石璐, 安天庆

(河海大学理学院,江苏南京210098)

非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性

石璐, 安天庆*

(河海大学理学院,江苏南京210098)

用最小作用原理和临界点理论研究了一类非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性问题。首先假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)满足假设(A),再使F1满足次凸条件,并且在[0,T]上的积分趋于无穷,运用最小作用原理,得到一个解的新的存在性结果。另外,将F1在[0,T]上的积分趋于无穷这一条件减弱为F1在[0,T]的一个正测度子集E上的积分趋于无穷,运用最小作用原理,也能得到同样的结果。

次凸位势;周期解;临界点;最小作用原理

考虑非自治二阶哈密顿系统

周期解的存在性问题。其中T＞0,且F:[0,T]× RN→R满足下述假设:(A)对每个x∈RN,F(t,x)关于t可测,对a.e.t∈[0,T],F(t,x)关于x连续可微,且存在a∈C[R+,R+],b∈L1([0,T];R+),使得

很多学者已经用最小作用原理证明了问题(1)至少有一个解,且为φ在上的最小值。文中受到文献[1-4]中结果与文献[5-7]中条件的激发,考虑了问题(1)中的次凸问题,同样通过运用最小作用原理,得到问题(1)的解的新结果。文中假设F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)满足假设(A)。

1 主要结果

定理1 假设F1,F2满足假设(A),且

(2)∃r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且

使得

注[2]若对于λ,μ＞0,x,y∈RN,有

称函数F:RN→R为(λ,μ)次凸。

定理2 假设F1,F2满足假设(A),且

(2)∃r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且

使得

(3)∃E⊂[0,T],且meas(E)＞0,使得

并且∃γ∈L1(0,T),使得

则问题(1)至少有一个解,且为φ在H1T(Ω)上的最小值。

2 定理的证明

从而有Sobolev不等式和Wirtinger不等式:

则对应的范数为

易知问题(1)的解即为φ的临界点。

由文献[1]可知,该泛函是下半弱连续的,因为强制的下半弱连续泛函必有最小值点,所以证明定理1和定理2时,只考虑泛函的强制性。

则由(2λ)-(n-1)＜|x|≤(2λ)-n,有

所以由条件(1)和假设(A),对于a.e.t∈[0,T]和所有的|x|≥1,有