周　超　黄健萌　高诚辉

福州大学,福州,350116

各向异性分形表面建模研究

周超黄健萌高诚辉

福州大学,福州,350116

为在计算机中对零件表面几何形貌的各向异性性质进行建模,进行了基于功率谱的各向异性分形表面建模研究。基于二维离散傅里叶变换的投影性质和旋转性质，实现了能在指定的单个或多个方向合成具有特定分形参数的各向异性分形表面的建模算法，并进一步讨论了合成表面的几何形貌与分形参数以及功率谱图的关系。研究结果表明，基于表面功率谱，可以精确、直观、方便地进行各类各向异性分形表面的建模。

分形表面;各向异性;功率谱;离散傅里叶变换

0　引言

随着机械系统进一步向微型化发展,针对机械零件、刀具等表面几何形貌的研究日益受到关注[1-2]。分形几何是粗糙表面表征和建模的重要几何模型,目前已深入开展了基于分形表面的接触、摩擦、磨损等性能的研究。杨红平等[3]推导了基于分形几何的结合面法向接触刚度计算模型;Ji等[4]基于分形几何,建立了粗糙表面的接触热传导预测模型；黄健萌等[5]基于有限元法，建立了在充分考虑粗糙表面接触微凸体间的相互作用及接触界面摩擦热流耦合等影响因素情况下的分形表面与理想刚性平面接触时的热力耦合模型。目前的研究工作中，一般将各向同性的分形表面作为几何模型,然而,实际零件表面存在大量的各向异性特性,研究、完善各向异性分形表面建模算法具有重要的理论和实际意义。文献[6-8]进行了各向异性分形表面表征和建模的研究。其中,Wu[8]基于傅里叶变换分析了多种类型的各向异性分形表面，给出了相应的频域表达式以及建模算法。与上述研究工作相比，本文基于二维离散傅里叶变换(discrete Fourier transform,DFT)的投影性质和旋转性质，通过直接修改功率谱图进行各向异性分形表面建模。该表面建模算法在避免了数学复杂性的同时,可精细控制任意期望方向的分形参数。

1　基本理论

1.1二维离散傅里叶变换

二维DFT建立了函数空域(时域)和频域的一一对应关系,对于采样点数为N2的二维空域信号f(i,k),若令其傅里叶系数为F(u,v),则其离散傅里叶变换可表示为[9]

(1)

式中,N为沿一个方向的采样点数,为方便计算,一般取2的整数次幂;j为虚数单位,j2=-1;i、k为空域采样序号;u、v为频域采样序号。

相应的离散傅里叶逆变换(inversediscreteFouriertransform，IDFT)为[9]

(2)

对于实二维信号f(i,k),F(u,v)一般为复数,因此可表示为

F(u,v)=|F(u,v)|exp(jφ(u,v))

(3)

F(u,v)共轭对称,即幅度谱

|F(u,v)|=|F(-u,-v)|

相位谱

φ(u,v)=-φ(-u,-v)

并有以下投影性质和旋转性质[9-10]:

(1)投影性质。若函数g(x,y)的傅里叶变换记为G(u,v),且g(x,y)向X轴的投影记为p(x)=∫g(x,y)dy,则p(x)的傅里叶变换P(u)=G(u,0)。

(2)旋转性质。若函数g(x,y)的傅里叶变换记为G(u,v),在空域中将g(x,y)旋转角度θ,则G(u,v)在频域中也旋转了θ。

1.2各向同性分形表面建模

基于分数布朗运动分形表面的功率谱,采用二维IDFT的分形表面建模算法具有精度高、速度快及建立的分形表面的高度均方根偏差Sq可控的优点[11]。

分形表面的功率谱满足[12]：

(4)

式中,E(*)表示数学期望;D为分形维数;C为尺度系数。

u=v=0时,令F(u,v)=0,此时合成表面各采样点高度的均值为0[13]。若假设分形表面具有平稳性,即合成的各表面采样点高度的均值和均方根偏差不变,则式(4)可写为[11,13]

(5)

(a)分形表面

(b)功率谱图1　各向同性分形表面及其功率谱

令表面傅里叶系数的相位谱φ(u,v)为满足均匀分布的随机值,利用式(2)即可完成各向同性分形表面的建模。图1a所示为基于式(5)建立的分形表面,图1b所示为其功率谱。建模时,N=64，D=2.6,C2=4.1457×107。由于D和C是与尺度无关的分形参数，因此本文所建立的分形表面的高度单位为任意长度单位。同时,由文献[14]可知,合成粗糙表面各采样点高度的均方根偏差仅与采样点数N和|F(u,v)|2有关,因此即使在进行各向异性分形表面建模时,也可保证其平稳性。

2　各向异性分形表面建模

2.1沿空域i轴异性的分形表面

(a)沿u轴异性分形表面功率谱

(b)沿i轴异性分形表面图2　沿空域i轴异性的分形表面

2.2沿其他方向异性的分形表面

若要使得合成后分形表面空域的异性方向与i轴夹角为θ,那么只需在功率谱图上沿与u轴夹角为θ的方向,设置相应的各向异性参数即可。该步骤等价于:首先根据二维DFT的投影性质，在表面功率谱图的u轴上设置各向异性参数;然后,根据二维DFT的旋转性质,将具有各向异性特征的谱线旋转θ角。图3a所示的分形表面的异性方向与i轴夹角为45°,图3b为其功率谱;图3c所示的分形表面的异性方向与i轴夹角为135°,图3d为其功率谱。

(a)沿与i轴45°角异性分形表面

(b)沿与u轴45°角异性分形表面功率谱

(c)沿与i轴135°角异性分形表面

(d)沿与u轴135°角异性分形表面功率谱图3　非水平方向各向异性分形表面

上面讨论中,分形表面的各向异性性质仅出现在某单一方向,实际上,基于二维DFT的投影性质和旋转性质,通过修改给定方向上的功率谱图，可以方便地合成在多个方向上具有各向异性特性的分形表面。例如,图4a、图4b所示分形表面的异性方向同时平行于i轴和k轴;图4c、图4d所示表面的异性方向轴与i轴的夹角分别为45°和135°,虽然在这两个方向上的功率谱相同,但受DFT随机相位的影响,其空域几何形貌并不相同。

(a)沿i轴和k轴异性分形表面

(b)沿u轴和v轴异性分形表面功率谱

(c)沿与i轴45°及135°角异性分形表面

(d)沿与u轴45°及135°角异性分形表面功率谱图4　多方向各向异性分形表面

3　影响表面形貌的因素

(a)沿u轴异性分形表面功率谱

(b)沿i轴异性分形表面图5　沿异性方向能量不占优的分形表面

另外,以上表面除了在频点(u=0,v=0)之外,其余各处功率谱都不为0,因此在外观上出现了一个长波长的几何特征。根据二维DFT的定义和有关性质,可将沿各向异性方向上更多的低频成分置为0,从而获得波动更为剧烈的各向异性分形表面。

图6a所示的功率谱中,3个低频成分即(u=0,v=0),(u=1,v=0)和(u=-1,v=0)处的|F(u,v)|2=0,图6b为其空域几何形貌;图6c中,5个低频成分，即(u=0,v=0)，(u=1,v=0)，(u=-1,v=0)，(u=2,v=0)和(u=-2,v=0)处的|F(u,v)|2=0,图6d为其空域几何形貌。

(a)3个低频成分为0的分形表面功率谱

(b)3个低频成分为0的分形表面

(c)5个低频成分为0的分形表面功率谱

图7a所示的功率谱中,3个低频成分即(u=0,v=0),(u=1,v=1)和(u=-1,v=-1)处的|F(u,v)|2=0,图7b为其空域几何形貌;图7c中,5个低频成分即(u=0,v=0),(u=1,v=1),(u=2,v=2),(u=-1,v=-1)和(u=-2,v=-2)处的|F(u,v)|2=0,图7d为其空域几何形貌。

(a)3个低频成分为0的分形表面功率谱

(b)3个低频成分为0的分形表面

(c)5个低频成分为0分形表面功率谱

(d)5个低频成分为0的分形表面图7　部分低频成分为0的各向异性分形表面

4　结论

(1)基于二维离散傅里叶变换的投影性质和旋转性质，可灵活、方便地合成在指定的一个或多个方向具有给定分形参数的各向异性分形表面。

(2)功率谱图中，修改沿给定各向异性轴方向的分形参数，可增加或减少沿该方向表面几何形貌与其他方向的差别。

(3)根据需要使更多低频成分的功率谱值为零,可合成波动更为剧烈的各向异性分形表面。

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(编辑张洋)

Modeling of Anisotropic Fractal Surface

Zhou ChaoHuang JianmengGao Chenghui

Fuzhou University,Fuzhou,350116

In order to model anisotropy surface geometry of components in computer,the algorithm of anisotropy fractal surface synthesis was studied,where any single or multi anisotropy direction fractal surface with specified fractal parameters could be synthesized based on the projection and rotation property of 2D discrete Fourier transform.And the relationship among fractal parameters,power spectrum and surface geometry appearance was discussed.It is found that anisotropy fractal surfaces can be modeled precisely,intuitively and conveniently with respect to the power spectrum of surfaces.

fractal surface;anisotropy;power spectrum;discrete Fourier transform

2014-05-15

TH161DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.006

周超,男,1978年生。福州大学机械工程及自动化学院副教授。主要研究方向为摩擦学。发表论文10余篇。黄健萌,女,1973年生。福州大学机械工程及自动化学院副教授。高诚辉,男,1953年生。福州大学机械工程及自动化学院教授、博士研究生导师。