王晓，刘锡平，邓雪静

（上海理工大学理学院，上海200093）

一类分数阶奇异微分方程积分边值问题正解的存在性

王晓，刘锡平，邓雪静

（上海理工大学理学院，上海200093）

研究一类具有Riemann-Liouville导数的分数阶奇异微分方程积分边值问题的可解性.运用Guo-Krasnoselskii不动点定理，得到了奇异微分方程积分边值问题正解的存在性定理.最后，给出了一个实例，用于说明所得结论的有效性.

分数阶奇异微分方程；积分边值问题；正解；不动点定理

1　引言

近年来，分数阶微分方程广泛地出现在现代科学研究与技术的各个领域，其理论研究备受关注［1］.由于在实际问题中常常遇到非线性项奇异的情况，因此，国内外学者对奇异微分方程的边值问题进行了大量研究（见参考文献［2-9］）.文献［8］研究了非线性分数阶微分方程满足边值条件u（0）=u（1）=u′（0）=u′（1）=0的边值问题，分别在奇异和非奇异情况下，得到了边值问题具有多个正解的存在性定理.

本文研究一类非线性奇异分数阶微分方程

满足积分边界条件的非局部边值问题正解的存在性，其中3＜α≤4，f是一个非负函数且f（t，x）可以在x=0处奇异，g1，g2∈L1［0，1］，Dα0+是标准的Riemann-Liouville分数阶导数.运用Guo-Krasnoselskii不动点定理，得到了奇异积分边值问题正解的存在性定理.

设函数f在［0，1］×（0，+∞）上有定义，且满足：

1）对几乎处处的t∈［0，1］，f（t，·）：（0，+∞）→［0，+∞）连续；

2）对所有的x∈（0，+∞），f（·，x）：［0，1］→［0，+∞）可测；

3）对任意r＞0，存在函数φr∈L1［0，1］，使得当0＜x≤r时，对几乎处处的t∈［0，1］，有0≤f（t，x）≤φr（t）.则称f在［0，1］×（0，+∞）上满足Carath é odory条件，记作f∈Car（［0，1］×（0，+∞））.

2　预备知识及引理

有关分数阶导数，分数阶积分的定义及性质请参见文献［1-2］.

引理2.1（Guo-Krasnoselskii定理［2，10］）设X为实赋范线性空间，K⊂X是锥，Ω1，Ω2⊂ K为非空相对开集，且设F：Ω2→K为全连续算子，满足：