衡美芹

（宿迁学院教师教育系，江苏 宿迁　223800）

π-模余代数与π-模余理想

衡美芹

（宿迁学院教师教育系，江苏 宿迁223800）

主要讨论局部有限维的Hopf π-代数H上π-模余代数与π-模余理想.给出了π-H-模余代数与π-H∗-余模代数之间的对偶关系，得到了π-H-模余理想的一个充分必要条件.

Hopf π-代数；π-模余代数；π-模余理想

1　引言及预备知识

文献 ［1］研究了 Hopf π-余代数的一些重要性质.文献 ［2-4］研究了 Hopf π-余代数的Morita Contexts和π-Galois扩张，与Hopf π-代数有联系的Drinfeld co-double等也有充分的讨论，并给出了一些重要结论.本文研究Hopf π-代数上的局部有限维的π-模余代数与π-余模代数的对偶关系，讨论π-模余代数上的π-模余理想与对偶的π-余模代数上的π-余模子代数之间的关系，得到π-H-模余理想的一个等价条件.

设k为任意域，本文中的向量空间和（余）代数都是指k上的向量空间和（余）代数，π为任意乘法群，其单位元记为1.域k上向量空间的张量积A⊗kB简写成A⊗B，换位映射记为σu，v：U⊗V→V⊗U，即对任意的u∈U，v∈V，σU，V（u⊗v）=v⊗u.

首先给出π-代数及Hopf π-代数的定义，可参考文献［1］.

定义 1.1设｛Hα｝α∈π为一簇k-向量空间，若存在一簇k-线性映射

及k-线性映射u：k→H1，使得对于任意的α，β，γ∈π，a∈Hα，满足

则称H=（｛Hα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u）为π-代数.

注1.1当π=｛1｝时，（H1，m1，1，u）代数可以看作通常意义下的代数［1］.

定义 1.2设H=（｛Hα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u）为π-代数.给定一簇k-线性映射

满足以下条件：

注 1.2当π=｛1｝时，Hopf π-代数可以看着通常意义下的Hopf代数［1］.对偶地，还可以给出π-余代数及Hopf π-余代数的定义.

满足以下条件：

下面再给出π-代数H上的π-模、π-H-模同态以及π-余代数 ¯H上的π-余模、π-H-余模同态的定义，可参考文献［3］.除特殊说明外，在本文中涉及到的π-（余）模均指右π-（余）模.

定义 1.5设H是一个π-代数，若存在一簇向量空间M=｛Mα｝α∈π，以及一簇k-线性映射：

使得对任意的α，β，γ∈π，有

则称（M，ρ）为H上π-模，记作π-H-模M.

定义 1.6设 （M，ρ）和 （M′，ρ′）是 π-代数 H上两个 π-模，若有一簇 k-线性映射且对任意的则称f是π-H-模同态.

满足对于任意的α，β∈π，有

则称f是π-¯H-余模同态.

2　π-模余代数

在这一节中首先给出Hopf π-代数H上的π-模余代数的概念，然后讨论其对偶空间，证明了局部有限维的π-H-模余代数C的对偶空间C∗是一个π-H∗-余模代数.

定义 2.1设H=（｛Hα，Δα，εα｝α∈π，｛mα，β｝α，β∈π，u，｛Sα｝α∈π）是一个Hopf π-代数，

是一簇余代数，对任意的α，β∈π，a∈Cα，h∈Hβ，满足：

其中Δ′α（a）=∑a1⊗a2，Δβ（h）=∑h（1，β）⊗h（2，β），则称（C，ρ）为H上的一个π-模余代数.记作π-H-模余代数C.由此定义可得如下结论.

以下总设Hopf π-代数H以及H上的模都是局部有限维的.Hopf π-代数H称为局部有限的，若每一个k-向量空间Hα（∀α∈π）都是有限维的.类似地有局部有限π-模的概念.

和单位映射u：K→H1可以导出k-线性映射

3　π-模余理想

本节讨论Hopf π-代数H上的π-模余代数的π-模余理想的一些性质，得到了π-模余理想的一个充分必要关系.

定义3.1设（M，ρ）是π-代数H上的一个π-模，M′=｛M′α｝α∈π是一簇向量空间，且对于任意的α∈π，M′α是Mα的子空间，并且满足对于任意的则称M′是M的一个π-H-子模.

定义3.2设H为Hopf π-代数，C为π-H-模余代数.若D=｛Dα：Dα⊂Cα｝是C的一簇余理想，且D是C的一个π-H-子模，则称D是C的一个π-H-模余理想.

引理3.1设H为Hopf π-代数，（M，ρ）为π-H-模，M′是M的的π-H-子模，则M′⊥是的一个π-H∗-子余模.

引理 3.2设 C=｛Cα｝α∈π是一簇余代数，且 Cα都是有限维的.那么一簇子空间D=｛Dα⊂Cα｝α∈π是C的一簇余理想的充要条件为D⊥是C∗=｛C∗α｝α∈π的一簇子代数.

证明参见文献［7］.

定理3.1设H为Hopf π-代数，（C，ρ）为π-H-模余代数.若D是C的π-H-模余理想，则的π-H∗-余模子代数.

证明由引理3.1，引理3.2可得.

引理3.3设H为Hopf π-代数，（M，ρ）为π-H-模，若N是（M∗，¯η）的一个π-H∗-子余模，则N⊥是M的π-H-子模.

定理3.2设H为Hopf π-代数，（C，ρ）为π-H-模余代数，若D是的π-H∗-余模子代数，则D⊥是（C，ρ）的π-H-模余理想.

证明由引理3.2，引理3.3可得.

定理3.3设H为Hopf π-代数，（C，ρ）为π-H-模余代数，D=｛Dα⊂Cα｝是C的一簇子空间.则D是C的π-H-模余理想当且仅当D⊥是（C∗，¯η）的π-H∗-余模子代数.

证明由定理3.1，定理3.2可得.

［1］Virelizer A.Hopf group-coalgebras［J］.J.Pure Algebra，2002，171：75-122.

［2］Wang Shuanhong.Coquasitriangular Hopf group algebras and Drinfelid co-doubles［J］.Communications in Algebra，2007，35：1-25.

［3］Wang Shuanhong.Morita contexts，galois extension for Hopf coalgebras［J］.Communications in Algebra，2006，34：521-546.

［4］Wang Shuanhong.A Maschke-type theorem for Hopf group comodules［J］.Tsukuba J.Math.，2004，28（2）：377-388.

［5］衡美芹，孙建华.Hopf π-余代数与π-子余代数［J］.纯粹与应用数学，2009，25（4）：706-710.

［6］Sweedler M E.Hopf Algebra［M］.New York：Benjamin，1969.

［7］Abe E.Hopf Algebra［M］.New York：Combridge University Press，1980.

π-module coalgebras and π-module coideals

Heng Meiqin

（Department of Teachers and Education，Suqian College，Suqian223800，China）

In this paper，let π be a group and H a Hopf π-algebra.The π-H-module coalgebras and π-H-module coideal are discussed，and the deal relation between a π-H-module coalgebra and a π-H∗-comodule algebra is given.Also，the necessary and sufficient condition for a π-H-module coideal is obtained.

Hopf π-algebra，π-module coalgebra，π-module coideal

O153.3

A

1008-5513（2015）03-0273-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.008

2014-07-11.

国家自然科学基金（11171291）

衡美芹（1978-），硕士，讲师，研究方向：代数学.

2010 MSC：20M18