王 晖,王蓉蓉

（浙江大学建筑学系,浙江杭州310058）

基于规则多面体镶嵌剖切法的建筑表皮设计

王 晖,王蓉蓉

（浙江大学建筑学系,浙江杭州310058）

由正多面体、正棱柱、阿基米德多面体等规则多面体相互组合形成的空间镶嵌模式共28种,以这些镶嵌模式为基础,运用剖切法可以得到新的平面镶嵌图形.以正八面体和立方八面体的组合镶嵌模式为例,探讨该方法在建筑表皮设计中的应用,主要包括相关几何原理、截面周期性的控制、复杂性与模件化的平衡以及取模件的思路等.研究表明,对规则多面体组合进行剖切能够获得系统性和多样化的图形模式,利于以少数的模件进行复杂性设计.

建筑表皮；多面体镶嵌；剖切法；复杂性；模件化

表皮是当代建筑艺术的重要载体,近年来建筑表皮的复杂性和精细化设计得到越来越多的重视［1-2］.当代数字技术为复杂性表皮设计提供了有力的支撑,以几何原理为基础运用算法工具,极大提升了当代建筑师控制复杂形态的能力［3］.从发展趋势来看,既有形态创新性、又有内在逻辑性的复杂性设计更符合当代的审美需求,也更利于施工和建造［4-5］.

从图形操作的角度来看,常见的获得复杂性的方式大致有2种.一种是直接采用具有复杂性的特殊模式,例如沃罗诺依（Voronoi）图形,图形单元由相邻点之间连线的垂直平分线构成,点的随机分布将产生随机组合图案；另一种是以简单模式为基础进行变形,如叠加、扭转、加入随机元素等.在很多情况下,由于建筑师掌握的几何图形模式非常有限,无外乎正方形、正六边形、正三角形等几种,仅依靠平面图形推演的方法往往落入俗套,难以获得推陈出新的效果.

笔者近年来从镶嵌几何（Tessellation）的角度出发,对应用于设计领域的图形模式进行了一些探索［6］.镶嵌几何是研究二维平面图形或者三维空间形体进行无重叠、无缝隙拼接的一种几何学范畴.从抽象层面来说,建筑设计问题可以看作是填充平面或空间的问题,因此与镶嵌几何之间有密切的关联.许多看似复杂的建筑形态如果从镶嵌几何的角度分析,能够获得简洁清晰的解读.模式图案（pattern）和镶嵌在当代建筑中有不少应用实例和理论探索［7］,但目前基于镶嵌几何原理的系统化研究尚不多见.本文在既往研究的基础上,聚焦于建筑表皮的创新设计问题,探讨在规则多面体组合镶嵌的基础上运用剖切法进行表皮形态设计的一般性方法.

1 规则多面体组合镶嵌相关原理

本文主要讨论规则凸多面体,即各个面都是正多边形,且各个多面角均相等的凸多面体,包括正多面体（regular polyhedron）和半正多面体（semi-regular polyhedron）.正多面体的几何特征是所有的面是全等正多边形,所有的棱长和多面角也相等［8］.正多面体一共有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体,其中只有正六面体（立方体）能够独立完成镶嵌.半正多面体的表面由2种及2种以上的正多边形组成,棱长和各个多面角均相等［9］.半正多面体包括13种阿基米德多面体（Archimedean solids）、无限多种正棱柱（convex prism）及无限多种交错正棱柱（convex antiprism）.

在这些规则凸多面体中,有13种能够通过自身或彼此相互组合形成空间镶嵌（见图1）,包括3种正多面体、6种阿基米德多面体和4种正棱柱（不包括立方体）.

由这13种规则凸多面体可以组成有限类型的空间镶嵌.现已知的28种规则凸多面体组合镶嵌模式（见图2）是由Grünbaum［10］提出的,是目前所见比较完整的归纳.这28种镶嵌模式可以分为以下几类（见图2）.

1）13种由规则凸多面体组合形成的空间镶嵌模式（图2中的1～13）.

2）10种基于平面镶嵌,仅由正棱柱组成的镶嵌模式（图2中的14～23）.

3）5种通过上述模式的变形所得到的镶嵌模式（图2中的24～28）.

上述规则多面体组合镶嵌（以下称为“组合体”）具有简单的组合规律,比较容易提取出包含最少数量多面体的基本单元.基本单元通过平移对称操作（即复制后平移）能够获得整个组合体.例如图2中模式（2）的基本单元为1个立方八面体和1个正八面体,模式（20）的基本单元是3个立方体、2个正三棱柱和1个正六棱柱等.组合体的各个基本单元之间存在一一对应的顶点,平移后这些顶点处所汇集的棱线能够完全重合.可以将这些顶点称为性质全等的点,它们有助于把握组合体的周期性.

图1 13种能够完成镶嵌的规则凸多面体Fig.1 Thirteen convex uniform polyhedrons which can complete honeycombs

图2 28种规则凸多面体镶嵌模式Fig.2 28 convex uniform honeycombs

2 剖切法研究

将三维的空间镶嵌用于二维的图形设计时,需要进行降低维度的操作,其中比较有效的是用剖切法获得一系列的截面,从中选择合适的类型.由于上述组合体本身具有简单的规律性,随着剖切角度的不同,截面呈现出一定的周期性或者复杂性,这在设计上有独特的应用价值.

以图2中第（2）种镶嵌模式（正八面体＋立方八面体）为例,对剖切的方法进行探讨.具体操作可以使用参数化方法,在目前建筑设计中常用的Rhinoceros平台上用Grasshopper插件进行剖切（见图3）.对于输入的组合体,只要在Grasshopper程序中调整剖切位置的控制参数,就能够迅速生成一系列可供选择的截面.

图3 剖切出截面的Grasshopper参数化界面Fig.3 Grasshopper parameterized interface of sectioning

2.1 截面周期性的控制

组合体中顶点的分布是高度有序的,因此从理论上来说,任何足够大的截面必然经过多面体单元上性质全等的顶点,从而产生周期性重复.根据周期长短,可以将截面分为短周期截面与长周期截面.短周期截面的重复性高,周期性最短的截面是正多边形组合镶嵌的基本模式,一般是由平行于多面体某个面的截面得到（见图4（a））；当截面不平行于多面体的任何一个面,但周期性地经过性质全等的顶点时,得到较长周期的截面（见图4（b））.长周期截面在一定范围内重复性低甚至没有重复性,因此图形具有相对复杂性.由于可能的截面形态是非常多样的,在设计中往往希望对截面周期性有一定的预判,避免低效的试错过程.

根据顶点分布的有序性,可以通过组合体表面上那些性质全等的顶点来确定截面位置和角度,从而控制截面图形的周期性——笔者将该方法称为“表面定距法”.具体方法如下：首先选定组合体形体转折位置的某个表面顶点作为原点,在前视图中选取与原点性质全等的表面顶点（与原点的连线不经过其他性质全等的顶点）,连线长度为L1；用同样的方法,选取侧视图上另一表面顶点,连线长度为L2.用这3个点形成的平面去剖切组合体,L1和L2是所得截面图形在2个方向（未必相互垂直）的周期长度,即L1和L2所形成的平行四边形构成了截面的一个图形单元.该单元能够通过平移对称操作获得整个截面（见图5）.

图4 截面周期性的比较Fig.4 Comparisons of sections'periodicity

“表面定距法”比较直观,便于操作,适合目前主流建筑建模软件的多视图窗口界面.对于图2中各种组合体的剖切,都可以通过L1和L2的长度（即顶点距离）的选择来控制截面在2个方向上的周期性.

图5 “表面定距法”示意图Fig.5 Schematic of determining distance on surface

2.2 截面复杂性与模件化

长周期截面更复杂,而短周期截面更规则.在设计应用上,前者具有复杂性美学效果,但构件类型更多,对制作安装工艺的要求较高；后者的构件类型少,制作简单,利于模件化生产和安装,但图形比较平庸常见.具体的截面选择需要针对不同的设计目标,在复杂性与模件化之间获得一定的平衡.

表1列出了模式（2）按照“表面定距法”所获得的不同周期的截面.随着周期长度的增加,图形的视觉效果逐渐从规律变得复杂,可以进行平移对称的基本单元中所包含的网格类型、节点类型和杆件类型相应增加.

表1 截面视觉效果与构件类型的比较Tab.1 Comparisons of sections'visual effects and component types

3 在建筑表皮形态设计中的应用

运用上述组合体的剖切方法,在参数化设计工具的辅助下可以迅速生成一系列可供选择的截面图形.这些图形与常见的正多边形组合图案相比具有一定的新颖性,在建筑表皮的创新设计以及装饰设计中具有广泛的应用价值.

3.1 基本应用类型

根据表皮构造方法的不同,可以将应用方式分为2种基本类型.1）基于传统的“湿作业”,以面为基本单元在基层上的直接拼贴,如铺地、瓷砖等；2）以现代“干式施工”为基础的框格加面板的方式,一般是将工厂预制的金属构件进行现场拼装.前者主要依赖于新型面砖的开发,构造比较简单；后者是目前采用较多的施工方式,在设计和形态上有更大的灵活性.

3.2 增加复杂性

在截面图形模式的基础上,采用适当的设计手法能够进一步增加形态复杂性和表现力.以表1中比较规则的图形Ⅱ为例,通过改变面片的虚实、色彩或材质等属性,构件类型只增加两三种,但表现力获得很大提升.以图6（a）为原型,图6（b）为增加2种面片后采用规则分布的效果,图6（c）为增加3种面片后采用随机分布的效果.与直接采用复杂图案相比,这种复杂性效果所用的模件类型少,在统一中有变化,往往受到设计师的青睐.

增加复杂性的设计手法既适用于面砖类型的构造,也适用于框格类型的构造.尤其是后者如果仅作为装饰或遮阳表皮而不需封闭时,白色部分可以作镂空处理,在光影效果的作用下,能够进一步强化建筑立面的层次,在不同时段带来不同的视觉感受.

图6 基于相同构形的不同复杂性表现Fig.6 Different complexity based on same grid

3.3 模件选取与形态拓展

模件的选取是建筑表皮设计中非常重要的工作,讲究技巧性.合适的模件不仅能够简化施工步骤,提高效率,降低造价,而且能够引导设计思路,拓展出新的形态构成.模件的选取可以从以下3个角度入手进行探索.

一种是着眼于杆件.以图6为例,杆件的长度共有8种,节点类型有6种.当表现图形的原本形态或者制作表皮背后的支撑框格（龙骨）时,可以直接以杆件为模件.模件的连接有以下2种常见的方式.1）使用连接件（见图7（a））,优点是表面平整,对杆件（扁材、圆棒等）的适应性强,尤其多用于框格龙骨.缺点是构件类型和连接点较多,用于表层时外观效果必须考虑连接件的影响.2）杆件端头放大后进行栓接或铆接（见图7（b））,优点是不需要另加连接件,形态简洁；缺点是杆件加工相对复杂,同时由于构件厚度的叠加,相邻构件不在同一个面上.

图7 着眼于杆件的模件与连接方式Fig.7 Modules focused on rods and joints

第二种是着眼于节点（见图8）.以杆件为模件时构件类型和连接点较多,以节点（即线的交点）为中心取模件能够使类型大为简化.这种情况往往会选择蝶形模件.图8中将模件类型减少到3种：2种蝶形构件和1种杆件,共同构成镂空的表皮,也可以将杆件改为蝶形构件以形成封闭表皮.

第三种是着眼于单元面（见图9）.把构成网格的基本单元作为一个面片来处理,可以将模件减少为一种.该类面片经常采用镂空形态来表现网格,一般用于建筑的装饰性表层或室内隔断.面片的制作可以采用成熟的数控加工技术（CNC）.本例为了改善原有的网格形态,将镂空的多边形部分转化为封闭的nurbs曲线.该过程可以采用参数化设计方法.在Rhinoceros平台的Grasshopper插件中,用Explode模块提取多边形的顶点,以这些顶点为控制点,用Nurbs模块生成封闭的nurbs曲线.在Nurbs模块中,可以调节曲线的degree（度数）,以控制曲线的圆滑程度（见图10）.经过柔化的图形呈现出比较有机的形态,是对原有网格的拓展.

图8 着眼于节点的模件Fig.8 Modules focused on node

图9 着眼于单元面的模件与有机表现Fig.9 Modules focused on cell surface and organic effect

4 结 论

（1）由3种正多面体、6种阿基米德多面体和4种正棱柱相互组合,形成的空间镶嵌模式（组合体）共有28种.以此为基础,运用剖切法可以获得大量新的截面图形.由于组合体本身的规律性,这些截面具有周期性和一定的复杂性,可以用于建筑表皮形态的创新设计.

图10 生成nurbs曲线的Grasshopper参数化界面Fig.10 Grasshopper parameterized interface of nurbs curving

（2）针对组合体运用“表面定距法”选择截面角度,能够主动地控制截面形态的周期性.长周期截面的复杂性高、构件类型多,短周期截面与之相反.在实践上,可以根据需要在周期性与复杂性之间取得平衡.对于短周期截面,可以采用加入随机要素方法增加复杂性.

（3）基于截面的周期性,可以从杆件、节点和单元面3种角度入手选定模件,用较少类型的模件实现复杂性效果,并且可以通过对模件的处理使形态得到进一步拓展.

（4）剖切法蕴含了用高维度（3维）操作来解决低维度（2维）问题的思想,与一般的平面推演操作相比具有系统化的优点.本文仅以一种组合体为例,在参数化工具的辅助下得到了多种截面形态.考虑到组合体形态有28种,该方法能够获得极丰富的平面镶嵌图形,在建筑表皮形态设计与装饰设计等方面具有较高的应用价值.

本文主要研究了单个截面的剖切问题.用多个截面对组合体进行剖切能够形成具有一定厚度的结构体,在结构形态创新设计方面颇有潜力.这方面有待今后继续探讨.

［1］刘伟,钱锋.对体育建筑表皮的细部设计分析［J］.建筑师,2013（5）：36- 42.

LIU Wei,QIAN Feng.The detail design analysis of the sports architecture skin［J］.The Architect,2013（5）：36- 42.

［2］戴代新,万谦,汤里平.基于城市景观的建筑表皮更新策略—上海旧厂房改造实践的思考［J］.新建筑,2013（1）：94- 98.

DAI Dai-xin,WAN Qian,TANG Li-ping.Renewal strategy of building skin on urban visuality：practice of the old industrial building reconstruction in Shanghai［J］.New Architecture,2013（1）：94- 98.

［3］王振飞,袁烽,CAMPO M.将算法几何进行到底［J］.城市环境设计,2014（11）：28- 32.

WANG Zhen-fei,YUAN Feng,CAMPO M.Towards an algorithmic geometry future［J］.Urban Environment Design,2014（11）：28- 32.

［4］邢同和,申浩.建筑表皮的肌理化建构［J］.新建筑, 2010（6）：80- 83.

XING Tong-he,SHEN Hao.Architectural skin tectonics with characteristics of texture［J］.New Architecture,2010（6）：80- 83.

［5］尹志伟.建筑复杂性与建构的创造性表达：RUR事务所的建筑思想及其作品［J］.世界建筑,2009（8）：100- 102.

YIN Zhi-wei.Complexity in architecture and the creative expression of tectonics：the works and ideology of RUR［J］.World Architecture,2009（8）：100- 102.

［6］王晖,曹康.镶嵌几何在当代建筑表皮设计中的应用［J］.浙江大学学报：工学版,2009,43（6）：1095-1101.

WANG Hui,CAO Kang.Applications of tessellation in contemporary architectural surface design［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science,2009, 43（6）：1095- 1101.

［7］ZAERA-POLO A.Patterns,fabrics,prototypes,tessellations［J］.Architectural Design,2009,79（6）：18- 27.

［8］（英）戴维·韦尔斯,余应龙,译.奇妙而有趣的几何［M］.上海：上海教育出版社,2006：187.

［9］徐兴国.半正多面体群及其性质［D］.上海：华东师范大学,2011：2.

XU Xing-guo.The semi-regular polyhedron and its properties［D］.Shanghai：East China Normal University,2011：2.

［10］GRUNBAUM B.Uniform tilings of 3-space［J］.Geombinatorics,1994,4（2）：49- 56.

Architectural surface design based on sectioning convex uniform honeycombs

WANG Hui,WANG Rong-rong
（Department of Architecture,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China）

There are 28 kinds of honeycombs composed of regular polyhedrons,convex prisms and Archimedean solids.Novel planar tessellations can be found by using section-method based on these honeycombs.The honeycomb made up of octahedron and rectified cube was taken as an example and applications of section-method in the architectural surface design were discussed.Main contents included relevant geometry principles,controlling of sections'periodicity,balance of complexity and modulization,method of module selection.Results show that section-method based on convex uniform honeycombs can achieve systematic and diversified planar patterns,and be beneficial to express complexity with a few modules.

architectural surface；convex uniform honeycomb；section-method；complexity；modulization

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.011

TU 20

A

1008- 973X（2015）07- 1276- 06

2014- 10- 17. 浙江大学学报(工学版)网址：www.journals.zju.edu.cn／eng

国家自然科学基金资助项目（51378452）；浙江省自然科学基金资助项目（LY12E08018）.

王晖（1975－）,男,副教授,从事建筑设计及理论研究.ORCID：0000-0002-7483-7052.E-mail：wang_hui＠zju.edu.cn