向量值多线性奇异积分算子在广义Morrey空间上的有界性（英文）
2015-10-20俞飞
摘要本文主要讨论向量值多线性奇异积分算子在广义Morrey空间上的有界性.
关键词奇异积分算子；向量值多线性奇异积分算子；有界平均振动空间；广义Morrey空间
The multilinear singular integral operator TA was first introduced by Cohen and Gosselin， which is defined as follows：
TA（f）x=∫RnRm+1（A；x，y）|x-y|mk（x，y）f（y）dy，
where Rm+1（A；x，y）=A（x）-∑|α|≤m1α！DαA（y）（x-y）α， α=（α1，…，αn） denotes a multiindex and |α|=α1+…+αn denotes the order of α. Dα A denote the partial derivative αAα1x1α2x2，…，αnxn，α！=α1！α2！…αn！ and （x-y）α=（x1-y1）α1…（xn-yn）αn.
The Lp（p>1） boundedness of the multilinear singular integral operator is proved by the authors of [13]. Later， Hu and Yang proved a variant sharp estimate for the multilinear singular integral operators in [4]. In 2010， Liu considered the multilinear singular integral operators on classical morrey space in [5]. Recently， Du and Huang studied the boundedness of vectorvalued multilinear singular integral operator on variable exponent Lebesgue spaces in [6]. The vectorvalued multilinear singular integral operator is defined as follws：
|TA（f）（x）|s=（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s，
where TA（fi）（x）=∫Rn∏lj=1Rmj+1（Aj；x，y）|x-y|mK（x，y）fi（y）dy， and Rmj+1（Aj；x，y）=Aj（x）-∑|α|≤mj1α！DαAj（y）（x-y）α. Let mj be positive integers （j=1，…， l）， m1+…+ml=m， and Aj be functions on Rn （j=1，…，l），1
The classical Morrey spaces were originally introduced by Morrey in [11] to study the local behavior of solutions to second order elliptic partial dierential equations. The classical Morrey spaces are defined by the norm ‖f‖Lp，λ：=supx∈Rn，r>0r-λp‖f‖Lp（B（x，r））， where 1≤p≤∞，0≤λ≤n.
When λ=0， Lp，0（Rn）=Lp（Rn）. When λ=n， Lp，n（Rn）=L∞（Rn）. If λ<0 or λ>n， then Lp，λ={0}. The generalized Morrey spaces Mr，φ（Rn） were first defined by Guliyev in [12]. The generalized Morrey spaces recover the classical Morrey spaces， which will be explained in next section.
湖南师范大学自然科学学报第38卷第5期俞飞：向量值多线性奇异积分算子在广义Morrey空间上的有界性1Preliminaries
In this section， we will give some basic definitions and lemmas， which will be used in the proof of our main results.
Definition 1.1Fix ε>0. Let S and S′ be Schwartz space and its dual， T：S→S′ be a linear operator. If there exists a locally integrabal function K（x，y） on Rn×Rn＼{（x，y）∈Rn×R：x=y} such that T（f）（x）=∫RnK（x，y）f（y）dy， for every bounded and compactly supported function f， where K satises |K（x，y）|≤C|x-y|-n and |K（y，x）-K（z，x）|+|K（x，y）-K（x，z）|≤C|y-z|ε|x-z|-n-ε， if 2|y-z|≤|x-z|. Throughout the paper C will denote a positive constant which may be different from line to line.
Definition 1.2Let mj be positive integers （j=1…，l）， m1+…+ml=m， and Aj be functions on Rn （j=1，…，l）. For 1 |TA（f）（x）|s=（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s， where TA（fi）（x）=∫Rn∏lj=1Rmj+1（Aj；x，y）|x-y|mK（x，y）fi（y）dy and Rmj+1（Aj；x，y）=Aj（x）-∑|α| Definition 1.3Let φ（x，r） be a positive measurable function on Rn×（0，∞） and 1≤p<∞. For any f∈Lploc， denote by Mp，φ the generalized Morrey spaces， if ‖f‖Mp，φ=supx∈Rn，r>0φ（x，r）-1|B（x，r）|-1p‖f‖Lp（B（x，r））<∞. Note that if φ（x，r）=rλ-np， then Mp，φ（Rn）=Lp，λ（Rn）. Definition 1.4[10]We call function Φ（t） a Young function， if function Φ（t） is a contious， nonnegative， strictly increasing and convex function on [0，∞） with Φ（0）=0 and Φ（t）→∞. The Φaverage of a function f over a cube Q is defined as ‖f‖Φ，Q=inf{λ>0：1|Q|∫QΦ（|f（x）|λ）dx≤1}. The examples here are Φ（t）=etr-1 and （t）=t logr（e+t）， ‖·‖expLr，Q and ‖·‖L（log L）r，Q denote Φaverage and average. In the following， we give some lemmas which will play important roles in proof of our main results. Lemma 1.1[6]Let 1 ‖|TA（f）|s‖Lp≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Lp. Remark 1. This Lemma can get from Theorem 2 in [6]. Lemma 1.2[13]Let 1 ‖|f|s‖L1（Rn）<∞， {∑∞i=1（∫Rn|fi（y）|dy）s}12≤C∫Rn{∑∞i=1|fi（y）|s}1sdy. Lemma 1.3[3]Let A be a function on Rn and DαA∈Λq（Rn） for all α with |α|=m and q>n. Then |Rm（A；x，y）|≤C|x-y|m∑|α|=m（1|（x，y）|∫（x，y）|DαA（z）|qdz）1q， where is the cube centered at x with edges parallel to the axes and having diameter 5n|x-y|， Λp（Rn）={f（x），x∈Rn：Λp=supx∈Q（1|Q|∫Q|f（t）|pdt）1p<∞}. Lemma 1.4[14]（1）For all 1≤p<∞， the following is true ‖b‖BMO≈supB（1|B|∫B|b（y）-bB|p）1p. （2）Let b∈BMO（Rn）. Then there exists a constant C>0 such that |bB（x，r）-bB（x，t）|≤C‖b‖BMOlntr for 0<2r≤t. Lemma 1.5[7]Let rj≥1 for j=1，…，l and 1r=1r1+…+1r1，b∈BMO. Then 1|Q|∫Q|f1（x）…fl（x）g（x）|dx≤‖f‖expLr1，Q…‖f‖expLrl，Q‖g‖L（logL）1r，Q and ‖b-bB‖expL，B≤C‖b‖BMO， where bB=1|B|∫Bb（x）dx. Remark 2. If we use the ball instead of cube， the above results still hold. 2Main result and its proof
Theorem 2.1Let 1 ∫∞rlnl（e+tr）φ1（x，t）dtt≤Cφ2（x，r）， then |TA|s is bounded from Mp，φ1（Rn） to Mp，φ2（Rn） for all ‖|f|s‖Lp（Rn）<∞. ProofSet B=（x0，r）， 2B=B（x0，2r）. Without loss of generality， we may assume l=2. Let j（x）=Aj（x）-∑|α|=mj1α！（DαAj）Bxα， then Rmj+1（Aj；x，y）=Rmj+1（j；x，y） and Dαj=DαAj-（DαAj）B for |α|=mj. We split f into two parts， f=g+h={gi}+{hi}={fiχ2B}+{fiχRn＼2B}. ‖（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s‖Lp（B）≤‖（∑∞i=1|TA（gi）（x）|s）1s‖Lp（B）+‖（∑∞i=1|TA（hi）（x）|s）1s‖Lp（B）：=I+II. For I， by Lemma 2.1 then we have I≤‖（∑∞i=1|TA（gi）（x）|s）1s‖Lp≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|g|s‖Lp= C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Lp（2B）. On the other hand， ‖|f|s‖Lp（2B）≈rnp‖|f|s‖Lp（2B）∫∞2rdttnp+1≤Crnp∫∞2r‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Then we can get I≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫∞2r‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Now let us estimate II ‖（∑∞i=1|TA（hi）（x）|s）1s‖Lp（B）= ‖（∑∞i=1|∫Rn∏2j=1Rmj+1（j；x，y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）≤ C‖（∑∞i=1|∫Rn∏2j=1Rmj（j；x，y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）+ ‖（∑∞i=1|∑||=m11！∫RnRm2（2；x，y）（x-y）|x-y|mD1（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）+ ‖（∑∞i=1|∑||=m21！∫RnRm2（1；x，y）（x-y）|x-y|mD2（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）+ ‖（∑∞i=1|∑||=m1，||=m21！！∫Rn（x-y）+D1（y）D2（y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）：= I1+I2+I3+I4 We first estimate I1. By Lemma 2.3 and 2.4， we have Rmj（j；x，y）≤C|x-y|mj∑|α|=mj（1|Q（x，y）|∫Q（x，y）|DαAj-（DαAj）B|qdz）1q≤ C|x-y|mj∑|α|=mj（|3nB（x，y）||Q（x，y）|1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|DαAj-（DαAj）B|qdz）1q≤ C|x-y|mj∑|α|=mj（1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|DαAj-（DαAj）3nB（x，y）|qdz）1q+ C|x-y|mj∑|α|=mj（1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|（DαAj）3nB（x，y）-（DαAj）B|qdz）1q≤ C|x-y|mj∑|α|=mj‖DαAj‖BMO+ C|x-y|mj∑|α|=mj‖DαAj‖BMO（1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|ln（e+3n|x-y|r）|qdz）1q≤ C|x-y|mj∑|α|=mj‖DαAj‖BMOln（e+|x-y|r）， where B（x，y） is the ball centered at x and has radius r=|x-y|， 3nB（x，y） denote the ball centered at x and has radius r=3n|x-y|. Notice that x∈B（x0，r），32|y-x0|≥|y-x0|+|x0-x|≥|y-x|≥|y-x0|-|x0-x|≥12|y-x0|. Then by Lemma 2.2，2.3 and 2.4 and Hlder inequality， we have （∑∞i=1|∫Rn∏2j=1Rmj（j；x，y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫Rn{∑∞i=1|ln2（e+|x-y|r）K（x，y）hi（y）s|}1sdy）≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫|y-x0|>2rln2（e+|x-y|r）|f|s|x-y|-ndy）≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫|y-x0|>2rln2（e+|x0-y|r）|f|s|x0-y|-ndy）≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫|y-x0|>2rln2（e+|x0-y|r）|f|s∫+∞|y-x0|dttn+1dy）≤
C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2r∫2r<|y-x0| C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）∫2r<|y-x0| C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）. So we get I1≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Next， we estimate I2. Applying Lemma 2.2， 2.3 and 2.4 and Hlder inequality， note that 32|y-x0|≥|y-x|≥12|y-x0|，then we obtain （∑∞i=1|∑||=m11！∫RnRm2（2；x，y）（x-y）|x-y|mD1（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO（∑∞i=1|∑||=m1∫Rnln（e+|x-y|r）D1（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO∫Rn{∑∞i=1|∑||=m1ln（e+|x-y|r）D1（y）K（x，y）hi（y）|s}1sdy≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO∫|y-x0|>2rln（e+x0-yr）|∑||=m1D1（y）||f|s1|x0-y|ndy≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO∫|y-x0|>2rln（e+x0-yr）|∑||=m1D1（y）||f|s∫+∞|y-x0|dttn+1dy≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∫2r<|y-x0| C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1‖D1（y）‖Lp′（B（x0，t））‖|f|s‖Lp（B（x0，t））dttn+1≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|DA1（y）-（DA1）B|p′）1p′ ‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|DA1（y）-（DA1）B（x0，t）|p′）1p′ ‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤ C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|（DA1）B（x0，t）-（DA1）B|p′）1p′ ‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）+ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）. Then I2≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Using the same method in proof of I2， we can get I3≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Finally we estimate I4， by Lemma 2.2， 2.3 and 2.4 and Hlder inequality， notice that 32|y-x0|≥|x-y|≥12|y-x0|， then we have that （∑∞i=1|∑||=m1，||=m21！！∫Rn（x-y）+D1（y）D2（y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s≤ C（∑∞i=1|∑||=m1，||=m2∫Rn|D1（y）D2（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s≤ C∑||=m1，||=m2∫|y-x0|>2r|D1（y）D2（y）|1|y-x0|n|f|sdy≤ C∑||=m1，||=m2∫|y-x0|>2r|D1（y）D2（y）||f|s∫+∞|y-x0|dttn+1dy≤ C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0| C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0| C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0| （DA2（y）-（DA2）B）|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤ C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|
[DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt+
C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0| [（DA2）Bx0，t-（DA2）B]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt+ C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0| [DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt+ C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0| [（DA2）B（x0，t）-（DA2）B]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt：=I14+I24+I34+I44. For I14， by Lemma 2.5 we have I14≤C∫+∞2r∑||=m1（‖[DA1（y）-（DA1）B（x0，t）]p′‖expL1p′，B（x0，t））1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1 （‖1‖L（log L）12p′，B（x0，t））1p′∑||=m2（‖[DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]p′‖expL1p′，B（x0，t））1p′dt≤ C∫+∞2r∑||=m1‖[DA1（y）-（DA1）B（x0，t）]‖expL，B（x0，t）‖|f|s‖Lp（B（x0，t）） ∑||=m2‖[DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]‖expL，B（x0，t）t-np-1dt≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2r‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. The estimate of I24 is as follows I24≤C∑||=m2‖DA2‖BMO∑||=m1∫+∞2rln（e+tr）（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|DA1（y）-（DA1）B（x0，t）|p′dy）1p′ ‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤ C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2rln（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. The estimate of I34 is the same as above. I34≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2rln（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Now we estimate I44. I44≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. According to the above estimate， we obtain I4≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Thus， ‖（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s‖Lp（B）≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rlnl（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt. Then according to the condition， ‖|TA|s‖Mp，φ2=supx0∈Rn，r>0φ2（x，r）-1|B（x，r）|-np‖|TA|s‖Lp（B（x0，r））≤ C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）supx0∈Rn，r>01φ2（x0，r）∫+∞rlnl（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））dt≤ C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Mp，φ1supx0∈Rn，r>01φ2（x0，r）∫+∞rlnl（e+tr）φ1（x0，t）dtt≤ C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Mp，φ1. The proof is completed. References： [1]COHEN J. A sharp estimate for a multilinear singular integral in Rn[J]. Indiana Univ Math J， 1981，30（5）：693702. [2]COHEN J， GOSSELIN J. On multilinear singular integrals on Rn[J]. Studia Math， 1982，72（4）：199223. [3]COHEN J， GOSSELIN J. A BMO estimate for multilinear singular integrals[J]. Illinois J Math， 1986，30（3）：445464. [4]HU G， YANG D. A variant sharp estimate for multilinear singular integral operators[J]. Studia Math， 2000，141（1）：2225.
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（编辑胡文杰）
