×（21+1）=9×22=198

例证1 321-123=9×（21+1）=9×22=198

例证2 432-234=9×（21+1）=9×22=198

例证3 543-345=9×（21+1）=9×22=198

“654-456=198”至“987-789=198”之证明略。

3）四位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×（三位数倒序数321+二位数倒序数21+一位是倒序数1之和）之积”，即：9×（321+21+1）=9×343=3087

例证1 4321-1234=9×（321+21+1）=9×343=3087

例证2 5432-2345=9×（321+21+1）=9×343=3087

例证3 6543-3456=9×（321+21+1）=9×343=3087

“7654-4567=3087”至“9876-6789=3087”之证明略。

4）五位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×（四位数倒序数4321+三位数倒序数321+二位数倒序数21+一位数倒序数1之和）之积”，即：9×（4321+321+21+1）=9×4664=41976

例证1 54321-12345=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

例证2 65432-23456=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

例证3 76543-34567=9×（4321+321+21+1）

=9×4664=41976

“87654-45678=3087”至“9876-6789=3087”之证明略。

5）六位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×（五位数倒序数54321+四位数倒序数4321+三位数倒序数321+二位数倒序数21+一位数倒序数1之和）之积”，即：9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例证1 654321-123456=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例证2 765432-234567=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例证3 876543-345678=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

例证4 987654-456789=9×（54321+4321+321+21+1）=9×58985=530865

6）七位數自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×（六位数倒序数654321+五位数倒序数54321+四位数倒序数4321+三位数倒序数321+二位数倒序数21+一位数倒序数1之和）之积”，即：9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例证1 7654321-1234567=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例证2 8765432-2345678=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

例证3 9876543-3456789=9×（654321+54321+4321+321+21+1）=9×713306=6419754

7）八位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×（七位数倒序数7654321+六位数倒序数654321+五位数倒序数54321+四位数倒序数4321+三位数倒序数321+二位数倒序数21+一位数倒序数1之和）之积”，即：9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627=75308643

例证1 87654321-12345678=9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627 = 75308643

例证2 98765432-23456789=9×（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×8367627 = 75308643

8）九位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差，为“9×（八位数倒序数87654321+七位数倒序数7654321+六位数倒序数654321+五位数倒序数54321+四位数倒序数4321+三位数倒序数321+二位数倒序数21+一位数倒序数1之和）之积”，即：9×（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×96021948 =864197532

例证987654321-123456789=9×（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=9×96021948=864197532

9）结论

综上证明，得出结论：二至九位数自然数的顺序数与倒序数两者之间的差与自然数“9”有着密切联系，其差为“9×（倒序数相加之和）之积”。

规律2 笔者还研究发现，自然数的二至五位数的奇数顺序数与倒序数两者之间的差，二至四位数的偶数顺序数与倒序数两者之间的差，均与自然数“9”有着密切联系，其差为“9×2×（自然数倒序数相加之和）之积”。

（1）证二至五位数的奇数顺序数与倒序数两者之间的差。

例证1 求二位数的奇数顺序数13与倒序数31两者之间的差，为“9×2×（自然数一位倒序数1）之积”。其算式为：31-13=9×2×1=18×1=18

例证2 求三位数的奇数顺序数135与倒序数531两者之间的差，为“9×2×（自然数二位倒序数21+一位倒序数1）之积”。其算式为：531-135=9×2×（21+1）=18×22=396

例证3 求四位数的奇数顺序数1357与倒序数7531两者之间的差，为“9×2×（自然数三位倒序数321+二位倒序数21+一位倒序数1）之积”。其算式为：7531-1357=9×2×（321+21+1）=18×343=6174

例证4 求五位数的奇数顺序数13579与倒序数97531两者之间的差，为“9×2×（自然数四位倒序数4321+自然数三位倒序数321+二位倒序数21+一位倒序数1）之积”。其算式为：

97531-13579=9×2×（4321+321+21+1）=18×4664=83952

（2）证二至四位数的偶数顺序数与倒序数两者之间的差。

例证1 求二位数的偶数顺序数24与倒序数42两者之间的差，为“9×2×（自然数一位倒序数1）之积”。其算式为：42-24=9×2×1=18×1=18

例证2 求三位数的偶数顺序数246与倒序数642两者之间的差，为“9×2×（自然数二位倒序数21+一位倒序数1）之积”。其算式为：642-246=9×2×（21+1）=18×22=396

例证3 求四位数的偶数顺序数2468与倒序数8642两者之间的差，为“9×2×（自然数三位倒序数321+二位倒序数21+一位倒序数1）之积”。其算式为：8642-2468=9×2×（321+21+1）=18×343=6174

综上证明，得出结论：自然数的二至五位数的奇数顺序数与倒序数两者之间的差，二至四位数的偶数顺序数与倒序数两者之间的差，均与自然数“9”有着密切联系，其差为“9×2×（自然数倒序数相加之和）之积”。

规律3 从规律1可推知，自然数“倒序数后位数相加之和”为该倒序数与同位顺序数两者之差除以9之商。

（1）两位自然数的倒序数21的后一位数1，为21与同位顺序数12两者之差除以9之商。其算式为：

1=（21-12）÷= 9÷9=22

（2）三位自然数的倒序数321的后二位数21与后一位数1相加之和，为321与同位顺序数123两者之差除以9之商。其算式为：（21+1）=（321-123）÷= 198÷9=22

（3）四位自然数的倒序数4321的后三位数321、后二位数21、后一位数1相加之和，为4321与同位顺序数1234两者之差除以9之商。其算式为：（321+21+1）=（4321-1234）÷= 3087÷9=343

（4）五位自然数的倒序数54321的后四位数4321与后三位数321、后二位数21、后一位数1相加之和，为54321与同位顺序数12345两者之差除以9之商。其算式为：（4321+321+21+1）=（54321-12345）÷= 41976÷9=4664

（5）六位自然数的倒序数654321的后五位数54321与后四位数4321、后三位数321、后二位数21、后一位数1相加之和，为654321与同位顺序数123456两者之差除以9之商。其算式为：（54321+4321+321+21+1）=（654321-123456）÷= 530865÷9=58985

（6）七位自然数的倒序数7654321的后六位數654321与后五位数54321、后四位数4321、后三位数321、后二位数21、后一位数1相加之和，为7654321与同位顺序数1234567两者之差除以9之商。其算式为：（654321+54321+4321+321+21+1）=（7654321-1234567）÷= 6419754÷9=713306

（7）八位自然数的倒序数87654321的后七位数7654321与后六位数654321、后五位数54321、后四位数4321、后三位数321、后二位数21、后一位数1相加之和，为87654321与同位顺序数12345678两者之差除以9之商。其算式为：（7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=（87654321-12345678）÷= 75308643÷9=8367627

（8）九位自然数的倒序数987654321的后八位数87654321与后七位数7654321、后六位数654321、后五位数54321、后四位数4321、后三位数321、后二位数21、后一位数1相加之和，为987654321与同位顺序数123456789两者之差除以9之商。其算式为：

（87654321+7654321+654321+54321+4321+321+21+1）=（987654321-123456789）÷=864197532÷9=96021948

（9）结论

综上证明，得出结论：自然数“倒序数的后位数相加之和”为该倒序数与同位顺序数两者之差除以9之商。